量子力学课后规范标准

1、量子力学课后规范标准答案量子力学课后规范标准答案量子力学课后规范标准答案,.，量子力学习题及解答第一章量子理论基础11由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m与温度T成反比，即T=b（常量）；并近似计算b的数值，正确到二位有效数字。解依据普朗克的黑体辐射公式8hv31dv，（1）vdvc3hvekT1以及vc，（2）vdvvd，（3）有dvddcv()dv()c8hc1,5hcekT1这里的的物理意义是黑体内波长介于与+d之间的辐射能量密度。此题关注的是取何值时，获得极大值，所以，就得要求对的一阶导数为零，由此可求得相应的的值，记作m。但要注意的是，还需要考证对的二阶导数在

2、m处的取值能否小于零，假如小于零，那么前面求得的m就是要求的，详细以下：8hc1hc1hc06hc5kTekT11ekThc105hckT1ekThchc5(1ekT)hckT假如令x=，则上述方程为kT5(1ex)x这是一个超越方程。第一，易知此方程有解：x=0，但经过考证，此解是平凡的；其余的一,.个解能够经过逐渐近似法或许数值计算法获取：x=4.97，经过考证，此解正是所要求的，这样则有mThcxk把x以及三个物理常量代入到上式便知mT2.9103mK这即是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度高升的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面挪动，这样便会依据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判

3、断温度的高低。12在0K周边，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。解依据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv，Ph假如所考虑的粒子是非相对论性的电子（E动ec2），那么p2E2e假如我们观察的是相对性的光子，那么E=pc注意到此题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即0.51106eV，所以利用非相对论性的电子的能量动量关系式，这样，便有hph2eEhc2ec2E1.24106m0.5110630.71109m0.71nm在这里，利用了hc1.24106eVm以及ec20.51106eV最后，对hc2ec2E作一点谈论，从上式能够看出，当粒子的质量

4、越大时，这个粒子的波长就越短，因此这个粒,.子的颠簸性较弱，而粒子性较强；相同的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因此这个粒子的颠簸性较弱，而粒子性较强，因为宏观世界的物体质量广泛很大，因此颠簸性极弱，显现出来的都是粒子性，这类波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。313氦原子的动能是EkT（k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德布罗意波2长。解依据1kK103eV，知此题的氦原子的动能为E3kT3kK1.5103eV,核c2这样，便有22明显远远小于hc2核c2E1.24106m10923.71.51030.37109m0.37nm这里，利用了核c249311

5、06eV3.7109eV最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点谈论，由某种粒子构成的温度为T的体系，此中粒子的均匀动能的数目级为kT，这样，其相庆的德布罗意波长就为hchc2c2E2kc2T据此可知，当系统的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这类粒子的颠簸性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的均匀距离还长时，粒子间的相关性就尤其明显，所以这时就能用经典的描绘粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而一定用量子的描绘粒子的统计分布玻色分布或费米宣告。14利用玻尔索末菲的量子化条件，求：1）一维谐振子的能量；2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。已知外磁场H=10T，玻尔磁子MB91024J

6、T1，试计算运能的量子化间隔E，并与T=4K及T=100K的热运动能量对比较。解玻尔索末菲的量子化条件为pdqnh,.此中q是微观粒子的一个广义坐标，p是与之相对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积一圈，n是正整数。（1）设一维谐振子的劲度常数为k，谐振子质量为，于是有Ep21kx222这样，便有p2(E1kx2)2这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动，一正一负正好表示一个来回，运动了一圈。其余，依据可解出x1kx222Ek这表示谐振子的正负方向的最大位移。这样，依据玻尔索末菲的量子化条件，有2(E1kx2)dx()2(E1kx2)dxnhxxx2x2x1kx2)dxx1k

7、x2)dxnh2(E2(Ex2x221kx2)dxnh(Exx22为了积分上述方程的左侧，作以下变量代换；2Esink这样，便有22d2En2Ecossinh2k222Ecos2Enkcosdh2222Ecos2dnh2k2这时，令上式左侧的积分为A，其余再结构一个积分B22Esin2dk这样，便有,.AB22E2AB22E222d2E,kk（1）cos2dkcos2d(2)k2Ecosd,k这里=2，这样，就有ABEdsin0（2）k依据式（1）和（2），便有AEk这样，便有此中hnEhk2Enh2knh,kh2最后，对此解作一点谈论。第一，注意到谐振子的能量被量子化了；其次，这量子化的能量

8、是等间隔分布的。（2）当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有2qBRpqBR这时，玻尔索末菲的量子化条件就为2qBRd(R)nh02qBR2nh2qBRnh又因为动能耐Ep2，所以，有2E(qBR)2q2B2R222,.qBnnBq22nBNB,此中，MBq是玻尔磁子，这样，发现量子化的能量也是等间隔的，并且2EBMB详细到此题，有E1091024J91023J依据动能与温度的关系式3kT2以及1kK103eV1.61022J可知，当温度T=4K时，E1.541.61022J9.61022J当温度T=100K时，E1.51001.61022J2.41020J明显，两种状况下的热运动所对应的能量要大

