高三理科数学一轮讲义案第九章871《利用空间向量求空间角》解析

1、年高三理科数学一轮讲义案第八章利用空间向量求空间角第节立体几何中的向量方法第课时利用空间向量求空间角最新考纲1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题；2.认识向量方法在研究立体几何问题中的应用.知识梳理1.异面直线所成的角设，分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则与的夹角l1与l2所成的角范围(0，)0，2求法|cos|cos|cos|2.求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线l与平面所成的角为，则sin|cos，|.|3.求二面角的大小(1)如图，AB，CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小_AB，CD.(2)如图，1

2、，2分别是二面角的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足l|cos|cos1，2|，二面角的平面角大小是向量1与2的夹角(或其补角).微点提示1.线面角的正弦值等于直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值，即sin|cos，|，不要误记为cos|cos，|.2.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面，的法向量1，12时，要依据向量坐标在图形中察见解向量的方向，来确立二面角与向量1，2的夹角是相等，还是互补.基础自测1.判断以下结论正误(在括号内打“”或“”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成

3、的角就是直线与平面所成的角.()(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.()(4)两异面直线夹角的范围是0，直线与平面所成角的范围是0，二面角的范围是0，.()22分析(1)两直线的方向向量所成的角是两条直线所成的角或其补角；(2)直线的方向向量，平面的法向量，直线与平面所成的角为，则sin，；(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角或其补角.答案(1)(2)(3)(4)2.(选修21P104练习2改编)已知两平面的法向量分别为(0，1，0)，(0，1，1)，则两平面所成的二面角为()A.45B.135C.45或135D.90分析cos，12，即，|12245.两平面所成

4、二面角为45或18045135.答案C3.(选修21P112A4改编)已知向量，分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若cos，12，则l与所成的角为()A.30B.60C.120D.150分析由于cos，1，所以，120，所以直线l与所成的角为230.答案A4.(2018郑州调研)在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为()3332A.2B.3C.5D.5分析设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，以以下图.则B(1，1，0)，B1(1，1，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0

5、，1)，2所以BB1(0，0，1)，AC(1，1，0)，AD1(1，0，1).令平面ACD1的法向量为(x，y，z)，则ACxy0，AD1xz0，令x1，可得(1，1，1)，13所以sin|cos，BB1|313.答案B5.(2019南宁二中、柳州高中联考)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，BC2，AA11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_.分析建立以以下图的坐标系.易得A(2，0，0)，B(2，3，0)，B1(2，3，1)，C1(0，3，1)，则AB1(0，3，1)，BC1(2，0，1).设异面直线AB1与BC1所成的角为，12则cos|cosAB1，BC1|10510.

6、2答案106.(2019大连展望)过正方形ABCD的极点A作线段PA平面ABCD，若ABPA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为_.分析如图，建立空间直角坐标系，设ABPA1，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，由题意，AD平面PAB，设E为PD的中点，连接AE，则AEPD，又CD平面PAD，11CDAE，从而AE平面PCD.所以AD(0，1，0)，AE0，2，2分别是平面PAB，平面PCD的法向量，且AD，AE45.故平面PAB与平面PCD所成的二面角为45.3答案45考点一用空间向量求异面直线所成的角【例1】(1)(一题多解)(2017全国卷)已知直三棱柱ABCA1

7、B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()315103A.2B.5C.5D.3(2)(一题多解)(2019北、山西、河南三省联考河)在三棱锥PABC中，ABC和PBC均为等边三角形，且二面角PBCA的大小为120，则异面直线PB和AC所成角的余弦值为()5371A.8B.4C.8D.4分析(1)法一以B为原点，建立如图(1)所示的空间直角坐标系.图(1)图(2)则B(0，0，0)，B1(0，0，1)，C1(1，0，1).又在ABC中，ABC120，AB2，则A(1，3，0).所以AB1(1，3，1)，BC1(1，0，1)，AB1BC1则cosA

8、B1，BC1|AB1|BC1|（1，3，1）（1，0，1）21052525，10所以，异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为5.法二将直三棱柱ABCA1B1C1补形成直四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图(2)，连接AD1，B1D1，则4AD1BC1.则B1AD1为异面直线AB1与BC1所成的角(或其补角)，易求得AB15，BC1AD12，B1D13.10由余弦定理得cosB1AD15.(2)法一取BC的中点O，连接OP，OA，由于ABC和PBC均为等边三角形，所以AOBC，POBC，所以POA就是二面角PBCA的平面角，即POA120，过点B作AC的平行线交AO的延长线于点D，连接PD，则P

