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文档简介
1、选修课:趣味数学第二讲 趣味算术和代数11.分配问题2.等价代换3.巧设辅助未知数4.不定方程5.孙子定理2趣题1)分面包 三个旅游者在一个山顶上相遇。到午餐的时候,丙请求说:“两位朋友,眼看到了吃饭的时间,而我却没有带干粮,我本以为带了钱就可随时随地买到吃的,而在这个山顶上,钱再多也买不到东西,所以,我请两位朋友帮个忙。” 甲乙两人一听,说“四海之内皆兄弟”,就倾其所有:甲一共带了5个面包,乙带了3个面包,拿出来大家平均分享。 吃完午餐,丙掏出8元钱给甲、乙两人作为膳费,有甲、乙两人自行分配。甲理所当然的拿走了5元,余下3元,乙也没有客气收下了。 你认为这样分配膳费是否合理?3 不合理。 每
2、人吃了8/3个面包。 乙支援丙的只有1/3个,甲支援丙的有7/3个,按照比例为1:7, 所以乙应拿1元,甲拿7元。分析:4趣题2)分马 有一位阿拉伯老人,生前养有11匹马,他去世前立下遗嘱:大儿子、二儿子、小儿子、分别继承遗产的1/2,1/4,1/6。儿子们想来想去没法分,只好请教他们的舅父,舅父很快就解决了问题。 你知道他们的 舅父是如何分的吗?5分析一: 聪明的舅父牵来了自己的1匹马,对他们说:“你们看,现在有12匹马了,老大得12匹的1/2,就是6匹中,老二得12匹的1/4就是3匹,老三得12匹的1/6就是2匹,还剩下一匹我照样牵回家去。分析二: 现在有11匹马了,老大得6匹,老二得3匹
3、,老三得2匹。 事实上,只需按比例分配:6趣题1)空瓶换饮料 有一天,一个小朋友去买了10瓶饮料,商店老板说:“喝完饮料后,每3个空饮料瓶可换1瓶饮料。”请问这个小朋友最多可以喝到多少瓶饮料? 7【分析一】我们按照实际换饮料过程分析: 喝掉10瓶饮料,用10个空瓶换回3瓶饮料,还剩1空瓶; 喝掉3瓶饮料,用3个空瓶换回1瓶饮料,又余1个空瓶; 喝掉1瓶饮料,此时,再借1个空瓶,与剩下的2个空瓶一起又可换回1瓶饮料,喝完后将空瓶还了。所以,他共喝到饮料10+3+1+1=15(瓶)。【分析二】注意到“每3个空瓶可换一瓶饮料”(连饮料带瓶)这个条件,可知每2个空瓶就能换到一瓶饮料(不带瓶),那么喝剩
4、的10个空瓶共能换到5瓶饮料,所以他前后共能喝到10+5=15(瓶)饮料。8【分析三】 每2个空瓶能换一瓶饮料(不带瓶),即一个空瓶能换1/2瓶饮料,那么买一瓶啤酒实际能喝到3/2瓶饮料,因此他前后能喝瓶饮料。9趣题2)铸坯加工零件 一块钢锭可以铸成25个机器零件的毛坯,每加工5个机器零件的毛坯所剩的脚料又可以铸成一个机器零件的毛坯。现在有这种钢锭10块,最多可以加工多少个机器零件?10分析: 这类问题显然也属于“空瓶换饮料”问题。由“每加工5个机器零件的毛坯所剩的脚料又可铸成一个机器零件的毛坯”可知,实际每加工5个机器零件只需要4个机器零件的毛坯(没有脚料),即每个零件只需个机器零件毛坯,所
5、以10块钢锭能加工11趣题1)往返路程 某人登到山顶上后就立即从山上下来返回到出发点,往返用了5小时,在平地上来去的速度都是4公里/小时,上坡时以3公里/小时的速度,下坡时以6公里/小时的速度行走,求这个人的往返路程.12分析: 设平地单程行走a公里,山道单程行走b公里。 所需要的时间.a/4十b/3b/6a/45, 于是得到往返的路程为:2(ab)20公里13趣题2)环保知识竞赛在环保知识竞赛中,某校代表队的队员平均分是88分,其中女生的平均成绩比男生平均成绩高10%,而男生人数比女生人数多10%,则男、女生的平均成绩各是多少?14分析: 设女生人数为x,男生平均成绩为y分,则男生人数为1.
