线性代数全套课件

1、线性代数目录第1章 n阶行列式第2章 矩阵及其运算第3章 矩阵的初等变换与线性方程组第4章 向量组的线性相关性第5章 相似矩阵与二次型第6章 线性经济模型简介资料库1资料库2资料库3资料库1 往年试卷4往年试卷3往年试卷2 往年试卷 1. 往年试卷1资料库2模拟题 4模拟题3模拟题2模拟题 模拟题1资料库34数学家拉普拉斯3数学家克莱姆2 数学家莱布尼茨线性代数史话1 线性代数发展史5数学家范德蒙6 日本数学家关孝和7英国纯粹数学凯莱8数学家雅可比9数学家柯西第一章 n阶行列式排列及对换1.1行列式的性质与计算1.3克莱姆法则1.4n阶行列式的定义1.2一1.1 n阶行列式的定义排列及其逆序数

2、 对 换 二一、排列及其逆序数 排列逆序数 排列的奇偶性 一、排列及其逆序数 排列逆序数 排列的奇偶性 1.排列 定义1n个不同的元素按照一定的次序排成一列，叫做这n个元素的一个全排列，简称 n 阶排列.不妨设排列的n个元素为自然数1，2，,n，并将任意一个n阶排列记成例如, 自然数1,2,3,4构成的4阶排列有4!=24种:1234，1243，1324，1342，1423，1432，2134，2143，2314，2341，2413，2431, 3124，3142，3214，3241，3412，3421，4123，4132，4213，4231，4312，4321。 n个元素共有n!个全排列2.

3、逆序数一、排列及其逆序数 排列逆序数 排列的奇偶性 逆序数对于1，2，n这n个自然数的任一阶排列，我们要考虑其各元素之间的次序.规定:自然数从小到大构成的排列12为标准次序，称为标准排列（或自然排列）. 定义2对任一 n 阶排列，如果两个元素中较大元素排在较小元素的前面，那么就称这两个元素构成一个逆序（反序）.一个排列中所有逆序的总数，叫做这个排列的逆序数.用 表示 n 阶排列1，2，n的逆序数. 显然，标准排列的逆序数等于0. 计算方法一、排列及其逆序数3 排列的奇偶性 排列逆序数 排列的奇偶性 排列的奇偶性定义3逆序数为偶数的排列称为偶排列； 逆序数为奇数的排列称为奇排列。 例如，排列43

4、152是偶排列， 排列321是奇排列.？二、对换定义4在一个排列中，把任意两个元素i,j的位置对调，而其它元素不动，就得到一个新的排列.对于排列所施行的这样一个变换叫做一个对换,记为(i,j).将相邻的两个元素对换叫做相邻对换.在对换下，排列的奇偶性会有变化 。？例如，排列5 3 1 2 4 定理1对换改变排列的奇偶性. 这就是说，经过一次对换， 奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列. 推论1推论1奇排列对换成标准排列的对换次数是奇数， 偶排列对换成标准排列的对换次数是偶数.根据定理1，经过奇数次对换后，排列改变其奇偶性；经过偶数次对换后，排列不改变其奇偶性.而标准排列是偶排列，于是有定理2 第

5、一章 n阶行列式 排列及对换1.1n阶行列式的定义1.2行列式的性质与计算1.3克莱姆法则1.4一2.1 n阶行列式的定义二阶与三阶行列式 n阶行列式的定义 二一、二阶与三阶行列式 1.二元线性方程组与二阶行列式 2.三阶行列式 莱布尼茨关孝和一、二阶与三阶行列式1.二元线性方程组与二阶行列式消元法二阶行列式二阶行列式二阶行列式二阶行列式的定义：四个数按照一定位置，排成二行二列（横排称为行、竖排称为列）: 上述表达式称为二阶行列式。 元素或元行标列标主对角线副对角线二阶行列式便是主对角线上的两元素之积减去副对角线上两元素之积所得的差。 例1 求解二元线性方程组 解 2三阶行列式 定义 ：称为三

6、阶行列式。 计算公式对角形法则 例2 计算三阶行列式 解 按对角线法则，有注意！对角线法则只适用于二阶与三阶行列式。 二、n阶行列式的定义 1.n阶行列式的定义 2. 三角行列式的计算 3.按定义计算行列式 4. 行列式的另一定义 1、n阶行列式的定义 主对角线副对角线2、 三角行列式的计算 例3证明 1.2.对角行列式 【注】 主对角线上所有元素的乘积取正号,副对角线上所有元素的乘积未必取负号。 ?例4证明 (1)上三角行列式(2)下三角行列式 (3) 反上三角行列式 (4) 反下三角行列式 如何证明？化三角形3、按定义计算行列式方法：当行列式中0比较多时,可以按定义计算行列式:将每一项按第

7、1行的元素写在第1个位置, 第2行的元素写在第2个位置， 第n行的元素写在第n个位置,然后计算列标排列的逆序，决定该项的符号。 例5求下列行列式的值 解：4. 行列式的另一定义为什么？1.3 行列式的性质与计算一行列式的性质 行列式按行（列）展开 二分块三角行列式的计算 三行列式的计算方法 四一、行列式的性质 性质1 性质2 性质3 性质4 性质6性质5 性质1行列式与它的转置行列式的值相等.即 转置作用：凡对行成立的性质，对列也同样成立。 以后仅对行证明,对列同样成立。 性质2互换行列式的其中两行（列），行列式改变符号. 性质3行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.

