现代控制理论最优控制与滤波ocofch

1、最优控制与滤波理论Principle of Optimal Control and Filtering第五章离散系统最优控制Chapter 5Optimal Control of Discrete Time Systems离散变分法与Euler方程离散极小值原理5.2 离散线性调节器研究离散系统最优控制的原因：计算机控制系统的两种离散系统：1. 无采样器：如社会经济系统等k1f), k f ) L(x(k ), u(k ), k )泛函求极值问题：min J (x(k fu( k )k k0 x(k 1) g(x(k ), u(k ), k )x(k0 ) x0s.t.2. 有采样器：如工业受

2、控对象等泛函求极值问题（等间隔采样）：k f 1min J (x(k f T ), k f T ) L(x(kT ), u(kT ), kT )u( kT )k k0 x(k 1)T xkT x(k T ) xs.t.f (x(kT ), u(kT ), kT )00T简写同无采样器系统5.1 离散变分法与Euler方程当控制序列不受约束时，采用离散变分法，得到离散极值的必要条件-离散Euler方程。Lagrange问题性能指标t f连续时间： J ( x) tF (t, x(t ), x& (t )dt0k f 1k f 1离散时间：J ( x) L(x(k ), x(k 1), k ) L

3、k(5.1.1)k0k0Lk:第k个采样周期内性能指 标J的增量性能指标(5.1.1)极小的必要条件设存在极值解x*，与x*(k)、x*(k+1)接近的x(k)、x(k+1)为：x(k)= x*(k)+x(k)x(k)的变分x(k+1)= x*(k+1)+x(k+1)x(k+1)的变分k f 1k f 1J ( x) L(x(k ), x(k 1), k ) Lkx(k)= x*(k)时J最小，意即：k0k0=0时J()极小（与变分x(k)、 x(k+1)无关），t fJ ( )J (x) JF (t, x(t ), x& (t )dt 0因此：t0t ftdt 01 于是有：k fLL0 x

4、T (k ) k xT (k 1) 0k(5.1.2)x(k )x(k 1) k k0k f 1 L将序号变为k，与第一项相同 xT (k 1) kx(k 1) k k0LkLk f 1 L xT (k ) k1 xT (k1k0 1 xT (k)f)x(k )fx(k0 x(k)k k0f0k k fk f 1 LL xT (k ) k1 xT (k )k 1离散分部积分x(k ) x(k )k k0k k0于是（5.1.2）变为：k k fk f 1 LLL(5.1.3) xT (k ) kk 1 xT (k ) k 1 0 x(k )x(k ) x(k )k k0k k0上式对任意x(k

5、)成立，于是有极值的必要条件：Lk Lk 1离散Euler方程： 0(5.1.4)x(k )x(k ) xT (k ) Lk 1 0(k k, k)横截条件：(5.1.5)x(k )0f例：若始端给定（x(k0)= x0），则横截条件为：Lkf1 0 x(k f )等式约束下的离散极值问题通过Lagrange乘子函数化为无约束的极值问题。等式约束下的离散泛函极值问题k f 1min J (x(k f ), k f ) L(x(k ), u(k ), k )u( k )s.t.k k0 x(k 1) f (x(k ), u(k ), k ), x n , u rk0 , x(k0 ) x0 ,

6、k f 固定，x(f化为无约束问题：min J1 (x(kf ), k f ) u( k )k f 1 L(x(k ), u(k ), k ) T (k 1)f(x(k ), u(k ), k ) x(k 1)k k0H x(k ), u(k ), (k 1), k 令Hamilton函数为H (k ) L(x(k ), u(k ), k ) T (k 1)f (x(k ), u(k ), k )则k1H (k ) T (k 1)x(k 1)f), k ) J (x(k1ffk k0k f 1), k ) H (k ) T (k 1)x(k 1)J (x(k1ffk k0H (k ) L(x(

7、k ), u(k ), k ) T (k 1)f (x(k ), u(k ), k )若泛函极值存在，则如下方程成立：H (k ) x (k ) (k ) 0T方程：Euler x(k ) uT (k ) H (k ) 0u(k )(x(k) 0), k f) (k横截条件： xT (kf)fx(kf)fxn，ur，即x和u任意取 x(k)和u(k)可不为零， x(kf)可不为零:同时这里始端状态固定，末端k f 1问题： min J (x(k ), k ) L(x(k ),u(k ), k )ffu( k )s.t.k k0 x(k 1) f (x(k ), u(k ), k ), x n