9、于前面的量子化的能量的间隔。15两个光子在必定条件下能够转变成正负电子对，假如两光子的能量相等，问要实现实种转变，光子的波长最大是多少？解对于两个光子转变成正负电子对的动力学过程，如两个光子以如何的概率转变成正负电子对的问题，严格来说，需要用到相对性量子场论的知识去计算，修正当波及到这个过程的运动学方面，如能量守恒，动量守恒等，我们不需要用那么高妙的知识去计算，具休到此题，两个光子能量相等，所以当对心碰撞时，转变成正风电子对反需的能量最小，因此所对应的波长也就最长，并且，有Ehvec2其余，还有Epc于是，有hcec2hcec2hc1.241060.516m102.41012m2.4103nm

10、尽管这是光子转变成电子的最大波长，但从数值上看，也是相当小的，我们知道，电子,.是自然界中最轻的有质量的粒子，假如是光子转变成像正反质子对之类的更大质量的粒子，那么所对应的光子的最大波长将会更小，这从某种意义上告诉我们，当波及到粒子的衰变，产生，转变等问题，一般所需的能量是很大的。能量越大，粒子间的转变等现象就越丰富，这样，或许就能发现新粒子，这即是世界上在造愈来愈高能的加速器的原由：期望发现新现象，新粒子，新物理。第二章波函数和薛定谔方程2.1证明在定态中，几率流与时间没关。证：对于定态，可令(r，t)(r)f(t)iEt(r)ei(*)J2miEtiiEtiEtiEt*（(r)e（(r)e

11、）(r)e(r)e）2mi(r)*(r)*(r)(r)2m可见J与t没关。2.2由以下定态波函数计算几率流密度：(1)11eikr(2)21eikrrr从所得结果说明1表示向外流传的球面波，2表示向内(即向原点)流传的球面波。解：J1和J2只有r重量在球坐标中r0e1e1rrrsin,.i(1*1)(1)J1112mi1eikrr(1eikr)1eikr(1eikr)r02mrrrrri1(1ik1)1(1ik1)r02mrr2rrr2rk2r0k3rmrmrJ1与r同向。表示向外流传的球面波。(2)J2i(22mi1e2mri1(2mrkr0mr2*)22ikr(1eikr)1eikr(1e

12、ikr)r0rrrrr1ik1)1(1ik1)r0r2rrr2rkr可见，J2与r反向。表示向内(即向原点)流传的球面波。增补：设(x)eikx，粒子的地址几率分布如何？这个波函数可否归一化？*dxdx2波函数不可以按(x)dx1方式归一化。其相对地址几率分布函数为21表示粒子在空间各处出现的几率相同。2.3一粒子在一维势场，x0U(x)0，0 xa，xa中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解：U(x)与t没关，是定态问题。其定态S方程2d2(xU(xx)E(x)2mdx2)(在各地区的详细形式为：x02d21()()1()1(x)2mdx2xUxxE：0 xa2d22(x)E2(x)2mdx

13、2：xa2d23(x)U(x)3(x)E3()2mdx2x因为(1)、(3)方程中，因为U(x)，要等式成立，一定1(x)02(x)0即粒子不可以运动到势阱之外的地方去。方程(2)可变成d22(x)2mE2(x)0dx22令k22mE2，得d22(x)k22(x)0dx2其解为2(x)AsinkxBcoskx依据波函数的标准条件确立系数A，B，由连续性条件，得2(0)1(0)2(a)3(a)B00sinka0kan(n1,2,3,)2(x)Asinnxa由归一化条件2dx1(x)A2an得sin2xdx1aasinmxsinnxdxa由bmnaa2A2a2(x)2sinnxaa2mEk2,.A

14、sinka0,.222Enn(n1,2,3,)可见E是量子化的。2ma2对应于En的归一化的定态波函数为2sinniEntxan(x,t)xe,0aa0,xa,xa#12.4.证明（2.6-14）式中的归一化常数是Aa证：（2.6-14）由归一化，得nAsin(xa),xana0,xa12a2sin2n(xa)dxndxAaaA2a1n(xa)dx1cosa2aA2aA2ax2a2ancos(xa)dxaA2asinn(xaA2aa)2naaA2a1#归一化常数Aa2.5求一维谐振子处在激发态时几率最大的地址。解：(x)12x22xe221(x)242221(x)x2ex223x2e2x2d1

15、(x)232x22x3e2x2dxd1(x)令0，得dx,.x0 x1x由1(x)的表达式可知，x0，x时，1(x)0。明显不是最大几率的地址。d21(x)23(2622)22x(2x2232x2而xx)edx243(152x224x4)e2x2d21(x)24310dx21ex2可见x1是所求几率最大的地址。#2.6在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：U(x)U(x)，证明粒子的定态波函数拥有确立的宇称。证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为2d2(x)U(x)(x)E(x)2dx2将式中的x以(x)代换，得d22dx2(x)U(x)(x)E(x)利用U(x)U(x)，得2d2(x)

