高中数学必修二 6.3.1 平面向量基本定理学案

1、 6.3.1 平面向量基本定理【学习目标】素 养 目 标学 科 素 养1. 理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义。（重点）2. 掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量。（重点）1.数学运算;2.数学抽象【自主学习】平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个 结论对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使 基底若e1，e2不共线，把e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底思考：基底有什么特点？平面内基底唯一吗？【小试牛刀】思维辨析(对的打“”，错的打“”)(1)基底中的向量不能为零向量()(2)若ae1be2ce1de2(a，b，c，dR)，则必有ac，b

2、d.()(3)若两个向量的夹角为，则当|cos|1时，两个向量共线()(4)若向量a与b的夹角为60，则向量a与b的夹角是60.()(5)平面内的任何两个向量都可以作为一个基底()(6)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.()【经典例题】题型一 平面向量基本定理的理解点拨：(1)两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线若共线，则不能作基底，反之，则可作基底(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以用这个基底唯一线性表示出来设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1ay1bx2ay2b，则eq blc(avs4alco1(x1x2，,y1y2.)(3)

3、一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样例1 如果e1、e2是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( )ae1e2(、R)可以表示平面内的所有向量；对于平面内任一向量a，使ae1e2的实数对(，)有无穷多个；若向量1e11e2与2e12e2共线，则eq f(1,2)eq f(1,2).若实数、使得e1e20，则0.A BCD【跟踪训练】1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：e1与e1e2；e12e2与e22e1；e12e2与4e22e1；e1e2与e1e2.其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是_(写出满足条件的序号)题型二 用基底表示

4、平面向量点拨：方法1：运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止方法2：通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解例2 如图，已知在梯形ABCD中，ADBC，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC3AD，eq o(BA,sup6()a，eq o(BC,sup6()b.试以a，b为基底表示eq o(EF,sup6()，eq o(DF,sup6(). 【跟踪训练】2 如图所示，在OAB中，eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，M、N分别是边OA、OB上的点，且eq o(OM,sup6()eq f(1,3)a，eq o(ON,sup6

5、()eq f(1,2)b，设eq o(AN,sup6()与eq o(BM,sup6()交于点P，用向量a、b表示eq o(OP,sup6().分析: 通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解1，2.【当堂达标】1.下列说法中，正确说法的个数是( )在ABC中，eq o(AB,sup6()，eq o(AC,sup6()可以作为基底；能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的；零向量不能作为基底A0B1 C2D32.如图在矩形ABCD中，若eq o(BC,sup6()5e1，eq o(DC,sup6()3e2，则eq o(OC,sup6()()A.eq f(1,2)(5e13e2)

6、B.eq f(1,2)(5e13e2)C.eq f(1,2)(3e25e1) D.eq f(1,2)(5e23e1)3.如图，在OAB中，P为线段AB上的一点，eq o(OP,sup6()xeq o(OA,sup6()yeq o(OB,sup6()，且eq o(BP,sup6()2eq o(PA,sup6()，则( )Axeq f(2,3)，yeq f(1,3)Bxeq f(1,3)，yeq f(2,3)Cxeq f(1,4)，yeq f(3,4)Dxeq f(3,4)，yeq f(1,4)4.已知非零向量eq o(OA,sup6()，eq o(OB,sup6()不共线，且2eq o(OP,s

7、up6()xeq o(OA,sup6()yeq o(OB,sup6()，若eq o(PA,sup6()eq o(AB,sup6()(R)，则x，y满足的关系是()Axy20 B2xy10Cx2y20 D2xy205.已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x4y)e1(2x3y)e26e13e2，则xy .6.如图，在平行四边形ABCD中，设eq o(AC,sup6()a，eq o(BD,sup6()b，试用基底a，b表示eq o(AB,sup6()，eq o(BC,sup6().【参考答案】【自主学习】不共线向量 a1e12e2 思考：基底中的两向量e1，e2不共线，这是基底的最大特点平

8、面内的基底并不是唯一的，任意不共线的两个向量都可以作为基底【小试牛刀】(1) (2)(3)(4) (5) (6) 【经典例题】例1 B 解析由平面向量基本定理可知，是正确的对于，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的对于，当120或120时不一定成立，应为12210.故选B【跟踪训练】1 解析：设e1e2e1，则eq blc(avs4alco1(1，,10，)无解，所以e1e2与e1不共线，即e1与e1e2能作为一组基底设e12e2(e22e1)，则(12)e1(2)e20，则eq blc(avs4alco1(120，,20，)无解，所以e1