9、BD或其补角就是异面直线PB和AC所成的角.设ABa，则PBBDa，22323aa2a5POPD2a，所以cosPBD2aa8.法二如图，取BC的中点O，连接OP，OA，由于ABC和PBC均为等边三角形，所以AOBC，POBC，所以BC平面PAO，即平面PAO平面ABC.且POA就是其二面角PBCA的平面角，即POA120，建立空间直角坐标系以以下图.3设AB2，则A(3，0，0)，C(0，1，0)，B(0，1，0)，P2，0，2，33所以AC(3，1，0)，PB2，1，2，55cosAC，PB8，所以异面直线PB与AC所成角的余弦值为8.法三以以下图，取BC的中点O，连接OP，OA，由于AB

10、C和PBC是全等的等边三角形，所以AOBC，POBC，所以POA就是二面角的平面角，设AB2，则ACOCOA，PBOBOP，55故ACPB(OCOA)(OBOP)2，所以cosAC，PBACPB5.85即异面直线PB与AC所成角的余弦值为8.答案(1)C(2)A规律方法1.利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：(1)选好基底或建立空间直角坐标系；(2)求|v1v2|出两直线的方向向量v1，v2；(3)代入公式|cosv1，v2|v1|v2|求解.2.两异面直线所成角的范围是0，2，两向量的夹角的范围是0，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹

11、角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.【训练1】(一题多解)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA12AB，E，F分别为BC，BB1的中点，M，N分别为AA1，A1C1的中点，则直线MN与EF所成角的余弦值为()3314A.5B.2C.2D.5分析法一如图，在原三棱柱的上方，再放一个完整相同的三棱柱，连接AC1，CB1，C1B，易得MNAC1，EFCB1C1B，那么AC1B或AC1B的补角即直线MN与EF所成的角.设AA12AB2a，则AC1C1B3a，连接AB，则ABa2（22a）23a，6由余弦定理得（3a）2（3a）2（3a）21cosAC1B2（3a）（3a）2.1故直线MN与EF

12、所成角的余弦值为2.法二如图，连接AC1，C1B，CB1，设C1B，CB1交于点O，取AB的中点D，连接CD，OD，则MNAC1OD，EFCB1，那么DOC或其补角即直线MN与EF所成的角.设AA12AB2a，则AC1CB13a，3a3a于是ODOC2，又CD2，于是OCD为正三角形，11故DOC60，cosDOC2，即直线MN与EF所成角的余弦值为2.法三取AB的中点O，连接CO，则COAB，以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，过点O且平行于CC1的直线为z轴建立以以下图的空间直角坐标系.设AB2，则AA122，131313求得M(1，0，2)，N2，2，22，E2，2，

13、0，F(1，0，2)，所以MN2，2，2，EF31321MNEF.2，2，2，cosMN，EF332|MN|EF|答案C考点二用空间向量求线面角【例2】(2018全国卷)如图，在三棱锥PABC中，ABBC22，PAPBPCAC4，O为7AC的中点.(1)证明：PO平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值.(1)证明由于APCPAC4，O为AC的中点，所以OPAC，且OP23.2连接OB，由于ABBC2AC，所以ABC为等腰直角三角形，1且OBAC，OB2AC2.由OP2OB2PB2知POOB.由OPOB，OPAC且OBACO，知PO平面ABC

14、.(2)解的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.如图，以O为坐标原点，OB由已知得O(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，23)，AP(0，2，23).取平面PAC的一个法向量OB(2，0，0).设M(a，2a，0)(0a2)，则AM(0，4a，0).设平面PAM的法向量为(x，y，z).由AP得0，AM02y23z0，可取(3(a4)，3a，a)，ax（4a）y0，23（a4）所以cosOB，23（a4）23a2a2.3由已知可得|cosOB，|2，8所以23|a4|3，23（a4）23a2a224解得a4(舍去)，a3，所以834343

15、，3，3.3又PC(0，2，23)，所以cosPC，4.所以PC与平面PAM所成角的正弦值为34.规律方法利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转变成求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)经过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.【训练2】(2019郑州测试)在以以下图的多面体中，四边形ABCD是平行四边形，四边形BDEF是矩形，ED平面ABCD，ABD6，AB2AD.(1)求证：平面BDEF平面ADE；(2)若EDBD，求直线AF与平面AEC所成角的正弦值.(1)证明在ABD中，A