16、Ux(x)E(x)2dx2()比较、式可知，(x)和(x)都是描绘在同一势场作用下的粒子状态的波函数。因为它们描绘的是同一个状态，所以(x)和(x)之间只好相差一个常数c。方程、可互相进行空间反演(xx)而得其对方，由经xx反演，可得，(x)c(x)由再经xx反演，可得，反演步骤与上完整相同，即是完整等价的。(x)c(x)乘，得(x)(x)c2(x)(x)可见，c21c1当c1时，(x)(x)，(x)当c1时，(x)(x)，(x)拥有偶宇称，拥有奇宇称，当势场满足U(x)U(x)时，粒子的定态波函数拥有确立的宇称。#,.2.7一粒子在一维势阱中U(x)U00,xa0,xa运动，求约束态(0EU

17、0)的能级所满足的方程。解法一：粒子所满足的S-方程为2d2(x)U(x)(x)E(x)2dx2按势能U(x)的形式分地区的详细形式为：2d21(x)U01(x)E1(x)xadx22：2d22(x)E2(x)axa2dx2：2d23(x)U03(x)E3(x)axdx22整理后，得：12(U0E)102：.22E202：32(U0E)30222(U0E)22E令k12k22则：1k1210：.2k2220：3k1210各方程的解为1Aek1xBek1x2Csink2xDcosk2x3Eek1xFek1x由波函数的有限性，有1()有限A03()有限E0所以Bek1x3Fek1x由波函数的连续性

18、，有,.1(a)2(a),Bek1aCsink2aDcosk2a(10)1(a)2(a),k1Bek1ak2Ccosk2ak2Dsink2a(11)2(a)3(a),Csink2aDcosk2aFek1a(12)2(a)3(a),k2Ccosk2ak2Dsink2ak1Fek1a(13)整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并归并成方程组，得ek1aBsink2aCcosk2aD00k1ek1aBk2cosk2aCk2sink2aD000sink2aCcosk2aDek1aF00k2cosk2aCk2sink2aDk1ek1aF0解此方程即可得出B、C、D、F，从而得出波函数的详细形式

19、，要方程组有非零解，一定ek1asink2acosk2a0k1ek1ak2cosk2ak2sink2a000sink2acosk2aek1a0k2cosk2ak2sink2ak1Bek1ak2cosk2ak2sink2a00ek1asink2acosk2aek1ak2cosk2ak2sink2ak1ek1asink2acosk2a0k1ek1asink2acosk2aek1ak2cosk2ak2sink2ak1ek1aek1ak1k2ek1acos2k2ak22ek1asink2acosk2ak1k2ek1asin2k2ak22ek1asink2acosk2ak1ek1ak1ek1asink2

20、acosk2ak2ek1acos2k2ak1ek1asink2acosk2ak2ek1asin2k2ae2k1a2k1k2cos2k2ak22sin2k2ak12sin2k2ae2k1a(k22k12)sin2k2a2k1k2cos2k2ae2k1a0(k22k12)sin2k2a2k1k2cos2k2a0即(k22k12)tg2k2a2k1k20为所求约束态能级所满足的方程。#解法二：接（13）式Csink2aDcosk2ak2Ccosk2ak2Dsink2ak1k1Csink2aDcosk2ak2Ccosk2ak2Dsink2ak1k1,.k2cosk2asink2ak2sink2acos

21、k2ak1k10k2cosk2asink2a(k2sink2acosk2a)k1k1(k2cosk2asink2a)(k2sink2acosk2a)k1k1(k2cosk2asink2a)(k2sink2acosk2a)0k1k1(k2cosk2asink2a)(k2sink2acosk2a)0k1k12k22sink2acosk2a2(1k22)sin2k2ak1k2sin2k2ak2cos2k2asink2acosk2a0k1k12k2cos2k2a0(k22k12)sin2k2a2k1k2cos2k2a0#解法三：(11)-(13)2k2Dsink2ak1ek1a(BF)(10)+(12

22、)2Dcosk2aek1a(BF)(11)(13)k1(a)k2tgk2a(12)(11)+(13)2k2Ccosk2ak1(FB)eik1a(12)-(10)2Csink2a(FB)eik1a(13)(12)k2ctgk2ak1(10)令k2a，k2a，则tg或ctg22222U0a2(k1k2)2归并(a)、(b)：(c)(d)(f)2k1k22tgk2atg2k2ak12利用tg2k2a2k2ak221tg#解法四：（最简方法-平移坐标轴法）2：1U01E1（0）2,.：222E2（02a）2：23U03E3（2a）12(U0E)10222E2022(U0E)03231k1210(1)k

