高一数学导学案平面向量

1、必修4第二章第1课时向量看法及物理意义【学习目标】1.认识向量的实质背景，理解向量的看法.2.理解零向量、单位向量、共线向量、相等向量等看法。【教课要点】向量、零向量、单位向量、平行向量的看法.【教课难点】向量及相关看法的理解，零向量、单位向量、平行向量的判断【教材助读】1.我们把_的量叫做向量；把_的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作_，线段AB的长度叫做有向线段uuurAB的长度，记作_，有向线段包含三因素_、_、_；向量是自由向量，只有大小和方向两个因素；与起点没关：只要大小和方向同样，则这两个向量就是同样的向量。uuur向量可以用有向线段表示，向量AB的长度（或称_）

2、记作_，长度为零的向量叫r做_向量，记作0，长度等于1个单位的向量，叫做_向量；3._的非零向量叫做平行向量，向量rrra与b平行，记作_，规定0r与任一直量平行，即对任意向量a都有_；4._的向量叫做相等向量；若rra与b相等，记作_；5.因为任一组平行向量可以挪动到同向来线上，平行向量也叫_向量【预习自测】1.以下各量中不是向量的是（）（观察向量的看法）A.浮力B.风速C.位移D.密度E.温度F.体积2.以下说法中错误的选项是（）（A）零向量是没有方向的；（B）零向量的长度为0；零向量与任一直量平行；(D)零向量的方向是任意的。uuuruuur2方向不同样的两个向量必定不平行；3.给出以下

3、命题：1向量AB和向量BA的长度相等；3向量就是有向线段；ruuuruuur4向量0=0；5向量AB大于向量CD。此中正确的个数是（）（A）0（B）1（C）2（D）3【我的诱惑】【学始于疑】研究一：判断以下命题能否正确：rrrr（1）若a/b，则a与b的方向同样或相反；uuuruuur（2）AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在向来线上；rrrrrrrr（3）|a|=|b|，a，b不必定平行；若a/b，|a|不必定等于|b|；（4）共线的向量，若起点不一样，则终点必定不一样。（5）方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量rrrrrr（6）若a与b平行同向,且ab，则ab研究二：给出以

4、下六个命题：1rr两个向量相等，则它们的起点同样，终点同样；2若|a|=|b|，rruuuruuur4平行四边形ABCD中，必定有则a=b；3若AB=DC，则四边形ABCD是平行四边形；uuuruuururrrrurrAB=DC；5若mn，nk，则mk；此中不正确的选项是命题个数是（）（A）2（B）3（C）4（D）5研究三：如右图，D、E、F分别是ABC的三边AB、BC、AC的中点，写出与DE、EF、FD相等的向量【能力拓展】1单位向量能否独一？有多少个单位向量？若将全部单位向量的起点归纳在同一起点，则其终点构成的图形是什么？2温度有零上零下之分，“温度”能否为向量？3关于零向量，以下说法中正

5、确的有（1）零向量是没有方向的。（2）零向量的长度是0（3）零向量与任一直量平行（4）零向量的方向是任意的。rrrrrr4若a/b，b/c,则a/c吗？【我的小结】零向量是，共线（平行）向量是单位向量是，相等向量是必修4第二章第2课时向量加法及几何意义【学习目标】掌握向量的加法运算并能进行化简，同时理解其几何意义。【教课要点】会用向量加法的三角形法规和平行四边形法规作两个向量的和向量.【教课难点】三角形不等式【教材助读】1，回答以下问题:uuuruuur（1）某人从A到B，再从B按原方向到C，则两次的位移和：AB+BC=uuuruuur（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，则两次的位移