8、, u rk0 , x(k0 ) x0 , k f 固定，x(泛函极值存在的必要条件：H (k ) (k )协态方程：x(k )H (k ) 0控制方程：u(k )横截条件： (x(k f ), k f) (k)fx(k)fx(k 1) f(x(k ), u(k ), k )x(k0 ) x0状态方程：边界条件：H (k ) L(x(k ), u(k ), k ) T (k 1)f (x(k ), u(k ), k )H (k ) L(x(k ),u(k ), k ) T (k 1)f (x(k ), u(k ), k )已知离散系统及边界条件：例5.1.1x(k+1)= x(k)+au(k)

9、x(0)=1 x(10)=019性能指标为：J 2u (k )2k 0求使性能指标极小的控制序列u(k)与相应的状态序列x(k)。解：两端状态固定的有约束极值问题L 1 u2 (k )f(x(k ),u(k ), k ) x(k ) au(k )k2H (k ) 1 u2 (k ) (k 1)( x(k ) au(k )2伴随方程：H (k ) (k ) (k 1) (k )故 (k ) Cx(k )控制方程：H (k ) 0 u(k ) a (k 1) 0 u(k ) aCu(k )状态方程x(k+1)= x(k)+au(k)x(1)= x(0) -a2Cx(2)= x(1) -a2C= x

10、(0) -2a2Cx(3)= x(2) -a2C= x(0) -3a2Cx(k)= x(0) -ka2C故x(k+1)= x(k)-a2Cx(10)=0 得：C=1/(10a2)代入边界条件： x(0)=1最优控制：u*(k)= -1/(10a)最优轨线： x(k)= 1-0.1k*注：也可用z变换法替代后面的递推，自己试试5.2 离散极小值原理庞金极小值原理时，只了连续系统情况。为了获得离散系统的极小值原理，有人曾从离散系统与连续系统比较接近这点出发，设想把连续极小值原理直接推广到离散系统，但除了采样周期足够小的情况外，其余都失败了。离散极小值原理的普遍论述较复杂，证明过程十分冗长。这里不加

11、证明地给出结论。离散极小值原理k f 1min J (x(k f ), k f ) L(x(k ),u(k ), k )u( k )s.t.k k0 x(k 1) f (x(k ), u(k ), k ), x(k0 ) x0 x(k ) n ,u(k ) r 有界闭集f , , L , 且对x(k),u(k)连续可微nk0, x(k0)=x0固定，kf固定，x(kf)受约束：gx(kf), kf=0则使目标泛函取最小值的最优控制序列u*(k)，最优状态序列x*(k)及适当的序列(k)满足必要条件：1.状态方程: x*(k+1)=fx*(k), u*(k), k2.伴随方程：H (k ) (k

12、 )x(k )其中：H (k ) H x(k ),u(k ), (k 1), k L(x(k ), u(k ), k ) T (k 1)f (x(k ),u(k ), k )极值条件：H x* (k ), u* (k ), (k 1), k 边界条件：x(k0)=x0min Hx (k ), u(k ), (k 1), k*u( k )U (x(kTk), k)5.横截条件：ff(k ) fx(kx(k )ff说明1.若控制序列不受约束，则J取极小值的充要条件为：H (k ) 2 H (k )0且0u(k )u2 (k )2.离散极小值原理与连续的相似离散系统最优化问题最后归结为一个离散两点边

13、值问题。5.3 离散线性调节器类似于线性连续系统的二次型最优控制问题，线性离散系统的二次型最优控制也是线性控制律。线性连续系统的二次型最优控制问题的最后归结到一个最优状态反馈律和求解一个矩阵微分方程。线性离散系统的二次型最优控制问题的最后归结到一个最优状态反馈律和求解一个矩阵差分方程（与矩阵微分方程相类似）。两种状态调节器时变状态调节器定常状态调节器时变状态调节器离散线性系统的状态差分方程为：x(k+1)= A(k)x(k)+ B(k)u(k)(k=0,1,2, , N-1)性能指标为：N 11212x(k )Q(k )x(k ) u (k )R(k )u(k )J x ( N )Fx( N

14、) TTTk 0 x(0)=x0, 固定， N固定，X(N)， x(k)n，u(k) rF0，对称；Q(k)0，对称； R(k)0，对称求最优控制序列u*(k)使性能指标J最小。H (k ) 1 xT (k )Q(k )x(k ) 1 uT (k )R(k )u(k )22T (k 1)A(k )x(k ) B(k )u(k )伴随方程：(k ) H (k ) Q(k )x(k ) AT (k )(k 1)x(k )H (k ) R(k )u(k ) BT (k )(k 1) 0极值条件：u(k )R(k)0，u(k)=-R-1(k)BT(k)(k+1)代入状态方程，得：x(k+1)=A(k)

