趣味算术和代数

1、选修课：趣味数学第二讲 趣味算术和代数11.分配问题2.等价代换3.巧设辅助未知数4.不定方程5.孙子定理2趣题1)分面包 三个旅游者在一个山顶上相遇。到午餐的时候，丙请求说：“两位朋友，眼看到了吃饭的时间，而我却没有带干粮，我本以为带了钱就可随时随地买到吃的，而在这个山顶上，钱再多也买不到东西，所以，我请两位朋友帮个忙。” 甲乙两人一听，说“四海之内皆兄弟”，就倾其所有：甲一共带了5个面包，乙带了3个面包，拿出来大家平均分享。 吃完午餐，丙掏出8元钱给甲、乙两人作为膳费，有甲、乙两人自行分配。甲理所当然的拿走了5元，余下3元，乙也没有客气收下了。 你认为这样分配膳费是否合理？3 不合理。 每

2、人吃了8/3个面包。 乙支援丙的只有1/3个，甲支援丙的有7/3个，按照比例为1:7， 所以乙应拿1元，甲拿7元。分析：4趣题2)分马 有一位阿拉伯老人，生前养有11匹马，他去世前立下遗嘱：大儿子、二儿子、小儿子、分别继承遗产的1/2，1/4，1/6。儿子们想来想去没法分，只好请教他们的舅父，舅父很快就解决了问题。 你知道他们的 舅父是如何分的吗？5分析一： 聪明的舅父牵来了自己的1匹马，对他们说：“你们看，现在有12匹马了，老大得12匹的1/2，就是6匹中，老二得12匹的1/4就是3匹，老三得12匹的1/6就是2匹，还剩下一匹我照样牵回家去。分析二： 现在有11匹马了，老大得6匹，老二得3匹

3、，老三得2匹。 事实上，只需按比例分配：6趣题1）空瓶换饮料 有一天，一个小朋友去买了10瓶饮料，商店老板说：“喝完饮料后，每3个空饮料瓶可换1瓶饮料。”请问这个小朋友最多可以喝到多少瓶饮料？ 7【分析一】我们按照实际换饮料过程分析： 喝掉10瓶饮料，用10个空瓶换回3瓶饮料，还剩1空瓶； 喝掉3瓶饮料，用3个空瓶换回1瓶饮料，又余1个空瓶； 喝掉1瓶饮料，此时，再借1个空瓶，与剩下的2个空瓶一起又可换回1瓶饮料，喝完后将空瓶还了。所以，他共喝到饮料10+3+1+1=15（瓶）。【分析二】注意到“每3个空瓶可换一瓶饮料”（连饮料带瓶）这个条件，可知每2个空瓶就能换到一瓶饮料（不带瓶），那么喝剩

4、的10个空瓶共能换到5瓶饮料，所以他前后共能喝到10+5=15（瓶）饮料。8【分析三】 每2个空瓶能换一瓶饮料（不带瓶）,即一个空瓶能换1/2瓶饮料，那么买一瓶啤酒实际能喝到3/2瓶饮料，因此他前后能喝瓶饮料。9趣题2）铸坯加工零件 一块钢锭可以铸成25个机器零件的毛坯，每加工5个机器零件的毛坯所剩的脚料又可以铸成一个机器零件的毛坯。现在有这种钢锭10块，最多可以加工多少个机器零件？10分析： 这类问题显然也属于“空瓶换饮料”问题。由“每加工5个机器零件的毛坯所剩的脚料又可铸成一个机器零件的毛坯”可知，实际每加工5个机器零件只需要4个机器零件的毛坯（没有脚料），即每个零件只需个机器零件毛坯，所

5、以10块钢锭能加工11趣题1）往返路程 某人登到山顶上后就立即从山上下来返回到出发点，往返用了5小时，在平地上来去的速度都是4公里/小时，上坡时以3公里/小时的速度，下坡时以6公里/小时的速度行走，求这个人的往返路程.12分析： 设平地单程行走a公里，山道单程行走b公里。 所需要的时间.a/4十b/3b/6a/45， 于是得到往返的路程为:2(ab)20公里13趣题2）环保知识竞赛在环保知识竞赛中，某校代表队的队员平均分是88分，其中女生的平均成绩比男生平均成绩高10%，而男生人数比女生人数多10%，则男、女生的平均成绩各是多少？14分析： 设女生人数为x，男生平均成绩为y分，则男生人数为1.