23、122(U0E)22k2220(2)k222E2约束态0EU03k1230(3)1Aek1xBek1x2Csink2xDcosk2x3Eek1xFek1x1()有限B03()有限E0所以Aek1xx3Fe1由波函数的连续性，有1(0)2(0),AD(4)1(0)2(0),k1Ak2C(5)2(2a)3(2a),k2Ccos2k2ak2Dsin2k2ak1Fe2k1a(6)2(2a)3(2a),Csin2k2aDcos2k2aFe2k1a(7)(7)代入(6)Csin2k2aDcos2k2ak2Ccos2k2ak2Dk2ak1k1sin2利用(4)、(5)，得,.k1Asin2k2aAcos2k

24、2aAcos2k2ak2Dsin2k2ak2k1A(k1k2)sin2k2a2cos2k2a0k2k1A0(k1k2)sin2k2a2cos2k2a0k2k1两边乘上即得(k1k2)(k22k12)sin2k2a2k1k2cos2k2a0#2.8分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能能够近似表示为,x0，U0,0 xa，U(x)axb，U1,0,bx，求约束态的能级所满足的方程。解：势能曲线如图示，分红四个地区求解。定态S-方程为d22dx2(x)U(x)(x)E(x)对各地区的详细形式为2：21U(x)1E1(x0)：222U02E2(0 xa)2：3U13E3(axb)22：40E4(bx)2对

25、于地区，U(x)，粒子不行能抵达此地区，故1(x)02(U0E)0而.2222(U1E)303242E402,.对于约束态来说，有UE02022(U0E)2k12k122022(U1E)3k33k324k4240k422E/2各方程的解分别为2Aek1xBek1x3Csink2xDcosk2x4Eek3xFek3x由波函数的有限性，得4()有限，E04Fek3x由波函数及其一阶导数的连续，得1(0)2(0)BA2A(ek3xek3x)2(a)3(a)3(a)3(a)Ak13(b)4(b)CsinA(ek3x(ek3ak2bek3x)Csink2aDcosk2aek3a)Ck2cosk2aDk2

26、sink2aDcosk2bFek3b3(b)4(b)Ck2sink2bDk2cosk2bFk3ek3b由、，得k1ek1aek1aCcosk2aDcosk2a(11)k2ek1aek1aCsink2aDcosk2a由、得(k2cosk2b)C(k2sink2b)D(k3sink2b)C(k3cosk2b)D(k2cosk2bsink2b)C(k2cosk2bsink2b)D0(12)k3k3ek1ae令eek1ak1ak1k1a，则式变成k2(sink2acosk2a)C(cosk2asink2a)D0联立(12)、(13)得，要此方程组有非零解，一定(k2cosk2bsink2b)(k2si

27、nk2bcosk2b)k3k30(sink2acosk2a)(cosk2asink2a),.即(cosk2asink2a)(k2cosk2bsink2b)(sink2acosk2a)k3(k2sink2bcosk2b)0k3k2k3cosk2bcosk2ak2sink2bsink2asink2bcosk2ak3k2k2sink2bsink2asink2bsink2asink2bcosk2a)k3k3cosk2bsink2asink2(ba)(tgk2(ba)(1cosk2bcosk2ak2)cosk2(bk3k2)(k2k3k30k2a)(1)0k3)把代入即得k2ek1aek1a(k2k1e

28、k1aetgk2(ba)(1kaka)kak3e1e1k3k2e1e此即为所要求的约束态能级所满#1ak1a)足的方程。附：从方程以后也能够直接用队列式求解。见附页。(ek1aek1a)sink2acosk2a0(ek1aek1a)k2k2cosk2ak2sink2a000sink2bcosk2bek3a0k2cosk2bk2sink2bk3ek3ak2cosk2ak2sink2a00(ek1aek1a)sink2bcosk2bek3ak2cosk2bk2sink2bk3ek3asink2acosk2a0k1(ek1aek1a)sink2bcosk2bek3ak2cosk2bk2sink2bk

29、3ek3a(ek1aek1a（k2k3ek3acosk2acosk2b2k3asink2a)k2ecosk2bk2k3ek3asink2asink2bk22ek3acosk2asink2b）k1bek1b（k2k3ek3bsink2acosk2bk2ek3bcosk2ak1(e)cosk2bk3ek3bcosk2asink2bk2ek3bsink2asink2b）,.(ek1aek1a)k2k3cosk2(ba)k22sink2(ba)ek3b(ek1aek1a)k1k3sink2(ba)k1k2cosk2(ba)ek3bek1a(k1k3)k2cosk2(ba)(k22k1k3)sink2(

30、ba)ek3beka(k1k3)k2cosk2(ba)2k1k3)sink2(ba)ek3b1(k20k3)k2(k22k1k3)tgk2(ba)ek3b(k1(k1k3)k2(k2k1k3)tgk2(ba)ek3b02(k22k1k3)e2k1a(k22k1k3)tgk2(ba)(k1k3)k2e2k1a(k1k3)k20此即为所求方程。#增补练习题一2x21、设(x)Ae2(为常数)，求A=？解：由归一化条件，有1A2e2x2d(x)A21e2x2d(x)A21ey2dyA21利用ey2dyA#、求基态微观线性谐振子在经典界线外被发现的几率。解：基态能量为E012设基态的经典界线的地址为，