9、2e2与e22e1不共线，即e12e2与e22e1能作为一组基底因为e12e2eq f(1,2)(4e22e1)，所以e12e2与4e22e1共线，即e12e2与4e22e1不能作为一组基底设e1e2(e1e2)，则(1)e1(1)e20，则eq blc(avs4alco1(10，,10，)无解，所以e1e2与e1e2不共线，即e1e2与e1e2能作为一组基底例2 解：连接FA，DF.因为ADBC，且ADeq f(1,3)BC，所以eq o(AD,sup6()eq f(1,3)eq o(BC,sup6()eq f(1,3)b，所以eq o(AE,sup6()eq f(1,2)eq o(AD,s

10、up6()eq f(1,6)b.因为eq o(BF,sup6()eq f(1,2)eq o(BC,sup6()，所以eq o(BF,sup6()eq f(1,2)b，所以eq o(FA,sup6()eq o(BA,sup6()eq o(BF,sup6()aeq f(1,2)b.所以eq o(EF,sup6()eq o(EA,sup6()eq o(AF,sup6()eq o(AE,sup6()eq o(FA,sup6()eq f(1,6)beq blc(rc)(avs4alco1(af(1,2)b)eq f(1,3)ba，eq o(DF,sup6()eq o(DA,sup6()eq o(AF,s

11、up6()(eq o(AD,sup6()eq o(FA,sup6()eq blcrc(avs4alco1(f(1,3)bblc(rc)(avs4alco1(af(1,2)b)eq f(1,6)ba.【跟踪训练】2 解eq o(OP,sup6()eq o(OM,sup6()eq o(MP,sup6()，eq o(OP,sup6()eq o(ON,sup6()eq o(NP,sup6()，设eq o(MP,sup6()meq o(MB,sup6()，eq o(NP,sup6()neq o(NA,sup6()，则eq o(OP,sup6()eq o(OM,sup6()meq o(MB,sup6()e

12、q f(1,3)am(beq f(1,3)a)eq f(1,3)(1m)amb，eq o(OP,sup6()eq o(ON,sup6()neq o(NA,sup6()eq f(1,2)(1n)bna.a与b不共线，eq blcrc (avs4alco1(f(1,3)1mn，,f(1,2)1nm，)neq f(1,5).eq o(OP,sup6()eq f(1,5)aeq f(2,5)b.【当堂达标】1.C 解析：正确，错误2.A 解析：选A.eq o(OC,sup6()eq f(1,2)eq o(AC,sup6()eq f(1,2)(eq o(BC,sup6()eq o(AB,sup6()eq

13、 f(1,2)(eq o(BC,sup6()eq o(DC,sup6()eq f(1,2)(5e13e2)3.A 解析eq o(OP,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(AP,sup6()eq o(OA,sup6()eq f(1,3)eq o(AB,sup6()eq o(OA,sup6()eq f(1,3)(eq o(OB,sup6()eq o(OA,sup6()eq f(2,3)eq o(OA,sup6()eq f(1,3)OBxeq f(2,3)，yeq f(1,3).4.A 解析：选A.由eq o(PA,sup6()eq o(AB,sup6()，得eq o(OA,sup6(

14、)eq o(OP,sup6()(eq o(OB,sup6()eq o(OA,sup6()，即eq o(OP,sup6()(1)eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6().又2eq o(OP,sup6()xeq o(OA,sup6()yeq o(OB,sup6()，所以eq blc(avs4alco1(x22，,y2，)消去得xy2.5. 3 解析：e1，e2不共线，eq blcrc (avs4alco1(3x4y6,2x3y3)，解得eq blcrc (avs4alco1(x6,y3.)xy3.6.解：法一：设AC，BD交于点O，则有eq o(AO,sup6()eq o(OC,s

15、up6()eq f(1,2)eq o(AC,sup6()eq f(1,2)a，eq o(BO,sup6()eq o(OD,sup6()eq f(1,2)eq o(BD,sup6()eq f(1,2)b.所以eq o(AB,sup6()eq o(AO,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(AO,sup6()eq o(BO,sup6()eq f(1,2)aeq f(1,2)b，eq o(BC,sup6()eq o(BO,sup6()eq o(OC,sup6()eq f(1,2)aeq f(1,2)b.法二：设eq o(AB,sup6()x，eq o(BC,sup6()y，则eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6(