工程流体力学二章

1、第二章 流体静力学 本章任务：研究流体处于静止或相对静止状态下流体内部的压力分布规律及其应用。内容包括：一、作用在流体上的力二、流体微分平衡方程三、流体静力学基本关系式四、液柱式测压计五、液体的相对平衡六、静止流体对壁面的作用力 一、作用在流体上的力 OZYX dA1 表面力（接触力、面积力） 在静止流体中，切应力0压强/法向压应力：切应力：作用在流体上的力由表面力和质量力两种 2 质量力(体积力、非接触力） 均匀作用于流体质点、大小与流体的质量成正比的力，如：重力、惯性力、电磁力等等。其中，fx、fy、fz为单位质量流体受到的体积力在x、y、z方向的分量。单位质量流体的质量力为： 3 流体静

2、压强的特点(1)特点一 :流体静压强引起的作用力总是垂直于作用面，且指向作用面的内法线方向。abpdApdA(2)特点二：流体内部一点的流体静压强在各方向相等，即静压强为标量。xyoabG由于流体处于静止：所以：取微元体、受力到如图故得证 微元体分析法的步骤： 1 取合适的微元体 2 受力分析 3 建立方程yXCZPzPxPyPnBAodydzdx三维微元体 二、流体平衡微分方程 xz(铅垂方向)xzdxdzdyfxfzfyyy1 欧拉平衡方程 1755年 Euler即：静止流体内的压强梯度仅与体积力有关，该方程表明了静止流体在质量力和表面力作用下保持平衡的条件。根据牛顿第二定理:类似地：流体

3、平衡微分方程1755年欧拉Euler推出欧拉微分方程的矢量形式： 静止流体内任意两点间的压力差公式： dp=(fxdx+fydy+fzdz)2、质量力势函数 若流体均匀不可压，有=常数，那么： d（p/）=(fxdx+fydy+fzdz)=d(-） 可见：函数（-）在各方向的偏导数就是质量力在此方向的分量，我们称为质量力的势函数，该函数反映了单位质量流体具有的势能。 其中： 在重力场作用下的均匀不可压静止流体： =gz 等压面方程为： fxdx+fydy+fzdz=0 等压面就是等势面 质量力与等压面处处垂直等压面3、等压面 由流体中压强相等的点组成的面。 zgz=const 三、流体静力学基

4、本方程（重力场条件下） -流体静力学基本方程如果流体不可压、均质，那么： fx = fy=0 fz= -g dp/dz= -g 1 流体静力学基本方程 应用条件：流体静止、均质、不可压1h2ooz酒精水p p/g：单位重量流体的压强势能，压强能头/压强水头 z：单位重量流体具有的位置势能，位置能头 p/g+z：单位重量流体具有的总势能，叫静能水头/测 管水头流体静力学基本公式表明：重力场作用下静止不可压均质流体中单位重量流体所具有的总势能不变静止流体中的能量守恒定理。问题：采用高位水箱供水时，水箱的安装位置应满足什么要求？po2z2p1/gz1p2/g1总能线z基准面 2 帕斯卡原理基准面 封

5、闭容器p0z1H1zhPascal原理：液体可以将液面压强等值地传递到液体各处Pascal原理。 应用：液压传动、千斤顶可见，液体内的压强与液面下的淹没深度h成正比。当踩下制动踏板时，在踏板处通过杠杆原理把制动力放大了3倍，再通过液压机构驱动活塞把制动力又放大了3倍。放大以后的制动力推动活塞移动，活塞推动蹄片带动刹车卡钳紧紧的夹住制动碟，由蹄片与制动碟产生的强大摩擦力，让车减速。这就是简单的制动模型。通过它我们就可以理解制动系统的基本原理了 汽车制动系统的模型 3 绝对压强和相对压强1点的绝对压强:1点的相对压强（表压强）:基准面 敞口容器paz1H1zh真空度（pv）：表压强为负时习惯用真空

6、度来表示。真空度大气压强绝对压强pv=pa-p相对压强绝对压强大气压强相对压强pgp-pa0绝对压强 绝对压强、相对压强和真空度之间的关系hh玻璃管插在水中玻璃管插在水银中问题：在(a)、(b)两种情况下，问玻璃管内自由液面液体侧的相对压强是大于零还是小于零？单位名称单位符号 单位换算关系应力单位法 帕 Pa1Pa=1N/m2液柱高度法 米水柱 mH2O1mH2O=9.8103Pa液柱高度法毫米汞柱 mmHg1mmHg=13.6mmH2O=133.3Pa工程大气压法1公斤力压强 Kg/cm21Kg/cm2=9.8 104N/m2压强度量： 4 可压缩流体中的压强分布（重力场下) fx = fy