31、则有E0a在界线外发现振子的几率为122a2121a0a02x2dxe2x2dx(e2x2)ea00,.2e2x2dx(偶函数性质)02e(x)2d(x)02ey2dy12y21y2dyedye2212t2/2（令y122edtt)2122/2dt为正态分布函数1x2/2dt式中et(x)et22当x2时的值(2)。查表得(2)0.920.922(10.92)0.16在经典极限外发现振子的几率为0.16。#12x23x33、试证明(x)e2(23x)是线性谐振子的波函数，并求此波函数对3应的能量。证：线性谐振子的S-方程为2d2(x)12x2(x)E(x)2dx2把(x)代入上式，有d(x)d

32、12x23x)e2(23x3dxdx32x(23x33x)(63x212x23)e23e312x254322(2x9x3)d2(x)d12x2e2(25x493x23)dx2dx312x25x493x212x2183x)32xe2(23)e2(85x312x2(4x272)e2(23x33x)3(4x272)(x),.d2把dx2(x)代入式左侧，得左侧2d2(x)12x2(x)2dx2272224x2(x)12x2(x)2(x)2222421227(x)（x2）x(x)227(x)12x2(x)12x2(x)2227(x)2右侧E(x)7当E时，左侧=右侧。n=32d12x23x)，是线性谐

33、振子的波函数，(x)e2(23x33dx7为。2第三章量子力学中的力学量】2x2it(x)e223.1一维谐振子处在基态，求：(1)势能的均匀值U12x2；2(2)动能的均匀值Tp2；2(x)其对应的能量动量的几率分布函数。解：(1)U12x212x2e2x2dx221221121122222222414x2neax2dx135n1(2n1)02ana(2)p21*(x)p?2(x)dxT22,.112x22d212x2e2()e2dx2dx222x2dx2(12x2)e222x22x22edx2x2edx222232222222224414111或TEU244(3)c(p)*p(x)(x)d

34、x112x2iPxe22edx1e12x2iPxdx22e112(xip2p2e22)222dx21p212(xip)2e222e22dx21p221e222e2动量几率分布函数为p22122(p)c(p)e#3.2.氢原子处在基态(r,)1er/a0，求：a032222(1)r的均匀值；e2(2)势能的均匀值；r最可几半径；动能的均匀值；动量的几率分布函数。,.rr(r,)212re2r/a0r2sindrdd解：(1)d300a004r3a2r/a0dr30a0 xneaxdxn!an1043!3a0a03242a0222(2)U(e)e1e2r/a0r2sindrddra03000r22

35、ee2r/a0rsindrdd0003a04e2e2r/a0rdr30a04e21e2a0322a0a0电子出此刻r+dr球壳内出现的几率为22242r/a02(r)dr(r,)rsindrddrdr03e0a0(r)43e2r/a0r2a0d(r)42r)re2r/a0dr3(2a0a0d(r)0，r10,r2,r3a0令dr当r10,r2时，(r)0为几率最小地址d2(r)4(28r4r2)e2r/a0dr2a03a0a02d2(r)820dr23era0a0ra0是最可几半径。?122221211)(sin)(4)T2p?22r(rr22rsinsin221er/a02(er/a0)r2

36、sinTdrdd20003a0,.2221r/a01d2dr/a0)r2sindrdd0003e2r(ea0rdrdrc(p)4212a03(a00(2r42(2a02a02)2a0444p*(r)(r,)dr2)er/a0dr2a02c(p)11er/a0r2driprcossin2ded(2)3/20a03002ir2er/a0dreprcoscos)d(2)3/2a03002iprcosr2er/a0dre(2)3/2a030ipr02iipreprrer/a0(e)dr(2)3/2a03ip0 xneaxdxn!an10211ip)2(1(2)3/2a03ip(1ip)2a0a014i

37、p2a033ip1p22a0(a022)4a0442a033a0(a02p22)2(2a0)3/2(a02p22)2动量几率分布函数(p)28a035c(p)2(a0p22)4#3.3证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的重量是JerJe0Jeemrsin证：电子的电流密度为2nmJeeJei*nm)(nmnmnm2,.在球极坐标中为er11eerrrsin式中er、e、e为单位矢量JeeJeinm(err1ee1)n*m2rrsinn*m(err1ee1)nmrrsinie*nm)e(nm1*er(nmnmnmrnm2rr*11*1*nmrnm)e(rsinnmnmrsinnmn

38、m中的r和部分是实数。Jeie(imnm22em2rsinimnm)ersin可见，JerJe0Jeemnm2rsin#3.4由上题可知，氢原子中的电流能够看作是由很多圆周电流构成的。求一圆周电流的磁矩。证明氢原子磁矩为me(SI)MMz2me(CGS)2c原子磁矩与角动量之比为eMz2(SI)Lze2(CGS)cnm)2nme这个比值称为辗转磁比率。解：(1)一圆周电流的磁矩为dMiAJedSA（i为圆周电流，A为圆周所围面积）em2(rsin)2nmdSrsinemrsin2dSnmemr2sin2(dSrdrd)nmdrd氢原子的磁矩为MdMem2drd00nmr2sinem22drd0