6、1x，女生平均成绩为1.1y分。根据题意，得 化简整理，得 又女生人数 ， 答：女生平均成绩为92.4分，男生平均成绩为84分。15趣题1)百鸡问题 今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一。 百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？”16分析： 设x, y, z分别表示鸡翁、鸡母、鸡雏的只数，则可列出方程如下：消去z得到方程 这里，方程的个数少于未知数的个数，在实数范围内，方程的解有无穷多个。而我们所关心的是其有无整数或正整数解，这种方程组称为不定方程。17趣题2）铺地板 小明家现有边长相等的正三角形、正方形、正五 边形、正六边形四种地板砖，要选择其中两种用 以铺地板,则下列选择正确的是（

7、）A、 、 B、 、 C、 、 D、 18分析： 这类问题实质上是“不定方程求正整数解”的问题，因为铺好的地板中间不能出空隙，所以两种图形内角拼在一起恰好要构成360 度角，并且砖的块数又是正整数。于是就使几何拼图转化成不定方程求正整数解的问题。设需正三角形地砖m块，正方形地砖n块恰好铺成，则有60m+90n=360.191.二元一次不定方程的一般形式为 ax+by=c , 其中a,b,c为整数,ab0如：90m+60n=360 20 1）铺地板）60m+90n=360的整数解有哪些？化简得2m+3n=12变形得显然可得2.二元一次不定方程解的形式和判定212.二元一次不定方程解的形式和判定例

8、：方程3x+4y=10有一组整数解为x=2,y=1, 所以它的一切整数解为x=2 4t, y=1+3t若ax+by=c （其中a,b,c为整数,ab0）有整数解则当a,b互质时，它的一切整数解可以表示为：22例题：下列不定方程没有整数解的是（ ）A、3x+2y=12 B、2x-11y=3C、3x+6y=8 D、99x+98y=1思考：是不是所有的二元一次不定方程都有整数解呢？二元一次不定方程的一般形式为axbyc，其中 a，b，c 是整数，ab 0。此方程有整数解的充分必要条件是a、b的最大公约数整除c 。c233，二元一次不定方程的常用解法1）观察法例：求下列二元一次不定方程的一切整数解。(

9、1） 2x+3y=5(2) 5x+10y=20 解：(1) 由观察得知x=1,y=1是方程的一组解所以方程的整数解为x=1-3t,y=1+2t,t为整数 （2）先化简得x+2y=4由观察得知x=2,y=1是方程的一组解所以方程的整数解为x=2-2t, y=1+t, t为整数242）整数分离法解：变形得可得一组解释x=4,y=18因为要求正整数解，所以显然可得25例：求方程3x+5y=31的整数解解：方程变形所以x=12,y=-1是方程的一组解所以方程的所有整数解为263）辗转相除法解：用180、19进行辗转相除法 因为18019=9 9 199=2 1所以1=19-92=19-（180-199

10、）2 =1919-1802 所以x=19, y=2就是方程的一组正整数解例：求方程19x-180y=1的一组正整数解。27例：求25x+17y=3的整数解解：因为2517=18 178=2 1所以8=25-171 1=17-82所以1=17-82=17-（25-171）2 =25(-2)+173所以3=25 (-2) 3+ 173 3所以x= (-2) 3,y= 3 3是方程的一组整数解所以方程的所有整数解为 x= (-2) 3+17t, y= 3 3 -25t , t为整数28趣题3）蟋蟀蜘蛛共盆 在一个盆内有6脚蟋蟀和蜘蛛（8只脚）若干，共有46只脚，问蟋蟀和蜘蛛各有几只？29设6脚虫有x