6、1x,女生平均成绩为1.1y分。根据题意,得 化简整理,得 又女生人数 , 答:女生平均成绩为92.4分,男生平均成绩为84分。15趣题1)百鸡问题 今有鸡翁一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱一。 百钱买百鸡,问鸡翁母雏各几何?”16分析: 设x, y, z分别表示鸡翁、鸡母、鸡雏的只数,则可列出方程如下:消去z得到方程 这里,方程的个数少于未知数的个数,在实数范围内,方程的解有无穷多个。而我们所关心的是其有无整数或正整数解,这种方程组称为不定方程。17趣题2)铺地板 小明家现有边长相等的正三角形、正方形、正五 边形、正六边形四种地板砖,要选择其中两种用 以铺地板,则下列选择正确的是(
7、)A、 、 B、 、 C、 、 D、 18分析: 这类问题实质上是“不定方程求正整数解”的问题,因为铺好的地板中间不能出空隙,所以两种图形内角拼在一起恰好要构成360 度角,并且砖的块数又是正整数。于是就使几何拼图转化成不定方程求正整数解的问题。设需正三角形地砖m块,正方形地砖n块恰好铺成,则有60m+90n=360.191.二元一次不定方程的一般形式为 ax+by=c , 其中a,b,c为整数,ab0如:90m+60n=360 20 1)铺地板)60m+90n=360的整数解有哪些?化简得2m+3n=12变形得显然可得2.二元一次不定方程解的形式和判定212.二元一次不定方程解的形式和判定例
8、:方程3x+4y=10有一组整数解为x=2,y=1, 所以它的一切整数解为x=2 4t, y=1+3t若ax+by=c (其中a,b,c为整数,ab0)有整数解则当a,b互质时,它的一切整数解可以表示为:22例题:下列不定方程没有整数解的是( )A、3x+2y=12 B、2x-11y=3C、3x+6y=8 D、99x+98y=1思考:是不是所有的二元一次不定方程都有整数解呢?二元一次不定方程的一般形式为axbyc,其中 a,b,c 是整数,ab 0。此方程有整数解的充分必要条件是a、b的最大公约数整除c 。c233,二元一次不定方程的常用解法1)观察法例:求下列二元一次不定方程的一切整数解。(
9、1) 2x+3y=5(2) 5x+10y=20 解:(1) 由观察得知x=1,y=1是方程的一组解所以方程的整数解为x=1-3t,y=1+2t,t为整数 (2)先化简得x+2y=4由观察得知x=2,y=1是方程的一组解所以方程的整数解为x=2-2t, y=1+t, t为整数242)整数分离法解:变形得可得一组解释x=4,y=18因为要求正整数解,所以显然可得25例:求方程3x+5y=31的整数解解:方程变形所以x=12,y=-1是方程的一组解所以方程的所有整数解为263)辗转相除法解:用180、19进行辗转相除法 因为18019=9 9 199=2 1所以1=19-92=19-(180-199
10、)2 =1919-1802 所以x=19, y=2就是方程的一组正整数解例:求方程19x-180y=1的一组正整数解。27例:求25x+17y=3的整数解解:因为2517=18 178=2 1所以8=25-171 1=17-82所以1=17-82=17-(25-171)2 =25(-2)+173所以3=25 (-2) 3+ 173 3所以x= (-2) 3,y= 3 3是方程的一组整数解所以方程的所有整数解为 x= (-2) 3+17t, y= 3 3 -25t , t为整数28趣题3)蟋蟀蜘蛛共盆 在一个盆内有6脚蟋蟀和蜘蛛(8只脚)若干,共有46只脚,问蟋蟀和蜘蛛各有几只?29设6脚虫有x
11、只,蜘蛛有y只,依题意可得 6x+8y=46 化简得3x+4y=23由观察得知x=1,y=5是方程的一组解所以方程的整数解为x=1+4t,y=5-3t,t为整数因为所求为正整数解所以原方程的非负整数解为x=1,y=5或x=5,y=2分析;30趣题4 丢番图的墓碑 希腊数学家丢番图的墓碑上有如下记载:“丢番图一生1/6处于儿童时代,1/12是青年时代,以后一生的1/7渡过了婚前生活.结婚后五年有了孩子,可当孩子长到父亲年龄的一半时就早亡了.”那么丢番图在多大年龄上离开人世的呢?需要说明的是这里的年龄数全部都是整数.31分析: 设丢番图是在x岁上去世的,他的孩子是在y岁上死的.于是有将上式变形后:
12、 x是6,7,12的倍数,最小为8432趣题1)韩信点兵 多多益善韩信阅兵时,让一队士兵5人一行排队从他面前走过,他记下最后一行士兵的人数(1人);再让这队士兵6人一行排队从他面前走过,他记下最后一行士兵的人数(5人);再让这队士兵7人一行排队从他面前走过,他记下最后一行士兵的人数(4人);再让这队士兵11人一行排队从他面前走过,他记下最后一行士兵的人数(10人)33这里面有什么秘密呢?韩信好像非常重视作除法时的余数然后韩信就凭这些数,可以求得这队士兵的总人数。韩信点兵,多多益善34 每3人站成一排,最后一排只有1人;每5人站成一排,最后一排也只有1人;每7人站成一排,最后一排还是1人。你能推
13、算出最少有多少人?队列1解;N=3571=106人35队列2 每3人站成一排,最后一排只有2人;每5人站成一排,最后一排只有4人;每7人站成一排,最后一排是6人。你能推算出最少有多少人?分析:假如从另外一支队伍中先借一名士兵,那么现在要求的人数就是3、5、7的倍数,再让那名士兵回到自己的队伍解:N=3571=10436 每3人站成一排,最后一排只有2人;每5人站成一排,最后一排站了3人;每7人站成一排,最后一排有4人。你能推算出最少有多少人?N=702213154-1052=263-1052=53人队列3371.孙子算经的公式 今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物有几
14、何?N=702+213+1521052=23。物不知其数 N=70R1+21R2+15R3105p(p是整数)。 38孙子算法的关键,在于70、21和15这三个数的确定:三个数最小公倍数M=(3,5,7)=105(5,7)=35,352=70,则被3除余1;(3,7)=21,211=21,则被5除余1;(3,5)=15,151=15,则被7除余1.所以,这三个数的和702213152,必然具有被3除余2,被5除余3,被7除余2的性质。39队列3的分析 三个数最小公倍数M=(3,5,7)=105(5,7)=35,352=70,则被3除余1;(3,7)=21,211=21,则被5除余1;(3,5)
15、=15,151=15,则被7除余1. 702+213+154=263 满足我们的条件,但不是最小的自然数,处理方法就是减去最小公倍数的若干倍,使结果在最小公倍数之内。所以答案为:263-1052=53。40 该定理用现在的语言表达如下: 设 两两互素,设 分别被 除所得的余数为 ,则 可表示为下式 其中 是 的最小公倍数; 是 的公倍数,而且被 除所得余数为1; 是任意整数。 2.孙子定理(中国剩余定理)41解:题中3、4、5三个数两两互质。则4,5=20;3,5=15;3,4=12;3,4,5=60。为了使20被3除余1,用202=40;使15被4除余1,用153=45;使12被5除余1,用
16、123=36。然后,401+452+364=274,因为,27460,所以,274604=34例1 一个数被3除余1,被4除余2,被5除余4,这个数最小是几?42题中9、7、5三个数两两互质。则7,5=35;9,5=45;9,7=63;9,7,5=315。为了使35被9除余1,用358=280;使45被7除余1,用455=225;使63被5除余1,用632=126。然后,2805+2251+1262=1877,因为,1877315,所以,18773155=302例2 某个年级的同学,每9人一排多5人,每7人一排多1人, 每5人一排多2人,问这个年级至少有多少人?43趣题1韩信点兵的求解假设兵将近一万,每5人一列剩1人、6人一列剩5人、7人一列剩4人、11人一列都剩10人,则兵有多少?(6,7,11)=462,(5,7,11)=385,(5,6,11)=330(5,6,7)=210,(5,6,7,11)=2310使462被5除余1,用4623=1386而385被6除余1,330被7除余1,210被11除余1然后13861+3855+3304+21010=6731所以6731+2310=904144趣题
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