6、和：AB+BC=uuuruuur（3）某车从A到B，再从B改变方向到C，则两次的位移AB+BC=rrrr2、两个加法法规：已知非零向量a和b，做出ab（1）三角形法规：（2）平行四边形法规a向量的加法实质上是一种图形运算：把两个向量首尾相接，把一个向量的为起点，另一个向量的为终点所获取的向量叫做这两个向量的，记为。3.规定：关于零向量与任一直量r_a，都有a0_加法交换律和加法结合律（1）向量加法的交换律：（2）向量加法的结合律：(a+b)+c=【预习自测】1.（1）uuuruuuruuuruuuruuurABDFCDBCFA化简：(ABMB)BOOM_uuuruuuruuur2已知在平行四边

7、形ABCD中,ABCABD【我的诱惑】【学始于疑】研究一：梯形ABCD，AD/BC,O为对角线交点，则uuurOA+ABuuur+BC=uuurruuurrrruuuruuuruuuruuur研究二：已知平行四边形ABCD中，ABa,ADb，试用a,b表示CD,CB,BD,CAuuuruuuruuuruuuruuur研究三：在矩形ABCD中，AB3，BC1，则向量ABADAC的长度等于研究四：一艘船从A点出发以23km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h，求船实质航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）。uuuruuuruuur研究五：在四边形ABCD中，ABADA

8、C，则此四边形必定为形。【能力拓展】1.用,|b|,则a+b的方向与a同样，则|a+b|_|a|-|b若|a|b|,rrrrrrr则a+b的方向与b同样，则|a+b|_|b|-|a|.一般地a+ba+buuuuuruuuuuruuuuuuuruuuuuruuuruuuruuuruuur2A1A2A2A3LAn1AnA1An能否必定成立？ABBCCDDA？vvuuvvuuuvv【我的小结】1、已知非零向量a,b，在平面内任取一点A，作ABa,BCb，则向量_vvvv叫做a与b的和，记作_，即ab=_=_这个法规就叫做向量乞降的三角形法规。vvuuvvuuvuv2、向量加法的平行四边形法规：以同一

9、点O为起点的两个已知向量a，b（OAa,OBB）vv为邻边作四边形OACB，则以O为起点对角线_，就是a与b的和。这个法规就叫做两个向量乞降的平行四边形法规。必修4第二章第3课时向量减法及几何意义【学习目标】掌握向量的减法运算并能进行化简、理解几何意义，培育运用数形结合的思想解决问题的能力。【教课要点】会用向量减法的三角形法规作两个向量的差向量.【教课难点】三角形不等式【教材助读】1.相反向量的定义：_规定：零向量的相反向量是_向量,任一向量与它的相反向量的和是_向量。a(a)=0.2、两个减法法规：rrrr已知非零向量a和b，做出ab三角形法规：3.向量的减法实质上是一种图形运算：把两个向量

10、起点重合，把一个向量的为起点，另一个向量的为终点所获取的向量叫做这两个向量的，记为。假如从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是_，差向量方向指向一般地，关于任意三点O，A，B，AB=OBOArrrrrrrr4.若a/b，如何作出ab？向量ab可以看作是a(b)吗？【预习自测】1化简:(1)ABAD_(2)ODOA_(3)ABADDC_(4)PMPNMN=_uuurruuurrrruuuruuur2平行四边形ABCD中，ABa，ADb，用a，b表示向量AC、DB【我的诱惑】【学始于疑】研究一：已知正方形ABCD，uuurABruuura，BCrb，uuurACrrc，求作向量：（1

11、）arrbcrrr（2）abcABCD的对角线uuurr研究二：如图，已知平行四边形rAC，BD交于点O，若ABa，uuurruuurrrruuurBCb，ODc，求证cabOBAOB【能力拓展】rrrr1已知向量a，b的模分别是3，4，求|ab|的取值范围rrrrrrrr2.谈论：ab与ab、ab与ab有何关系？rrrrrrrr对任意向量a，b都有|a|b|ab|a|b|吗？3化简OP-QP+PS+SP的结果等于4若a、b共线且|a+b|a-b|成立,则a与b的关系为【我的小结】若b+x=a，则x叫做a与b的差，记作ab也许：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差即：ab=a+(b)求两个向