39、0nmr2sin2em22drddnmr2sin2000em(SI)2在CGS单位制中Mem2c原子磁矩与角动量之比为MzMe(SI)LzLz2#3.5一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是H对应的量子系统在以下状况下的定态能量及波函数：转子绕一固定轴转动：转子绕一固定点转动：解：(1)设该固定轴沿Z轴方向，则有L2L2Z?122d2哈米顿算符?H2ILZ2Id2其本征方程为?(H与t没关，属定态问题)2d2()E()2Id2d2()2IE()d2222IE令m2，则,.Mze(CGS)Lz2cL2，L为角动量，求与此2Id2()m2()0d2取其解为()Aeim(m可正可负可为零)由

40、波函数的单值性，应有(2)()eim(2)eim即ei2m1m=0，1，2，转子的定态能量为Emm22(m=0，1，2，)2I,.可见能量只好取一系列分立值，构成分立谱。定态波函数为Aeim为归一化常数，由归一化条件2*2221AdA20mmd0A12转子的归一化波函数为meim2综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。(2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为?1?2HL2I?与Ht没关，属定态问题，其本征方程为1?2Y(,)EY(,)2IL?(式中Y(,的本征函数，E为其本征值)设为H?2Y(,)2IEY(,)L令2IE2，则有?2,)2Y(,)LY(?2此即为角动量L的本征方程，其本

41、征值为L22(1)2(0,1,2,)Ym(,)NmPm)eim其波函数为球谐函数(cos转子的定态能量为E(1)2I2可见，能量是分立的，且是(21)重简并的。#3.6设t=0时，粒子的状态为(x)Asin2kx21coskx求此时粒子的均匀动量和均匀动能。解：(x)Asin2kx21coskxA21(1cos2kx)21coskxAcoskx1cos2kx2,.A121(ei2kxei2kx)21(eikxeikx)2A2ei0 x12ei2kx12ei2kx12eikx12eikx122可见，动量pn的可能值为02k2kkkpn22k222k22k22k22动能的可能值为0222A2A2A

42、2A2A2对应的几率n应为(161616)2416(11111)A228888上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得1A2A2A2n(4)22n4162A1/动量p的均匀值为pnnn02kA222kA22kA2kA201616221616Tp2pn2n2n202k221k221282825k228#3.7一维运动粒子的状态是Axex,当x0(x)当x00,此中0，求：粒子动量的几率分布函数；粒子的均匀动量。解：(1)先求归一化常数，由12A2x2e2xdx(x)dx013A24A23/2,.(x)23/2xe2x(x0)(x)0(x0)c(p)1eikx(x)dx(1)1/223/2xe(i

43、k)x(x)dx22(23)1/2xe(ik)x1e(ik)xdx2ik0ik(23)1/2(x(23)1/21p2ik)22(i2)动量几率分布函数为(p)22312331c(p)p2(22p2)222(2)(2)p*?(x)dxi43xexd(ex)dx(x)pdxi43x(1x)e2xdxi43(xx2)e2xdxi43(1212)440#3.8.在一维无穷深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，假如粒子的状态由波函数(x)Ax(ax)描绘，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的均匀值。解：由波函数(x)的形式可知一维无穷深势阱的分布如图示。粒子能量的本征函数和本征值为2nx,0 xa(x

44、)sinaa0,x0,xaEnn222(n1，2，3，)2a2动量的几率分布函数为(E)Cn2Cn*a(x)(x)dx0sinnx(x)dxa先把(x)归一化，由归一化条件，12dxa2x2(ax)dxA2a2(a22axx2)dx(x)Ax00A2a2ax3x4)dx(a2x20,.A2(a5a5a5)A2a532530aCn030Aa5230naa5sinxx(ax)dxa215aaa30 xsinnxdxa2sinnxdxxa0a215a2nxa32sinnax2cosna3nxcosa2axxnna2a2n2a3nan22xsinaxn33cosax0415(1)nn331(E)Cn2

45、2401(1)n2n66960，n，n66135，n2,4,6,0?a?2E(x)p(x)dx(x)H(x)dx02a30 x(xa)2d2x(xa)dx0a52dx2302a302a3a3a50 x(xa)dxa5(2)3253.9.设氢原子处于状态(r,)1R21(r)Y10(,)3R21(r)Y11(,)22求氢原子能量、角动量平方及角动量Z重量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的均匀值。解：在此能量中，氢原子能量有确立值E2es2es2(n2)2n2822角动量平方有确立值为L2(1)222(1)角动量Z重量的可能值为,.LZ10LZ2其相应的几率分别为1，344其均匀值为LZ