15、 x(k)-B(k)R-1(k)BT(k)(k+1)边界条件：x(0)=x0(5.3.1)(5.3.2) 1 xT ( N )Fx( N ) 2 Fx( N )横截条件：( N ) x( N )(k ) Q(k )x(k ) AT (k )(k 1)1x(k 1) A(k )x(k) B(k )R(k )B (k )(k 1)T(5.3.2)( N ) Fx( N )上述三个方程组成离散两点边值问题，可解出(k)，但是得到的u*(k)是开环控制。如何得到闭环最优控制u(x(k)?x(k 1) A(k )x(k ) B(k )R1 (k )BT (k )(k 1)(5.3.2)用数学归纳法推导(

16、5.3.3)假设(k+1)=P(k+1)x(k+1)当k=N-1时，由横截条件有：(N)= P(N)x(N) (其中P(N)=F)证明 (k)=P(k)x(k) 是否成立。将(5.3.3)代入(5.3.2)得：x(k 1) A(k )x(k ) B(k )R1 (k )BT (k )P(k 1)x(k 1)1 x(k 1) I B(k )R1 (k )BT (k )P(k 1)A(k )x(k )(5.3.4)将(5.3.4)代入(5.3.3)得：1(k 1) P(k 1) I B(k )R1 (k )BT (k )P(k 1)A(k )x(k )(5.3.5)(k ) Q(k )x(k )

17、AT (k )(k 1)u(k)=-R-1(k)BT(k)(k+1)(5.3.1)1(k 1) P(k 1) I B(k )R1 (k )BT (k )P(k 1)A(k )x(k )(5.3.5)将(5.3.5)代入伴随方程得：(k ) Q(k ) AT (k )P(k 1) I B(k )R1 (k )BT (k )P(k 1)1 A(k )x(k )令1P(k ) Q(k ) AT (k )P(k 1) I B(k )R1 (k )BT (k )P(k 1)A(k )(5.3.6)则(k ) P(k )x(k )k成立（k N 1,L, 0）因此，假设条件(k+1)=p(k+1)x(k+

18、1)成立。将(5.3.5）代入(5.3.1)，得：1u(k ) R1 (k )BT (k )P(k 1) I B(k )R1 (k )BT (k )P(k 1)A(k )x(k )(5.3.7)1令K R1 (k )BT (k )P(k 1) I B(k )R1 (k )BT (k )P(k 1)A(k )则 u(k ) Kx(k )(5.3.8)u(k)是x(k)的线性反馈1P(k ) Q(k ) AT (k )P(k 1) I B(k )R1(k )BT (k )P(k 1)A(k )(5.3.6)1u(k ) R1 (k )BT (k )P(k 1) I B(k )R1(k )BT (k

19、 )P(k 1)A(k )x(k )求逆麻烦，如何简化？若A(k)可逆，则由式(5.3.6)得：1P(k 1) I B(k )R1 (k )BT (k )P(k 1)A(k ) AT (k )(P(k ) Q(k )代入上式得：u(k ) R1 (k )BT (k )AT (k )P(k ) Q(k )x(k )(5.3.9)*通过(5.3.6)计算出P(k)，然后u(k)。离散时变状态调节器小结离散线性系统的状态差分方程为：x(k+1)= A(k)x(k)+ B(k)u(k)(k=0,1,2, , N-1)N 11212x(k )Q(k )x(k ) u (k )R(k )u(k )性能指标

20、为：J x ( N )Fx( N ) TTTk 0， x(k)n，u(k) rx(0)=x0, 固定， N固定，X(N)F0，对称；Q(k)0，对称； R(k)0，对称。使性能指标J最小的最优控制序列为：1u(k ) R1 (k )BT (k )P(k 1) I B(k )R1 (k )BT (k )P(k 1)A(k )x(k )u(k ) R1 (k )BT (k )AT (k )P(k ) Q(k )x(k )或其中P(k)是下列Riccati方程的对称非负定解：（可离线计算）1P(k ) Q(k ) AT (k )P(k 1) I B(k )R1 (k )BT (k )P(k 1)A(k )P(N)=F最优状态序列:(也可以根据状态方程计算)1x(k 1) I B(k )R1 (k )BT (k )P(k 1)A(k )x(k )或x(k+1)= A(k)x(k)+ B(k)u(k)(k=0,1,2, , N-1) 1 xT (0)P(0)x(0)最优性能指标：J *2离散系统最优状态调节器结构图u(k)x(k+1)+x(k)延迟+-R-1B(P-Q)1P(k ) Q(k ) AT (k )P(k