12、量差的运算叫做向量的减法向量减法是加法的逆运算一般地，关于任意三点O，A，B，AB=必修4第二章第4课时向量数乘运算【学习目标】1.理解向量的数乘运算及其几何意义，会进行向量的数乘运算.2.经过自主学习、合作谈论研究出向量数乘运算的规律与方法.【教课要点】数乘向量的定义与共线向量定理【教课难点】三点共线的条件【教材助读】1、向量的数乘定义：一般地，它的长度和方向规定以下：（）a；（）当0时，a的方向与a的方向；当0时，a的方向与a的方向；当0时，a0，方向是。2、向量的数乘运算律：（1）（a）=（2）（+）a=（3）（a+b）=（4）（1a2b）=3、定理：向量a与b共线，当且仅当【预习自测】

13、1任画一直量e,分别求作向量a=2e，b=3e2点p在线段AB上，且AP3,则AP=AB,BP=ABPB=43计算：0a=06b=3（4）a=4利用向量的数乘运算律变形：7a+7b=5(ab)=(3)(a+b)=5化简（1）7(a+b)3(b)+2b2）(5a2b+3c)2(a+3bc)3）(2)(4a+b3c)4(a+2b5c)【我的诱惑】【学始于疑】rr研究一：已知a、b是两个不共线的向量，若uuurOArruuurab、OBrruuura2b、OCrra3b，求证：A、B、C三点在一条直线上。研究二：求证：M是线段AB的中点，关于任意一点uuuur1uuuruuurO，都有OM2(OAO

14、B)研究三：判断以下各小题中的向量a与向量b能否共线？（1）a=2e,b=8e（2）a=e1e2，b=2e12e2研究四：在YABCD中，设对角线AC=a，BD=b试用a,b表示AB与BC【能力拓展】1（1）确立与a共线的单位向量（2）OPABAC含义是什么？()，（此中R）|AB|AC|2已知四边形ABCD的边AD、BC的中点分别为E、F，求证EF1(AB+DC).2rrrrrrrr1212R)与b213.设e，e是两个不共线向量，则aee(e2e)共线的条件是什么？4求证：A，B，C三点共线存在R使AB=AC存在x,yR,xy1,使OAxOByOC存在a,b,cR,a,b,c不全为零，且a

15、bc0,使aOAbOBcOCO【我的小结】1向量a的模是方向2两个向量共线的条件：向量b与非零向量a共线的条件是有且仅有一个实数，使得3M是AB的中点必修4第二章第5课时平面向量的基本定理【学习目标】1.掌握平面向量基本定理的内容.2.理解基底及夹角的看法，并能运用基底表示平面内任一直量.【教课要点】平面向量基本定理，【教课难点】利用平面向量基本定理，将任意向量用基向量表示【教材助读】1、平面向量的基本定理：2、向量的夹角：3.当时，向量a与向量b同向，当时，向量a与向量b反向，当时，ab.【预习自测】1若非零向量,2如图,平行四边行满足ABCD的对角线AC，乞降BD与所成角的大小交于点M,A

16、Ba,ADb.,试用基底a,b表示MC,MA,MB和MD.3在正六边形ABCDEF中，AC=a,AD=b用a,b表示向量AB、BC、CD、DE、EF、FA.4确立以下各图中向量a与向量b的夹角的大小：【我的诱惑】【学始于疑】研究一：设e1,e2是平面内的一组基底，假如AB=e12e2,BC=4e1e2,CD=8e19e2，求证：A,B,D三点共线B研究二如图，已知不共线，点C满足CB2AC，OA试以OA,OB为基底表示OC.ABCDuuuruuurMNDCABuuurr研究三：已知梯形中，|AB|2|DC|，分别是、的中点，若AB1，euuurrrruuuruuuruuuurDMCADe2，用