7、=0 fz= -g dp/dz= -g 确定密度沿高度z分布规律后，积分上式即可。 四、液柱式测压计p2/gpo2p1/g1 大气压力计原理水银大气压pah 单管压力计 U形管压力计 微压计 大气压力计h1Mh21pa2A12U型管单管压力计 1、U型液压计 h1Mh21pa2A12 pMg=2gh2- 1gh1测点压强大于大气压若12，即被测介质为气体，U型管内工作介质为液体时，可以不及气体介质自重引起的压强。那么： pMg=2gh2测点压强小于大气压h1Mh21pa2A112 pMg=-2gh2- 1gh1 若12：pMg=-2gh2关键：找到正确的等压面；自一侧开始，每次在同种流体里利用

8、水平等压面向另一侧推进。211pahh1h2h3h2h1 U型管串联0p1h1h2p2aLAss02、倾斜式微压计 可见：减小，K增加，L加长，读数误差下降。例2-1 ：封闭水箱如图示，测压表读数为5000Pa，h=1.6m,h1=0.6m,设水的相对密度s=1，水银压力计中水银的相对密度s=13.6。问水液面上的真空度和h各为多少？(58页）hh1hpA测压表zax五、液体的相对平衡 因为处于相对平衡的流体中0，仍然有：dp=(fxdx+fydy+fzdz)同样地：任意两点间的压力差为：axzAgap0 1 等加速度水平直线运动流体受到的质量力为： fx=-a fy=0 fz=-g在等压面上

9、： dp=fxdx+fzdz=-adx-gdz=0所以有: ax+gz=cont可见等压面为一簇斜率为-a/g的平面。 自由液面方程：ax +gzs=0 压强分布：式中h:液面下的淹没深度，可见p也正比于h。Aaxzhzsp0（2）压强分布（1）等压面绝对静止：相对静止：绝对静止：相对静止：水平面斜面 与绝对静止情况的比较axzhzszhggaf zaz0gz0gz0 (1+a/g)问题：充满了液体的密闭容器中液体压强分布与等压面？问题：容器做等加速度铅垂运动时液体压强分布与等压面？a 充满了液体的密封容器通气孔例2-2 一开口容器固定在以等加速度a向右运动的汽车上，已知容器的高H1=1.2m

10、,长L=3m, 容器内水深H=1m.求: (1)容器内水不溢出的最大加速度a？（2）容器左壁面的压力分布？ axzALH1H 2 等角速度旋转下流体的相对平衡yfrrxfxfyxzh质量力等压面方程自由液面方程压强分布xzh同一r处的液面坐标可见：圆柱面上流体静力学关系式仍然成立。液面下的淹没深度xzH02RhHzb2Rrh0R 测转速关键：旋转前后液体体积保持不变zRBp0(b) o例23： 一绕自己中心轴线以等角速度旋转的容器内充满了水。（a）如容器顶盖的中心开一小孔通大气，试确定顶盖上的压力分布。（b）若容器顶盖的中心孔开在边缘处，顶盖上的压力分布？zRBp0(a) o例2-4 设内装水

11、银的U型管绕过D点的铅垂线等角速度旋转，求旋转角速度和D点的压强。设水银密度为13600kg/m3 且不计液面变化带来的影响。12cm20cm10cm5cmDrz 关键： 1 写出所有的体积力 2 根据压力差公式写出压强 3 根据已知点求待定参数美国海狼级：最大潜深1200米 俄罗斯鲨鱼级：最大600米 俄罗斯奥斯卡级：潜深500米 明级：潜深300米 基洛级:潜深最大300米，工作深度240米 “R”级常规动力潜艇（033型）:潜深300米 国内潜艇的下潜深度国外潜艇的下潜深度六、静止流体作用在壁面上的力潜水深度越大，水压越大，潜艇壳体的抗压要求越高！潜艇壳体抗压校核利用静力学计算潜艇壳体受

12、到的合力修正 型心dAxyxycyhcdFo1 静止流体作用在平面上的力 （1）力的大小: F=ApdA=p0A+gsinAydA=(p0+ghc)A= pcA pc 型心上的压强 hc 型心在水下的深度 A 平板面积 静止流体中平面受到的流体作用力等于平面质心上的压强与平板面积的乘积。（2）作用方向：与平板和静止流体的相对位置有关，流体的作用力总是挤压被作用面。依据：物体受到的外合力对某点的力矩等于作用在该物体上的分力对同一点的力矩之和。（3）作用点/压力中心压力中心Fyd型心dAxyxycyhcdFo作用点z在液面下的位置： yd=yc+gsinJcx/(p0+gsinycA) yd 作用