46、13304443.10一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为,ra;U(r)0,ra求粒子的能级和定态函数。解：据题意，在ra的地区，U(r)，所以粒子不行能运动到这一地区，即在这地区粒子的波函数0(ra)因为在ra的地区内，U(r)0。只求角动量为零的状况，即0，这时在各个方向发现粒子的几率是相同的。即粒子的几率分布与角度、没关，是各向同性的，所以，粒子的波函数只与r相关，而与、没关。设为(r)，则粒子的能量的本征方程为21d(r2d)E2rdrdr令U(r)rE,k22E，得2d2uk2u0dr2其通解为u(r)AcoskrBsinkr(r)AcoskrBsinkrrr波函数的有限性条件知，(

47、0)有限，则A=0(r)Brsinkr由波函数的连续性条件，有(a)0Bsinka0aB0kan(n1,2,)knaEnn2222a2,.(r)Bsinnrra此中B为归一化，由归一化条件得1dda22sindr(r)r0004a2sin2nrdr2aB2B0aB1a归一化的波函数1sinnr(r)a2ar3.11.求第3.6题中粒子地址和动量的测禁止关系(x)2(p)2?解：p0p22T5k2241coskx2dxxA2xsin2kx02x2A2x2sin2kx1coskx2dx222(x)2(p)2(x22x)(pp)3.12粒子处于状态11/2ix2(x)(22)expp0 x42式中为

48、常量。当粒子的动量均匀值，并计算测禁止关系(x)2(p)2解：先把(x)归一化，由归一化条件，得x2x112e22dx21e(22)2d(x2)22221(212)1/2221/2是归一化的(x)expip0 xx22动量均匀值为dix2ip0 xp*(iie2(p0)dxdx#?ix2px02dxx)e,.i(ip0 x)ex2dxp0ex2dxixex2dxp0(x)2(p)2?x*xdxxex2dx（奇被积函数）x2x2ex2dx1xex21ex2dx2212p22*d2dx2eip0 xx2d2ip0 xx2dxedxdx2(p02)i2p0 xex2dx22x2ex2dx2(p020

49、(221(22)p0)(x)2x2x12222(p)2p22(2p02)p022p22(x)2(p)21221224#3.13利用测禁止关系预计氢原子的基态能量。解：设氢原子基态的最概然半径为R，则原子半径的不确立范围可近似取为rR由测禁止关系2(r)2(p)24(p)22得4R2对于氢原子，基态波函数为偶宇称，而动量算符p为奇宇称，所以p0(p)222又有ppp2p)22所以(4R2p22可近似取R2能量均匀值为P2es2Er2,.作为数目级估量可近似取es2es2rR则有2es2ER2R2基态能量应取E的极小值，由E22es0RR3R22得Res2代入E，获取基态能量为Emines422增

50、补练习题二1试以基态氢原子为例证明：?的本征函数，而是?不是T或UTU的本征函数。解：10011)3/22er/a01es24(2)a0a0?21r(r2r)112T2r2sin(sin)sin22?es2Ur?21r(r2T1002r221(1)3/22a021(1)3/2(2a0常数100不是?的本征函数100T100)r12r1a02(r2er/a0)rr2r/a0212a0r)e2(a02a0r)100?es2U100100r可见，?100不是U的本征函数而?100211)3/2(12r/a0es2100(TU)2(2)era0a0a0r21222a02100a0r100100a0r2

51、11002a02,.可见，?100是(TU)的本征函数。2证明：L6，L的氢原子中的电子，在45和135的方向上被发现的几率最大。解：Wm(,)dYm2dWm(,)Ym2L6，L的电子，其2,m1Y21(,)15sincosei8Y21(,)15sincoseiW21(,)815sin2cos215sin22Ym2832当45和135时15W21为最大值。即在45，135方向发现电子的几率最大。3215在其余方向发现电子的几率密度均在0之间。323试证明：处于1s，2p和3d态的氢原子的电子在离原子核的距离分别为a0、4a0和9a0的球壳内被发现的几率最大(a0为第一玻尔轨道半径)。证：对1s

52、态，n1,0,R10(1)3/2er/a0a0W10(r)r2R102(r)(1)34r2e2r/a0a0W10134(2r22)e2r/a0r()ra0a0W100r10,r2,r3a0令r易见，当r10,r2时，W100不是最大值。W10(a0)4e2为最大值，所以处于1s态的电子在ra0处被发现的几率最大。a0对2p态的电子n2,1,R21(1)3/2rer/2a02a03a021)3r4W21(r)r2R212r2er/a0(2a03a0W2113(4r)er/a0r5r24a0a0,.W210r10,r2,r34a0令r易见，当r10,r2时，W210为最小值。2W211r2(128

53、rr2)er/a0r224a05a0a022W2112(123216)e48e40r224a0516a03a03r4a0r4a0为几率最大地址，即在r4a0的球壳内发现球态的电子的几率最大。对于3d态的电子n3,2,R32(2)3/21(r)2er/3a0W32(r)r2R3211a08115a0r6er/3a02a781215W328r5(62r)e2r/3a0r215a73a0810W320r10,r2,r39a0令r易见，当r10,r2时，W320为几率最小地址。2W3216(15r24r52r6)e2r/3a0r281215a07a09a022W321436a0281a02)e6r28