16、BD6，AB2AD，由余弦定理，得BD3AD，从而BD2AD2AB2，故BDAD，所以ABD为直角三角形且ADB2.由于DE平面ABCD，BD?平面ABCD，所以DEBD.又ADDED，所以BD平面ADE.由于BD?平面BDEF，所以平面BDEF平面ADE.(2)解由(1)可得，在RtABD中，BAD3，BD3AD，又由EDBD，设AD1，则BDED3.由于DE平面ABCD，BDAD，所以可以点D为坐标原点，DA，DB，DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，以以下图.9则A(1，0，0)，C(1，3，0)，E(0，0，3)，F(0，3，3)，2，3，0).所以AE(1，0，3)

17、，AC(设平面AEC的法向量为(x，y，z)，x3z0，AE0则即2x3y0，AC0令z1，得(3，2，1)，为平面AEC的一个法向量.，3，3)，由于AF(142AF所以cos，AF14，|AF|42所以直线AF与平面AEC所成角的正弦值为14.考点三用空间向量求二面角【例3】(2018武汉模拟)如图1，在高为6的等腰梯形ABCD中，ABCD，且CD6，AB12，将它沿对称轴OO1折起，使平面ADO1O平面BCO1O，如图2，点P为BC的中点，点E在线段AB上(不一样于A，B两点)，连接OE并延长至点Q，使AQOB.(1)(一题多解)证明：OD平面PAQ；(2)若BE2AE，求二面角CBQA

18、的余弦值.(1)证明法一取OO1的中点F，连接AF，PF，以以下图.10P为BC的中点，PFOB，AQOB，PFAQ，P，F，A，Q四点共面.由题图1可知OBOO1，平面ADO1O平面BCO1O，且平面ADO1O平面BCO1OOO1，OB?平面BCO1O，OB平面ADO1O，PF平面ADO1O，又OD?平面ADO1O，PFOD.由题意知，AOOO1，OFO1D，AOFOO1D，AOFOO1D，FAODOO1，FAOAODDOO1AOD90，AFOD.AFPFF，且AF?平面PAQ，PF?平面PAQ，OD平面PAQ.法二由题设知OA，OB，OO1两两垂直，以O为坐标原点，OA，OB，OO1所在直

19、线分别为x轴，y轴，z轴建立以以下图的空间直角坐标系，设AQ的长为m，则O(0，0，0)，A(6，0，0)，B(0，6，0)，C(0，3，6)，D(3，0，6)，Q(6，m，0).9点P为BC的中点，P0，2，3，9，3.OD(3，0，6)，AQ(0，m，0)，PQ6，m20，OD0，ODPQAQODAQ，ODPQ，又AQ与PQ不共线，OD平面PAQ.111(2)解BE2AE，AQOB，AQ2OB3，则Q(6，6).3，0)，QB(6，3，0)，BC(0，3设平面CBQ的法向量为1(x，y，z)，10，6x3y0，QB由0，得3y6z0，1BC令z1，则y2，x1，1(1，2，1).易得平面A

20、BQ的一个法向量为2(0，0，1).设二面角CBQA的大小为，由图可知，为锐角，126则cos|1|2|6，即二面角CBQA的余弦值为66.规律方法利用空间向量计算二面角大小的常用方法：(1)找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，而后经过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实质图形判断所求角的大小.(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.【训练3】(2018安徽六校联考)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABCD，ABBCCC12CD，E为线段AB的中点，F是线

21、段DD1上的动点.(1)求证：EF平面BCC1B1；(2)(一题多解)若BCDC1CD60，且平面D1C1CD平面ABCD，求平面BCC1B1与平面DC1B1所成角(锐角)的余弦值.(1)证明如图(1)，连接DE，D1E.图(1)ABCD，AB2CD，E是AB的中点，BECD，BECD，12四边形BCDE是平行四边形，DEBC.又DE?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，DE平面BCC1B1.DD1CC1，DD1?平面BCC1B1，CC1?平面BCC1B1，D1D平面BCC1B1.又D1DDED，平面DED1平面BCC1B1.EF?平面DED1，EF平面BCC1B1.(2)解如图(1)，

22、连接BD.设CD1，则ABBCCC12.BCD60，BDBC2CD22BCCDcos603.CD2BD2BC2，BDCD.同理可得，C1DCD.法一平面D1C1CD平面ABCD，平面D1C1CD平面ABCDCD，C1D?平面D1C1CD，C1D平面ABCD，BC?平面ABCD，C1DBC，C1DB1C1.在平面ABCD中，过点D作DHBC，垂足为H，连接C1H，如图(1).C1DDHD，BC平面C1DH.C1H?平面C1DH，BCC1H，B1C1C1H，DC1H为平面BCC1B1与平面DC1B1所成的角.在RtC1CD中，C1D3，3在RtBCD中，DHCDsin602，在RtC1112DH2