17、e1，e2表示DC、BC、MNANBrrrrrr研究四：设两非零向量e1,e2，不共线，且k(e1e2)/(e1ke2)，务实数k的值。【能力拓展】1.设e1,e2是两个不共线向量，已知AB=2e1+ke2,CB=e1+3e2,CD=2e1e2,若三A,B,D共线，求k的值uuur3uuuruuuruuur2点C在线段AB上，且ACAB，则AC_CB53.三角形ABC中，D是AB边的中点，E是AC边凑近A的三点分点，ABa，ACb，CD，BE订交于P，试用a,b,表示向量AP。【我的小结】平面向量基本定理：若e、e是同一平面内的两个不共线向量，那么关于这一平面内的任一直12量a，有且只有一对实

18、数1，2，使得必修4第二章第6课时平面向量的坐标表示与运算【学习目标】1、掌握平面向量的坐标表示方法。2、理解、记忆平面向量坐标表示的加法、减法及数乘公式。【教课要点】掌握平面向量坐标的加法、减法、数乘运算及其应用。【教课难点】理解平面向量的正交分解及坐标比表示方法的理解。【教材助读】1、什么叫向量的正交分解？2、向量的坐标表示：（1）在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴同方向的单位向量i、j，则关于平面内任意向量a，有且只有一对实数x、y使得a=，这样，平面内的任一直量a都可以由实数x、y独一确立。我们把有序实数对x,y叫做记作a=此中x叫做在a的坐标，y叫做a的坐标。2OAxiyj，则向量O

19、A的坐标x,y就是终点A的坐标，（）在平面直角坐标系中，若设反过来，终点A的坐标x,y就是向量OA的坐标。所以，在平面直角坐标系中，每一个向量都可以用一有序实数对独一表示，即每一个向量与其坐标之间拥有的关系。（3）平面向量坐标表示的加法、减法及数乘公式：设a(m,n),b(r,s)，kR,则ab，ab，ka，【预习自测】1、分别用坐标表示出以下平面向量：i=，j=，0=2、写出以以下图的向量OA,OB,OC,OD的坐标.3、已知A、B两点的坐标，求向量AB及BA的坐标：（1）A2,3,B9,6;(2)A0,3,B9,0;(3)A3,4,B6,3;4、已知a3,1,b3,4，求ab，ab及3a4

20、b的坐标.【我的诱惑】【学始于疑】研究一：已知表示向量a的有向线段始点A的坐标，求它的终点B的坐标.（1）a1,2,A0,0；（2）a3,1,A5,1；（3）a1,5,A3,7研究二：已知A2,3,B1,y,Cx,2，D3,6，若ABCD,求x,y的值.研究三：已知平行四边形ABCD中,A3,1,B2,4,D3,2,求点C的坐标.vvvvvv研究四：设a(1,3),b(2,4),c(0,5)则3abc=_【能力拓展】1已知点A(0,1),B(1,0),C(1,2),D(2,1),试判断AB与CD的地址关系vvvvvv2已知ab(2,4),ab(2,2)求a,b坐标3已知点A（2，2）B（-2，

21、2）C（4，6）D（-5，6）E（-2，-2）F（-5，-6）uuuvuuvuuvuuuvuuvuuv在平面直角坐标系中，分别作出向量ACBDEF并求向量ACBDEF的坐标。【我的小结】vv(x2,x2)，vvvvv1a(x1,y1),b为一实数，ab=_。ab=_a=_uuv2若已知A(x1,y1),B(x2,y2)，则AB=_=_即一个向量的坐标等于此向量的有向线段的_。必修4第二章第7课时平面向量共线的坐标表示【学习目标】1.理解向量共线的看法，并会应用坐标表示向量共线。2.经过自主学习、合作谈论、研究出向量共线的坐标条件、均分点坐标及应用。【教课要点】平面向量共线的坐标表示及其应用。【