8、性质4如果行列式中有两行（列）的元素对应成比例，那么行列式等于零. 性质5如果行列式的某一行（列）元素都是两数之和，那么可以把行列式表示成两个行列式的和。性质6把行列式某一行（列）的元素同乘以数k，加到另一行（列）对应元素上去，行列式的值不变， K倍注：（1）使用性质2，性质3，性质6计算行列式的方法称为消元法. （2） 性质中有三个性质个是行列式等于0的充分条件。 但是，该行列式并没有一行（列）为0、两行（列）相同或两行（列）成比例. （3）使用消元法可以把行列式化为三角行列式的形式，从而方便地求出行列式的值.此方法叫做化上（下）三角形法.（注意“1”的作用：消元时不产生分数。若没有“1”，

9、有时可通过消元法造出“1”） 例1计算 解化三角形法二、行列式按行（列）展开1余子式和代数余子式 2行列式按行（列）展开法则1、余子式和代数余子式 的代数余子式. 按行（列）展开法则 2、行列式按行（列）展开法则 定理1行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 行列式按第i行展开，记作行列式按第j列展开，记作 造0降阶法 消元法 化为0 再展开 降阶 例2 计算 解定理2行列式任意一行（列）的所有元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即 三、分块三角行列式的计算 下分块三角行列式 对“上分块三角行列式”同样成立！ 反上（下）分块三角行列式 注意符号！

10、 四、行列式的计算方法 1.定义法。当行列式中0元素较多时，可直接按定义计算行列式。 2.化上（下）三角形法。注意“1”的作用：消元时不产生分数若没有“1”，有时可通过消元法造出“1”。数字行列式 上（下）三角行列式 消元法 3.降阶法（造0降阶法） 按行（列）展开法则 消元法 化为0 再展开 降阶 4.观察法(主要观察行(列) 元素之和是否为一个定数；行(列)间元素的差异大小, 进而利用消元法计算行列式)5. 数学归纳法 6.递推法 例3计算5阶行列式 n阶行列式=? 例4计算5阶行列式 5. 数学归纳法 例5.证明 n阶范德蒙(Vandermonde)行列式 6.递推法 例6计算阶行列式

11、解1.4 克莱姆法则一克莱姆法则 齐次线性方程的非零解 二一、克莱姆法则定理1（克莱姆(Gramer)法则）设有方程组 如果（）的系数行列式不等于零，即 （）那么，方程组（）有唯一解：优点？条件？ 例1解线性方程组 解：方程组的系数行列式 因此，由克莱姆法则知，此方程组有唯一解。经计算 由公式，得 二、齐次线性方程的非零解 （） 一定是（）的解，叫齐次方程组（）的零解。 如果有一组不全为零的数是（）的解，则它叫做齐次方程组（）的非零解. 齐次线性方程组（）一定有零解，但不一定有非零解. 例2 解线性方程组 定理2若齐次方程组（）系数行列式 , 则齐次方程组只有零解.即（）有非零解时，系数行列式

12、例问 取何值时，齐次线性方程组有非零解？ 解：若方程组存在非零解，则由定理2知，它的系数行列式 第二章 矩阵及其运算矩阵的概念2.1矩阵的运算2.2逆矩阵及其基本求法2.3分块矩阵2.4一2.1 矩阵的概念矩阵的概念 几类特殊矩阵 二一、矩阵的概念线性方程组 将其系数按在方程组中原有的相应位置排成一个矩形数表如下： 这样的矩形数表 称为 矩阵。 一、矩阵的概念定义1 : 由排成的 行、 列的数表个数称为 行 列矩阵，简称 矩阵。 矩阵的表示方法: 一般用大写字母A，B，C 等表示，并记为： 矩阵简记为： A= 矩阵的表示方法:列 标矩阵的元素行 数列 数行 标矩阵的表示方法有时，为了表明矩阵的