23、15，DH中，CHCD2C1D25cosDC1HC1H5.平面BCC1B1与平面DC1B1所成的角(锐角)的余弦值为25.5法二以D为原点，分别以DB，DC，DC1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图(2)，图(2)13则D(0，0，0)，C(0，1，0)，C1(0，0，3)，B(3，0，0)，3).B1C1BC(3，1，0)，DC1(0，0，3)，CC1(0，1设平面BCC1B1的法向量为1(x1，y1，z1)，0，3xy0，1BC11则即3z10.y11CC10，取z11，则y13，x11，平面BCC1B1中的一个法向量为1(1，3，1).设平面DC1B1的法向量为2(x2，

24、y2，z2).10，2y20，21BC3x则即20.2DC10，3z令x21，则y23，z20，平面DC1B1的一个法向量为2(1，3，0).设平面BCC1B1与平面DC1B1所成的锐二面角的大小为，则cos|12|1325|1|2|131135.平面BCC1B1与平面DC11所成的角(锐角)的余弦值为25B5.思想升华1.利用空间向量求空间角，防范了找寻平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点、线、面的地址关系的判定和计算程序化、简单化.主若是建系、设点、计算向量的坐标、利用数目积的夹角公式计算.2.合理建立空间直角坐标系(1)使用空间向量解决立体几何问题的要点环节之一就是建立空间直角坐标系，建系

25、方法的不一样可能导致解题的简繁程度不一样.(2)一般来说，假如已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；假如不存在这样的三条直线，则应尽可能找两条垂直订交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系成立刻以此中的垂直订交直线为基本出发点.(3)建系的基本思想是找寻此中的线线垂直关系，在没有现成的垂直关系时要经过其余已知条件获取垂直关系，在此基础上选择一个合理的地址建立空间直角坐标系.易错防范1.异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；不然向量夹角的补角是异面直线所成的角.1

26、42.利用向量法求二面角大小的注意点(1)建立空间直角坐标系时，若垂直关系不明确，应先给出证明；(2)对于某些平面的法向量，要结合题目条件和图形多观察，判断该法向量能否已经隐含着，不用再求.(3)注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行，以防结论失误.基础坚固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角等于()A.120B.60C.30D.60或30分析设直线l与平面所成的角为，直线l与平面的法向量的夹角为.1则sin|cos|cos120|2.又090，30.答案C2.在正方体A1B1C1D1ABCD中，AC与B

27、1D所成角大小为()A.6B.4C.3D.2分析建立以以下图的空间直角坐标系，设正方体边长为1，则A(0，0，0)，C(1，1，0)，B1(1，0，1)，D(0，1，0).AC(1，1，0)，B1D(1，1，1)，ACB1D1(1)110(1)0，ACB1D，AC与B1D所成的角为2.答案D3.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD4，AB2.以AC的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于点M.则CD与平面ACM所成角的正弦值为()153356A.2B.3C.3D.3分析以以下图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(0，0，4)，B(2，0，0)，C

28、(2，4，0)，D(0，4，0)，M(0，2，2).，0，0).所以AC(2，4，0)，AM(0，2，2)，CD(2设平面ACM的一个法向量(x，y，z)，由AC，AM，2x4y0，令z1，得(2，1，1).可得2y2z0，设所求角为，6CD则sin3.|CD|答案D111D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为()4.在正方体ABCDABC1232A.2B.3C.3D.2分析以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立以以下图的空间直角坐标系，1设棱长为1，则A1(0，0，1)，E1，0，2，D(0，1，0)，1，0，1.A1D(0，1，1

29、)，A1E216设平面A1ED的一个法向量为1(1，y，z)，yz0，y2，A1D10，则有即112z0，z2，A1E10，1(1，2，2).平面ABCD的一个法向量为2(0，0，1)，2|cos1，2|313，2即平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为3.答案B5.(2018大同模拟)设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是()322223A.2B.2C.3D.3分析如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，B(2，2，0)，D1A1(2，0，0

30、)，DB(2，2，0)，DA1(2，0，2)，设平面A1BD的一个法向量(x，y，z)，2x2z0，DA10则2x2y0，DB0，令z1，得(1，1，1).223D1到平面A1BD的距离d|D1A1|3.3答案D17二、填空题6.(2019昆明月考)以以下图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是_.分析以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系.设ABBCAA12，则C1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(0，0，1)，则EF(0，1，1)，BC1(2，0，2)，EFBC1