11、只，蜘蛛有y只，依题意可得 6x+8y=46 化简得3x+4y=23由观察得知x=1,y=5是方程的一组解所以方程的整数解为x=1+4t,y=5-3t,t为整数因为所求为正整数解所以原方程的非负整数解为x=1,y=5或x=5,y=2分析；30趣题4 丢番图的墓碑 希腊数学家丢番图的墓碑上有如下记载：“丢番图一生1/6处于儿童时代，1/12是青年时代,以后一生的1/7渡过了婚前生活.结婚后五年有了孩子，可当孩子长到父亲年龄的一半时就早亡了.”那么丢番图在多大年龄上离开人世的呢？需要说明的是这里的年龄数全部都是整数.31分析： 设丢番图是在x岁上去世的，他的孩子是在y岁上死的.于是有将上式变形后：

12、 x是6,7,12的倍数，最小为8432趣题1）韩信点兵 多多益善韩信阅兵时，让一队士兵5人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（1人）；再让这队士兵6人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（5人）；再让这队士兵7人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（4人）；再让这队士兵11人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（10人）33这里面有什么秘密呢？韩信好像非常重视作除法时的余数然后韩信就凭这些数，可以求得这队士兵的总人数。韩信点兵，多多益善34 每3人站成一排，最后一排只有1人；每5人站成一排，最后一排也只有1人；每7人站成一排，最后一排还是1人。你能推

13、算出最少有多少人？队列1解；N=3571=106人35队列2 每3人站成一排，最后一排只有2人；每5人站成一排，最后一排只有4人；每7人站成一排，最后一排是6人。你能推算出最少有多少人？分析：假如从另外一支队伍中先借一名士兵，那么现在要求的人数就是3、5、7的倍数，再让那名士兵回到自己的队伍解：N=3571=10436 每3人站成一排，最后一排只有2人；每5人站成一排，最后一排站了3人；每7人站成一排，最后一排有4人。你能推算出最少有多少人？N=702213154-1052=263-1052=53人队列3371.孙子算经的公式 今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物有几

14、何？N=702+213+1521052=23。物不知其数 N=70R1+21R2+15R3105p（p是整数）。 38孙子算法的关键，在于70、21和15这三个数的确定：三个数最小公倍数M=(3,5,7)=105(5,7)=35，352=70，则被3除余1；(3,7)=21，211=21，则被5除余1；(3,5)=15，151=15，则被7除余1.所以，这三个数的和702213152，必然具有被3除余2，被5除余3，被7除余2的性质。39队列3的分析 三个数最小公倍数M=(3,5,7)=105(5,7)=35，352=70，则被3除余1；(3,7)=21，211=21，则被5除余1；(3,5)

15、=15，151=15，则被7除余1. 702+213+154=263 满足我们的条件，但不是最小的自然数，处理方法就是减去最小公倍数的若干倍，使结果在最小公倍数之内。所以答案为：263-1052=53。40 该定理用现在的语言表达如下： 设 两两互素，设 分别被 除所得的余数为 ，则 可表示为下式 其中 是 的最小公倍数； 是 的公倍数，而且被 除所得余数为1； 是任意整数。 2.孙子定理（中国剩余定理）41解：题中3、4、5三个数两两互质。则4，5=20；3，5=15；3，4=12；3，4，5=60。为了使20被3除余1，用202=40；使15被4除余1，用153=45；使12被5除余1，用

16、123=36。然后，401+452+364=274，因为，27460，所以，274604=34例1 一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？42题中9、7、5三个数两两互质。则7，5=35；9，5=45；9，7=63；9，7，5=315。为了使35被9除余1，用358=280；使45被7除余1，用455=225；使63被5除余1，用632=126。然后，2805+2251+1262=1877，因为，1877315，所以，18773155=302例2 某个年级的同学,每9人一排多5人,每7人一排多1人, 每5人一排多2人,问这个年级至少有多少人?43趣题1韩信点兵的求解假设兵将近一万，每5人一列剩1人、6人一列剩5人、7人一列剩4人、11人一列都剩10人，则兵有多少？（6,7，11）=462，（5,7,11）=385，（5,6,11）=330（5,6,7）=210，（5,6,7,11）=2310使462被5除余1，用4623=1386而385被6除余1，330被7除余1，210被11除余1然后13861+3855+3304+21010=6731所以6731+2310=904144趣题