13、行数、列数，把 行 列矩阵记作 或以数 为 元的矩阵记作 、 或实矩阵与复矩阵元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。 注本书中的矩阵，除特别说明外，都是指实矩阵。相等矩阵 两个矩阵，如果它们的行数与列数分别相等，且它们的对应元素也都相等，则称它们为相等矩阵。即： 定义2 设有 ， 如果1） ； ； 2） （ ； ） 则称矩阵A与矩阵B相等。记为： 。例如，若 ，则行列式与矩阵的区别 1. 行列式是一种算式，它最终表示的是一个“值”；矩阵是一张“表”，排列起来它是一个矩形“表” 。 2. 行列式要求行数与列数相同，而矩阵就没有这个限制。 3. 行列式用 “ ” 表示，而矩阵用

14、“ ” 表示。化转复杂问题矩阵问题转化思想用矩阵来研究线性变换设 个变量 与 个变量 之间的关系式为:线性变换矩 阵单位矩阵与恒等变换 线性变换单位矩阵1同型矩阵2. 零矩阵3. 方阵4.行（列）矩阵5对角矩阵二、几类特殊矩阵二、几类特殊矩阵 1同型矩阵 若两个矩阵的行数相同，且列数也相同，则称它们为同型矩阵。 ； 二、几类特殊矩阵 元素全为零的矩阵称为零矩阵。一般记为： 或者就直接记成2. 零矩阵注意：不同型的零矩阵是不相等的。 二、几类特殊矩阵 3. 方阵 对于 当 时，这个矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。一阶方阵可以看作一个数。 三角矩阵 方阵的主对角线 方阵的次对角线 二、几类特殊矩阵4行

15、（列）矩阵 列矩阵（或维列向量） 行矩阵（或n维行向量）行向量与列向量统称为向量，一个n维向量含n个有次序的数。 二、几类特殊矩阵5. 对角矩阵记作： 例如:一2.2矩阵的运算矩阵的线性运算方阵的幂与矩阵多项式三 二 矩阵的乘法线性代数精品课程一、矩阵的线性运算定义1: 若1. 矩阵的加法、减法【注】 只有两个同型矩阵才可进行和的运算，两个同型矩阵的和等于对应元素和的矩阵。则 A与B的和为:例1. 若则一、矩阵的线性运算1. 矩阵的加法、减法一、矩阵的线性运算1. 矩阵的加法、减法设 ，矩阵 称为A的负矩阵，记为：例:一、矩阵的线性运算1. 矩阵的加法、减法定义2:设 则例:矩阵加法的运算律（

16、1）交换律（2）结合律 （3） （4） 一、矩阵的线性运算2. 矩阵的数量乘法定义3.设 ，k是一个常数，矩阵 称为数与矩阵A的数量乘积，记为:例:【注】 矩阵的数量乘积是与矩阵中的每一个元素都相乘。而这一点与行列式的提取一行（列）的公因数不同。 矩阵数量乘法的运算律（1）（2）（3） （4） 矩阵的加法、减法与数乘矩阵这三种运算合起来，称为矩阵的线性运算。 是矩阵A的第i行的元素与矩阵B的第j列的元素对应乘积之和二、矩阵的乘法定义4 设当 时,称为矩阵A与矩阵B的积。记为：AB右矩阵左矩阵【注】两个矩阵要进行乘法运算，必须满足左矩阵的列数与右矩阵的行数相等。即 二、矩阵的乘法A的行数=B的列

17、数在这个前提下，乘积矩阵的行数等于左矩阵的行数，列数等于右矩阵的列数。 二、矩阵的乘法例4. 已知 求解 =矩阵乘法的基本性质（1）左分配律右分配律（2）结合律（3）（4）（5）其中k为常数例5 求下列矩阵的乘积 。并判断二者是否相等？ （1） （3） （2） 例5 求下列矩阵的乘积 。并判断二者是否相等？ 解:（1） 但是，无意义. 矩阵乘法不适合交换律!（2） 例5 求下列矩阵的乘积 。并判断二者是否相等？ 解:矩阵乘法不适合交换律!（3） 例5 求下列矩阵的乘积 。并判断二者是否相等？ 解:?矩阵乘法不适合消去律!何时成立?三、方阵的幂与矩阵多项式定义:若设是一个n阶方阵，m个A连乘称为

18、A的m次方幂，记为： 即,规定:方阵的幂运算满足以下运算规律: 三、方阵的幂与矩阵多项式（1） 均为正整数） (（2） 注意: 一般地 ,为什么?何时成立？三、方阵的幂与矩阵多项式定义:若次多项式，为阶方阵，则称为 方阵A的m次多项式。 例6 设 解： 在矩阵运算中，乘法公式不都成立。 对于可交换的（AB=BA）矩阵，则上式成立。 注意！四、矩阵的转置运算 1、矩阵的转置2、对称阵与反对称阵 1、矩阵的转置定义: 一个 矩阵 互换行列元素的位置后，得到的新的阶矩阵 称为 A 的转置，记为： 或例子例如: 转置运算的性质： 例6 设矩阵 解：（方法1）方法2：2 对称阵与反对称阵 定义7 对于矩