31、2，21cosEF12222，BCEF和BC1所成的角为60.答案607.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则直线CD与平面BDC1所成角的正弦值等于_.分析以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图.设AA12AB2，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，2).B(1，1，0)，C1(0，1，2)，则DC(0，1，0)，DB(1，1，0)，DC1(0，1xy0，设平面BDC1的一个法向量为(x，y，z)，则DB，DC1，所以有令y2，得平y2z0，面BDC1的一个法向量为(2，2，1).设直线CD与平面BDC1所成的角为，182DC则sin|cos，DC|3.|DC|2答案3

32、8.(一题多解)已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的锐二面角的正切值为_.分析法一延长FE，CB订交于点G，连接AG，以以下图.设正方体的棱长为3，则GBBC3，作BHAG于点H，连接EH，则EHB为所求锐二面角的平面角.2BH2，EB1，EB2tanEHBBH3.法二如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设DA1，由已知条件得A(1，0，0)，E1，1，1，3212F0，1，3，AE0，1，3，AF1，1，3，设平面AEF的法向量为(x

33、，y，z)，平面AEF与平面ABC所成的锐二面角为，19，AE0由得，AF01y3z0，2xy3z0.令y1，z3，x1，则(1，1，3)，取平面ABC的法向量为(0，0，1)，3112则cos|cos，|11，tan3.答案23三、解答题9.(2018江苏卷)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA12，点P，Q分别为A1B1，BC的中点.(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；(2)1与平面AQC1所成角的正弦值.求直线CC解如图，在正三棱柱ABCA111中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，连接OB，OO1，则OBOC，BCOxyz.由于ABOO1OC，OO1OB，以OB，

34、OC，OO1为基底，建立以以下图的空间直角坐标系AA12，所以A(0，1，0)，B(3，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，1，2)，B1(3，0，2)，C1(0，1，2).(1)由于P为A1B1的中点，所以P3，1，2，2231从而BP2，2，2，AC1(0，2，2)，|14|310|BPAC1|.故|cosBP，AC1|52202|BP|AC1|BP与AC1所成角的余弦值为310所以，异面直线20.2031，(2)由于Q为BC的中点，所以Q2，2，033，0所以AQ2，AC1(0，2，2)，CC1(0，0，2).2设(x，y，z)为平面AQC1的一个法向量，33AQ02x2y0，则即2y

35、2z0.AC10，不如取(3，1，1).设直线CC1与平面AQC1所成角为，25|CC1|则sin|cosCC1，|525，|CC1|所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为55.10.(2019河北五校联考)如图，在斜三棱柱(侧棱不垂直于底面)ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C底面ABC，底面ABC是边长为2的正三角形，A1AA1C，A1AA1C.(1)求证：A1C1B1C；(2)(一题多解)求二面角B1A1CC1的正弦值.(1)证明如图，取11的中点D，连接B1D，CD，ACC1CA1AA1C，CDA1C1，底面ABC是边长为2的正三角形，ABBC2，A1B1B1C12，B1DA1

36、C1，又B1DCDD，B1D?平面B1CD，CD?平面B1CD，A1C1平面B1CD，A1C1B1C.(2)解法一如图，过点D作DEA1C于点E，连接B1E.侧面AA1C1C底面ABC，21侧面AA1C1C平面A1B1C1，又B1DA1C1，侧面AA1C1C平面A1B1C1A1C1，B1D平面A1CC1，B1DA1C，A1C平面B1DE，B1EA1C，B1ED为所求二面角的平面角.A1B1B1C1A1C12，B1D3，又ED1CC12，tanB1EDB1D36，22ED22sinB1ED42.7二面角B1A11的正弦值为42CC7.法二如图，取AC的中点O，以O为坐标原点，射线OB，OC，OA

37、1分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，B(3，0，0)，A111(0，2，1)，C(0，1，(0，0，1)，B(3，1，1)，C0)，(0，1，1).A11(3，1，0)，A1BC设(x，y，z)为平面A1B1C的法向量，A1B13xy0，A1Cyz0，令y3，得(1，3，3)，的一个法向量，又OB(3，0，0)为平面A1CC17OBcos，OB7，|OB|由图易知所求二面角为锐角，二面角B1A1CC1的正弦值为42.7能力提高题组(建议用时：20分钟)11.(2019长沙雅礼中学检测)在三棱锥PABC中，点P在底面的正投影恰好是等边ABC的边AB的中点，且点P究竟面ABC的距离等于底面边长.设PAC与底面所成的二面角的大小为，PBC与底面所成的二面角的大小为，则tan()的值是()2232A.43B.5385C.133D.83分析如图，设点P在边AB上的射影为H，作HFBC，HEAC，连接PF，PE.依题意，HEP，PFH.不如设等边AB