54、1215a07(9a0)(15a09a02r9a0163e605a0r9a0为几率最大地址，即在r9a0的球壳内发现球态的电子的几率最大。当无磁场时，在金属中的电子的势能可近似视为U(x)0,x0(在金属内部)U0,x0(在金属外面)此中U00，求电子在均匀场外电场作用下穿过金属表面的透射系数。解：设电场强度为，方向沿轴负向，则总势能为V(x)ex(x0)，V（x）U0ex（x0）势能曲线以以下图。则透射系数为Dexp2x1(U0exE)dx2x2式中E为电子能量。x10，x2由下式确立p2(U0exE)0,.x2U0Ee令xU0Esin2，则有eU0E2sin2x12(U0ex22(U0E)

55、dx2E)dx0eU0E322(U0E)(cos)2e302U0E2(U0E)3e2U0E透射系数Dexp(U0E)3e2指出以下算符哪个是线性的，说明其原由。4x2d2；2dx2解：4x2d2是线性算符dx24x2d22(c1u1c2u2)dxc14x2d22u1c2dx2不是线性算符n；K14x2d2d22(c1u1)4x22(c2u2)dxdx24x2d2u2dxc1u1c2u22c12u122c1c2u1u2c22u22c1u12c2u22n是线性算符K1nNNNNc1u1c2u2c1u1c2u2c1u1c2u2K1K1K1K1K1指出以下算符哪个是厄米算符，说明其原由。d，d，d2d

56、xi42dxdx,.解：ddx*-ddx*dxdx当x，00*ddxd*dx(d)*dxdxdxdxd()*dx不是厄米算符dx*iddxi*-id*dxdxdxi(d)*dx(id)*dxdxdxid是厄米算符dxd2dd*d*4dx2dx4*dx-4dxdxdx4d*ddx4d*4d2*dxdxdxdxdx24d2*dx(4d2)*dxdx2dx2d24是厄米算符2dxd27、以下函数哪些是算符dx2的本征函数，其本征值是什么？x2，ex，sinx，3cosx，sinxcosx解：d22(x2)2dxd2x不是2的本征函数。dxd22exexdxd2ex的本征函数，其对应的本征值为1。不是

57、2d2dx(sinx)d(cosx)sinxdx2dxd21。可见，sinx是2的本征函数，其对应的本征值为2dxdd2(3cosx)(3sinx)3cosx(3cosx)dxdx,.3cosx是d2的本征函数，其对应的本征值为1。d2dx2(sinxcosx)dsinx）sinxcosxdx2(cosxdx(sinxcosx)sinxcosxd2是2的本征函数，其对应的本征值为1。dx8、试求算符?ieixd的本征函数。Fdx?的本征方程为解：F?FF即ieixdFdxdiFeixdxd(Feixd)d(Feixd)dxdxlnFeixdlncFeixdx?ce（F是F的本征值）、假如把坐标

58、原点取在一维无穷深势阱的中心，求阱中粒子的波函数和能级的表达式。a0,x解：U(x)2ax2方程（分地区）：U(x)I(x)0(xa)2：U(x)III(x)0(xa)d22：2IIEII2dx2d2II2EII0dx22令k22E2d2IIk2II0dx2Asin(kx)II,.I(a)II(a)标准条件：22III(a)II(a)22Asin(kx)0A0sin(kx)0取a0，即akk22II(x)Asink(xa)Asinka02sinka0kan(n1,2,)naAsinn(xa),xa粒子的波函数为(x)a22a0,x2粒子的能级为E2k2n22k2(n1,2,3,)22a由归一化

59、条件，得(x)dA2sin2n(xa)dx12a/2a/2a2A2a/2112n(xaa/22cos)dxA2a(x2aA2cos2na)dxa/22a/2a2aa2A2a2n(xa2A2nsina2)2a2A222Aa粒子的归一化波函数为2sinn(xa),xa(x)aa22a0,x2,.10、证明：处于1s、2p和3d态的氢原子中的电子，当它处于距原子核的距离分别为a0、4a0、9a0的球壳处的几率最（a0为第一玻尔轨道半径）。证：1s:(r)10drR102r2dr(1)34e2r/a0r2dra010(r)(1)34r2e2r/a0a0d104(13222r/a0dr)(2rr)ea0

60、a08(1)3(11r)re2r/a0a0a0d100，则得令drr110r11a0d210dr2d210dr2d210dr28(1)3(12r)r(1r)e2r/a0a0a0a0a08(1)3(14r2r2)e2r/a0a0a0a020r110为几率最小处。r1100r11a0为几率最大处。r11a02p:21()2r2drrdrR21(1)3r2er/a0r2dr2a03a0221(r)(1)3r2er/a02a03a02d2115(41r)r3er/a0dr24a0a0d2211(18rr2）r2er/a0dr224a05a0a02d210，则得令drr210r224a0d2210r22