13、点坐标 Jcx 平板的惯性矩. 为什么？问题：春秋管子指出堤坎的断面应修成“大其下，小其上”的形状。为什么？注意：由于大气压在绝大多数工程问题中的总作用效果为0，因此在计算静止流体对物体的力时常常不计大气压强的影响，而用相对压强进行计算，那么p0=0, 相应地：clb矩形圆型cR常见几何形状的惯性矩（表22）cxcyc圆 例2-5 设矩形闸门的宽为6米，长10米，铰链到低水面的距离为4米。按图示方式打开该闸门，求所需要的力 R。ydLFLAB20m=6017m铰链R Cy水水FRydR例2-6：水深h=0.4 m的直立壁上装有d=0.6m的圆形短管，短管内口为450的斜盖板。假设盖板可绕着上面

14、的铰链旋转，如不计盖板的重量和铰链的摩擦力，求升起此盖板在图示位置和方向所需的力T。yo 问题：门AB的倾斜角为600，如图示。已知油和水的深度分别为 h1=1m、h2=2m，油的密度为1=800Kg/m3。求单位宽度的门受到的流体作用的合力及其作用位置。 F1F2F3h1h2水油AB600Cy 2、静止流体作用在曲面上的力 (1) 水平力FXABFXFZCFACFXCAB流体静止 FX=FAC FX= FX 曲面受到的水平力大小等于该曲面在铅垂面上的投影面（平板）受到的力，即： FX= FAC= pcg AAC yd=yc AC +JCx/(yc A)AC 水平力的作用点计算与平板同 水平力

15、的方向FACFXCAB 方法二: FX=AdFx= ApdAcos = ApdAxdAx指微元曲面在铅垂面上的投影面积。dAxdAzzx dF=pdAdFx dFZ (2) 垂直力FZBCBCGFZAFCBFZ=G+ FCB =gVol ABC+ghBBACB =g(VolABC+VolBCBC) =gVolume FZ= FZ 曲面受到垂直力的大小等于压力体内流体的重量，压力体是由曲面、自由液面所在面和两个空间面的铅垂连接面围成的空间。 方法2:FZ=AdFZ= ApdAsin = ApdAz = A g hdAz= g AhdAz压力体体积zxhdAzhdAzdF=pdAdFxdFzABd

16、AxdAz 作用点：垂直力的作用点通过压力体的型心 方向：根据流体与作用面的相对位置而定(3)曲面受到的合力及作用点 合 力：F= (FX* FX+ FZ* FZ)0.5 方向角：tg-1(FZ/ FX) 作用点：过水平力作用线和垂直力作用线的交点、斜率为FZ / FX的直线与曲面的交点即为合力作用点zbaxFDDFxFz先：确定水平分力Fx的作用线；最后：将F的作用线延长至受压面，其交点D为合力的作用点。再次：根据Fx、Fz作用线交点及合力方向求合力作用线；次：确定铅垂分力Fz的作用线；问题：三种容器底面受到的垂直力？ F(a)= g V1, 垂直向下F(b)= g V1, 向上F(c)=

17、g V1, 向上cabhccabhccabhc(a)(b)(c) bcdapaAabApadccAbapadbapaAcdh静力奇像问题：光滑水平的桌面上放置四个底面积相同形状不同的容器，如图所示。已知容器盛有相同高度的水，问哪个容器的底面受到的流体作用力大？哪个容器下的桌面受到的压强最大？ H123问题：H123受压曲面（压力体的底面）由受压曲面边界向自由液面或自由液面的延长面所作的铅垂面（压力体的侧面）自由液面或自由液面的延长面（压力体的顶面）xdcoba 压力体是由三种面围成的体积 压力体的虚实性 压力体仅表示数学上的一个体积分，与该体积内是否有液体存在无关。根据压力体是否有液体把压力体

18、分为实压力体和虚压力体两种。实压力体虚压力体ABCACB 复杂曲面的压力体应根据受力方向不同将曲面分割后再画。(2) 阿基米德浮力定律3、静止流体作用在潜体上的力(1) 潜体与浮体(3) 潜体和浮体的稳定性abCgf液体比重计 公元1066年，山西永济县的黄河段发大水把河边拴浮桥的八只镇水神牛冲走了，官府张榜招贤，请能把铁牛从河底捞起来的贤人。和尚怀丙揭榜。他派水性好的人潜到水底，摸清铁牛沉在了什么地方。又叫人把两艘大木船并排拴在一起，船上装满泥沙。两木船之间还用结实的木料搭了个架子。怀丙亲自带人把两艘装满泥沙的木船划到铁牛沉没的地方。又请熟悉水情的人带着绳索潜到水底，用绳索把铁牛绑牢。将绳索拉紧，把绳索的另一端捆在两船之间的架子上。 准备工作做好之后，怀丙命人把船上的泥沙扔到河里去，泥沙被一铲一铲地扔河里，大船慢慢地上升，终于把铁牛从淤泥里拔了出来。怀丙又叫人把船划到造浮桥的地方，两艘大船拖着没在水里的铁牛。回到了它们原来的位置。每只铁牛重达上万斤，怀丙为什么能把铁牛从河底的淤泥中拔出来呢？