22、教课难点】向量关系与坐标关系的转变【教材助读】vvvvv1、两向量平行（共线）的条件：若a/b(b0)则存在独一实数使a/b，反之，存在独一vv实数使a/b，则2、设a(x1,y1),b(x2,y2),(b0)，则a与b共线的充要条件为3、设A(x1,y1),B(x2,y2)，则线段AB的中点坐标为，两个三均分点坐标为，【预习自测】1、设a(1,2),b(1,1),c(3,2).若cpaqb,则实数p=q=2、已知M(3,2),N(5,1),MP1MN,则P点的坐标为2、已知A(1,5)和向量a(2,3),若AB3a，则点B的坐标为34、假如a(k,1),b(4,k)共线且方向相反，则k=5、

23、矩形ABCD中，A(1,3),B(2,4),两条对角线交点在x轴上，则C点坐标为，D点坐标为。6、已知ABC，A(1,3),B(4,2),C(1,y),重心为G(x,1),则x,y的值分为2【我的诱惑】【学始于疑】研究一：求证：设线段AB两端点的坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则此中点M（x,y）的坐标公式是：x1y1y1+y2x=2,y=2研究二：当P是线段P1（x1,y1）,P2(x2,y2)的三点分点时，求P点的坐标。研究三：已知P(4,3),P(2,6),求合适以下条件的点P的坐标：12（1）P1P2PP2,点P在线段P1P2上；（2）P1P4PP2,点P在线段P1P2延

24、长线上；【能力拓展】1、ABC中，A(1,2),B(4,1),C(3,4),直线PQ平行于BC分别交AB，AC于P，Q两点且三角形APQ与四边形BCQP的面积的比为4比5。求P，Q坐标。2、P（x,y）,P(x,y)，P（x,y）,P1PPP2,试确立P点的坐标。1112223、ABC三个极点分别为A（x1,y1）,B(x2,y2),C(x3,y3),求ABC的重心G的坐标。4、ABC三个极点分别为A(4,1),B(7,5),C(4,7),A的均分线交BC于D，求D点的坐标及AD之值。【我的小结】设a(x1,y1),b(x2,y2),(b0)，则a与b共线的充要条件为必修4第二章第8课时平面向

25、量的数目积【学习目标】理解平面向量数目积的看法，并会应用平面向量数目积。【教课要点】平面向量数目积的定义。【教课难点】一个向量在另一个向量上的投影的看法【教材助读】1、数目积ab=，此中是，的范围。2、数目积的几何意义：。rrrrrrrrrr3、ab_4、a与b同向时，agb_;当a与b反向时,agb=_rrr2rrrrrrr5、特别地，agaa或aaga;agbabrr_;rr_rrr6、agbagb_;abgc_【预习自测】rrruuuruuur1、判断正误，并简要说明原由:a00；0a；0ABBA；abab；对任意向量rrra，b，c都有（ab）ca（bc）；a与b是两个单位向量，则ab

26、.2、已知a，b，在以下条件下分别求ab.a与b的夹角是60abab600uuuruuur3、已知a,b,c分别为ABC的三边BC，AC，AB.a5,b8，C，求BCCA.4、已知ab2，a，b4，求向量a在b方向上的投影，并求b在a方向上的投影。【我的诱惑】【学始于疑】研究一：若abc0，且abc1，求abbcca的值研究二：平面上三个向量a、b、c的模均为1，他们之间的夹角均为120，求证：(ab)c研究三：已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60，求(a+2b)(a3b)研究四：已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120，求ab【能力拓展】1、已知|a|=4,|b|=3，2a

27、3b?2ab61，求a与b的夹角。2、已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角为60，求k为什么值时，向量kab与a2b垂直。3、已知正方形ABCD的边长为1，设ABa，BCb，ACc，求abc的模。rrrrrrrr4、向量a与b夹角为600，a=2,b=1求a+bgab的值。【我的小结】1数目积ab=，此中是，的范围2a在b上的投影为，b在a上的投影为必修4第二章第9课时平面向量数目积的坐标表示【学习目标】经过自主学习、合作谈论、研究出平面向量数目积的坐标表示及其应用。【教课要点】向量垂直的坐标表示，夹角公式。【教课难点】向量垂直的坐标表示，夹角公式。【教材助读】1、设a(x1,y1)，b(

