数值分析代数插值

1、第5章 插值与逼近( Interpolation And Approximating ) 我们知道，许多实际问题都可用函数 y=f(x) 来表示某种内在规律的数量关系，但在很多应用领域，往往只能通过实验或观测等手段得到 y=f(x) 在某 a,b 区间上的有限个互异点 xi 处对应的函数值 yi=f(xi)，(i=1,2,n)，也即已知一个函数表。为了研究函数的变化规律，必须将其公式化，因此，我们希望根据给定的数据表作一个既能反映函数 f(x) 的特性、又便于计算的简单函数 p(x) 来近似 f(x)，如果要求 p(xi)=f(xi) (i=1,2,n)，这就是最基本的插值问题。p(x) 称为

2、插值函数，插值函数的选择，取决于使用上的需要，可以是代数多项式，也可以是三角多项式或有理函数；可以是区间上任意光滑函数，也可以是分段光滑函数。1 例如：在现代机械工业中用计算机程序控制加工机械零件，根据设计可给出零件外形曲线的某些型值点(xi,yi) (i=1,2,n)，加工时为控制每步走刀方向及步数，就要算出零件外形曲线及其它点的函数值，才能加工出外表光滑的零件，这就是求插值函数的问题。2 插 值 问 题 实 例 1标准正态分布函数 (x)求(1.014)(1.014)=0.8438 (0.84610.8438)0.4=0.8447查 函 数 表3 插 值 问 题 实 例 2机械加工xy机翼

3、下轮廓线4已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：深度(M)466 741 950 1422 1634水温(oC) 7.04 4.28 3.40 2.54 2.13根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米，600米，1000米）处的水温.这就是本章要讨论的“插值问题” 插 值 问 题 实 例 35拉格朗日插值牛顿插值Hermite插值一 维 插 值一、插值的定义二、插值的方法样条插值6二 维 插 值一、二维插值定义二、网格节点插值法最邻近插值分片线性插值双线性插值75.1.1 一元函数插值定义 设有m 1个互异的实数 x0, x1, , xm 和n 1个实值函数 0 x,1x, ,

4、nx,其中,n m. 若向量组 k= kx0,kx1, , kxmT , k = 0,1, , n.线性无关,则称函数组kx在点集xi上线性无关; 否则叫kx线性相关.5.1 代数插值8例子 函数组 2+x, 1x, xx2 在点集1,2,3,4上线性无关. 因为 1=1x0,1x1, , 1xmT = 2+1, 2+2, 2+3, 2+4T2=2x0,2x1, , 2xmT = 11, 12, 13, 14T3=3x0,3x1, , 3xmT = 1+1, 2+4, 3+9, 4+16T 而 依定义知上函数组是线性无关的.9已知 n+1个节点其中互不相同，不妨设求任一插值点处的插值一 维 插

5、 值10求 解 插 值 问 题 的 基 本 思 路 构造一个(相对简单的)函数通过全部节点, 即再用计算插值，即11插值问题的一般性描述当精确函数 y f (x) 非常复杂或未知时，在区间a,b上一系列节点 x0,x1, , xn 处测得函数值 y0 f (x0), y1 f (x1), , yn f (xn)，由此构造一个简单易算的近似函数 g(x) f (x)，满足条件 g(xi) f (xi) ( i 0, , n) (*)这个问题称为“插值问题”. 12这里的 g(x) 称为 f (x) 的插值函数，节点 x0,x1, , xm 称为插值节点, 条件 g(xi) f (xi) 称为插值

6、条件，区间 a,b 称为插值区间。13x0 x1x2x3x4 xf (x)g(x)插值函数与原函数的关系图示14最常用的插值函数是 ?代数多项式.用代数多项式作插值函数的插值,称为代数插值本章主要讨论的内容插值函数的类型 有很多种插值问题插值法插值函数15一、插值问题解的存在、唯一性？二、插值多项式的常用构造方法？三、插值函数的误差如何估计？代数插值？16 代数插值 给定区间 a, b 上互异的 n 1 个点 x0,x1, , xn 处的一组函数值 f (xi)，i = 0,1, , n，在次数不高于 n 的多项式集合Pn = Span0 x,1x, , nx中寻找多项式使其满足条件此问题叫做

