数值计算方法课件CH数值积分复合求积法

1、第四章 数值积分 4.2 复合求积法计算机数值方法1 4.2 复合求积法 在Newton-Cotes公式中，当n较大( )时，Cotes系数有正有负，这将使舍入误差增大.另外，从余项的讨论我们看到，积分区间越小，则求积公式的截断误差也越小.因此，实际计算时不用高阶Newton-Cotes公式，而是将积分区间先等分成若干个子区间，然后在每个子区间上用低阶Newton-Cotes公式计算，最后把它们加起来得到整个区间的积分近似值，这就是复合求积法的基本思想.2一、复合求积公式节点为：1. 复合梯形公式由积分的区间可加性,可得：3复合梯形公式4复合梯形公式分解52. 复合Simpson公式复合Sim

2、pson公式6复合Simpson公式分解73. 复合Cotes公式复合Cotes公式8例1.解:由题意知：a=0,b=1.由复合梯形公式,复合Simpson公式和复合Cotes公式知这三种方法均需用到区间上9个节点上的函数值。因此将区间8等分，计算9个节点处的函数值，函数值由 计算得来.需注意的是9可得各节点的值如下表 0 10.125 0.997397870.25 0.989615840.375 0.976726740.5 0.958851080.625 0.936155640.75 0.908851680.875 0.87719257 1 0.8414709810分别由复合梯形、Simps

3、on、Cotes公式有11原积分的精确值为精度最高精度次高精度最低 比较三个公式的结果那么哪个复合求积公式的收敛最快呢？思考12单纯的求积公式复合求积公式的每个小区间二、复合求积公式的余项和收敛的阶13则复合梯形公式的余项为由于复合梯形公式的余项由介值定理, ,使得14又由于当复合梯形公式余项的近似式15复合Simpson公式的余项复合Simpson公式余项的近似式16复合Cotes公式的余项复合Cotes公式余项的近似式17比较三种复合公式的余项为此引入收敛阶的概念来衡量数值积分公式收敛的快慢18定义2. 故复合梯形公式、复合Simpson公式、复合Cotes公式的收敛阶分别为：2阶、4阶和

4、6阶19三、步长的自动选择（变步长的复合求积公式） 在数值积分中，精度是一个很重要的问题，复合求积法对提高精度是很有效的.由复合求积公式的余项表达式看到，精度与步长有关. 步长取得太大，精度难以保证，步长太小，则会导致计算量的增加，并且积累误差也会增大，因此使用求积公式之前最好先给出步长. 从理论上讲，可以根据复合求积公式的余项公式或其近似表达式，预先确定出恰当的步长h来.但在实际使用中，由于被积函数的高阶导数很难估计，或者被积函数没有解析表达式，因此这个预估h的方法是不宜使用的. 实际计算中常常采用变步长的求积法，利用计算机自动的选择步长，即在步长逐次分半的过程中，反复利用复合求积公式进行计算，直到所求得的积分值满足精度要求为止.20相应的复合梯形公式的余项为自动选择步长的原理（以复合梯形公式为例）：设将积分区间a,b等分成n个子区间,其步长为21因此有即步长折半计算停止的控制条件22步长自动选取的步骤:依此类推此时最后一次步长就是合适的步长，最后一次算得的积分值