28、x2,y2)，则ab=22、设a(x,y)，则a或a3、设a(x1,y1)，b(rrrrx2,y2)，则ab_;ab_4、两向量夹角的余弦（0），cos=【预习自测】、已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的投影1.a=(2,3),b=(a+b)(ab);rr、2,4),求ab2rrrrrrr3、已知a=(4,3),向量b是单位向量，求当ab时b_当ab时b_4、已知a（，3），b（3，3），则a与b的夹角是多少?uuuruuur5、已知A(1，0)，B(3，1)，C(2，0)，且a=BC,b=CA,则a与b的夹角uuurruuurrOAB的面积等于6、平面上O,A,B三点不共线

29、，设OAa,OBb,则【我的诱惑】【学始于疑】研究一：已知a=(，)，b=(-3,5)且a与b的夹角为钝角，则的取值范围研究二：已知A(1,2)，B(2,3)，C(2,5)，求证：ABC是直角三角形.研究三：知a（3，4），b（4，3），若(xa+yb)a，且xa+yb=1.求x,yuuuvuuuv研究四：已知A(2,3),B(2,1),(1,4)D(7,4)判断AB与CD能否共线？【能力拓展】1、给定两个向量a=(3,4),b=(2,-1)且(a+xb)(ab),求x2、设向量a,b满足|a|b|1,及|3a2b|7求a,b夹角的大小及|3ab|的值。rrrrrrrrrr的值。3、已知a4,

30、3，b1,2，mab,n2ab，且mn，务实数4、已知向量rra、b满足rra=13,b=19,rra+b=24,求rarb。【我的小结】1、设a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab=2、a2ab2b=c3、设a(x1,y1)，brrrr(x2,y2)，则ab_;ab_必修4第二章第10课时平面几何中的向量方法【学习目标】1掌握平面向量研究几何图形中的部分性质，求线段长度及垂直与平行的证明2经过自主学习，合作谈论，研究出平面向量在几何中的运用【教课要点】平面向量在几何形中的运用。【教课难点】平面向量在几何形中的运用。【教材助读】1向量a(x,y)的模：向量的数目积公式：2设a(x1,y1)

31、，b(rrrrx2,y2)，则ab_;ab_3两向量夹角的余弦（0），cos=4平面向量解决平面几何问题的“三步曲”：1），2），3）。【预习自测】1、四边形ABCD中，若1，四边行ABCD是（）ABDC3A平行四边行B梯形C菱形D矩形2、动点P在A、B、C三点确立的平面内，O为平面内必定点，且满足（OPOA）?（ABAC)=0，则P点的轨迹必定过ABC的（）A外心B内心C重心D垂心3、在四边形ABCD中，若|DB|ABAD|，则（）AABCD是矩形B.ABCD是菱形CABCD是正方形D.ABCD是平行四边形4已知三点A（1，2），B（4，1），C（0，-1）则ABC的形状为（）A、正三角形B、钝角三角形C、等腰直角三角形D、等腰锐角三角形5已知A、B、C为三个不共线的点，P为ABC所在平面内一点，若PAPBPCAB，则点P与ABC的地址关系是（）A、点P在ABC内部B、点P在ABC外面C、点P在直线AB上D、点P在AC边上【我的诱惑】【学始于疑】研究一：用向量的方法证明：平行四边形的两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍研究二：如图平行四边形ABCD,点E,F是AD,DC边的中点，BE,BF分别与AC交于R,T两点，你能发现AR,RT,TC之间的关系吗？研究三：已知向量OP1,OP2,OP3满足OP1OP2OP30，OP1,OP2,OP3的模相等均为1，求证：三角形