7、一元函数的代数插值问题.170 x,1x, , nx 叫插值基函数； 满足插值条件 (5.2) 的多项式 pn(x) 叫做 n 次插值多项式. 代数插值解的存在、惟一性令 pn(x) a0 a1x anxn, (2)只要证明 pn(x) 的系数 a0 ,a1, an 存在唯一即可.为此, 由插值条件 (5.2)知, Pn(x) 的系数满足下列 n 1 个方程构成的线性方程组,18而此方程式组的系数行列式是范德蒙行列式。19由于 xi 互异, 所以此行列式不为零, 从而方程组 (3) 的解 a0, a1 , an 存在 且 唯一。注：唯一性说明，不论用什么方法来构造，也不论用什么形式来表示插值多

8、项式，只要满足同样的插值条件，其结果都是互相恒等的。20 通过解上述方程组 (3), 求得插值多项式 pn(x) 的方法并不可取. 这是因为, 当 n 较大时, 解方程组的计算量较大，而且方程组系数矩阵的条件数一般较大. (可能是病态方程组, 当阶数 n 越高时, 病态越重. )为此我们必须从其它途径来求 pn(x) : 不通过求解方程组而获得插值多项式.21代数插值基本思想：在 n 次多项式空间Pn 中找一组合适的基函数 0(x), 1(x) , n(x), 使pn(x) a00(x) a1 1(x) an n(x)不同的基函数的选取, 导致不同的插值方法.Lagrange插值Newton插

9、值22构造基函数 Lagrange 插值这里每个 lj(x) 都是 n 次多项式，且由插值条件 (5.2) 式容易验证 lj(x) 满足23容易证明函数组 l0(x), l1(x), , ln(x) 在插值区间a,b 上线性无关，所以这 n 1个函数可作为Pn的一组基函数，称为 Lagrange 插值基函数.回忆 lj(xi) l0(x), l1(x), , ln(x) 在 a,b 上线性无关 是因为24求满足插值条件的插值函数依 Pn 的定义, 对 pn(x) Pn, 它都可被基函数表出pn(x) c0 l0(x) c1 l1(x) cn ln(x)其中 c0 , c1, cn 为组合系数.

10、 用插值条件(5.2), 可得由于 L-基函数的性质式 (XZ), 上方程组变成25因此得到插值多项式pn(x) f (x0)l0(x) f (x1)l1(x) f (xn)ln(x)称 Ln(x) 为n 次 Lagrange 插值多项式 .记为 它是满足插值条件的 n 次多项式. 26特别地:(1) 两点一次(线性)插值多项式:(2) 三点二次(抛物)插值多项式:线性插值与抛物线插值27 插值余项 (Remainder)定理5.1 若在a , b内存在, 则在a, b上的 n 1 个互异的点，对 f (x) 所作的n 次Lagrange 插值多项式 Ln (x) ，插值余项为Rolles T

11、heorem的推论: 若 充分光滑，且 存在使得28证明：由于 Rn(xi)0 ，i =0,1, n 任意固定 x xi (i = 0, , n), 构造 辅助函数则(t) 有 n+2 个不同的根 x0, , xn , x.29误差估计式:？30例：已知分别利用 sin x 的1次、2次 Lagrange 插值计算 sin 50， 并估计误差。 解：n = 1分别利用x0, x1 以及 x1, x2 计算利用31 sin 50 = 0.7660444利用 x0, x1 作为插值节点的实际误差 0.01001利用 , 计算得：sin 50 0.76008, 利用 x1, x2 作为插值节点的实际误差 0.0059632n = 233 sin 50 = 0.76604442次插值的实际误差 0.00061.34拉格朗日插值多项式的振荡现象例 采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值节点个数n+1，其中n为插值多项式的次数，当n分别取2,4,6,8,10时，绘出插值结