19、阵 如果满足 则称 A 是对称矩阵，简称对称阵。 定义7 设 为n阶方阵。如果 则称A为对称矩阵。 反对称矩阵 定义7 对于矩阵 如果满足 则称 A 是反对称矩阵，简称反对称阵。 定义7 设 为n阶方阵。如果 则称A为反对称矩阵。 ？反对称的例子例7 设A是对称矩阵，证明: BTAB 也是对称矩阵。证明： 由于 用转置的运算律得 ，是对称矩阵。 即一2.2矩阵的运算矩阵的线性运算方阵的幂与矩阵多项式三 二 矩阵的乘法线性代数精品课程一、矩阵的线性运算定义1: 若1. 矩阵的加法、减法【注】 只有两个同型矩阵才可进行和的运算，两个同型矩阵的和等于对应元素和的矩阵。则 A与B的和为:例1. 若则一

20、、矩阵的线性运算1. 矩阵的加法、减法一、矩阵的线性运算1. 矩阵的加法、减法设 ，矩阵 称为A的负矩阵，记为：例:一、矩阵的线性运算1. 矩阵的加法、减法定义2:设 则例:矩阵加法的运算律（1）交换律（2）结合律 （3） （4） 一、矩阵的线性运算2. 矩阵的数量乘法定义3.设 ，k是一个常数，矩阵 称为数与矩阵A的数量乘积，记为:例:【注】 矩阵的数量乘积是与矩阵中的每一个元素都相乘。而这一点与行列式的提取一行（列）的公因数不同。 矩阵数量乘法的运算律（1）（2）（3） （4） 矩阵的加法、减法与数乘矩阵这三种运算合起来，称为矩阵的线性运算。 是矩阵A的第i行的元素与矩阵B的第j列的元素对

21、应乘积之和二、矩阵的乘法定义4 设当 时,称为矩阵A与矩阵B的积。记为：AB右矩阵左矩阵【注】两个矩阵要进行乘法运算，必须满足左矩阵的列数与右矩阵的行数相等。即 二、矩阵的乘法A的行数=B的列数在这个前提下，乘积矩阵的行数等于左矩阵的行数，列数等于右矩阵的列数。 二、矩阵的乘法例4. 已知 求解 =矩阵乘法的基本性质（1）左分配律右分配律（2）结合律（3）（4）（5）其中k为常数例5 求下列矩阵的乘积 。并判断二者是否相等？ （1） （3） （2） 例5 求下列矩阵的乘积 。并判断二者是否相等？ 解:（1） 但是，无意义. 矩阵乘法不适合交换律!（2） 例5 求下列矩阵的乘积 。并判断二者是否

22、相等？ 解:矩阵乘法不适合交换律!（3） 例5 求下列矩阵的乘积 。并判断二者是否相等？ 解:?矩阵乘法不适合消去律!何时成立?三、方阵的幂与矩阵多项式定义:若设是一个n阶方阵，m个A连乘称为A的m次方幂，记为： 即,规定:方阵的幂运算满足以下运算规律: 三、方阵的幂与矩阵多项式（1） 均为正整数） (（2） 注意: 一般地 ,为什么?何时成立？定义:三、方阵的幂与矩阵多项式若次多项式，为阶方阵，则称为 方阵A的m次多项式。 例6 设 解： 在矩阵运算中，乘法公式不都成立。 对于可交换的（AB=BA）矩阵，则上式成立。 注意！四、矩阵的转置运算 1、矩阵的转置2、对称阵与反对称阵 1、矩阵的转

23、置定义: 一个 矩阵 互换行列元素的位置后，得到的新的阶矩阵 称为 A 的转置，记为： 或例子例如: 转置运算的性质： 例6 设矩阵 解：（方法1）方法2：2 对称阵与反对称阵 定义7 对于矩阵 如果满足 则称 A 是对称矩阵，简称对称阵。 定义7 设 为n阶方阵。如果 则称A为对称矩阵。 反对称矩阵 定义7 对于矩阵 如果满足 则称 A 是反对称矩阵，简称反对称阵。 定义7 设 为n阶方阵。如果 则称A为反对称矩阵。 ？反对称的例子例7 设A是对称矩阵，证明: BTAB 也是对称矩阵。证明： 由于 用转置的运算律得 ，是对称矩阵。 即一2.3逆矩阵及其基本求法可逆矩阵及其求法 二可逆矩阵的几

24、个基本性质 一、可逆矩阵及其求法1.可逆矩阵的概念4.求逆矩阵的方法3.伴随矩阵2.矩阵行列式1.可逆矩阵的概念定义1 设 A 是n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得或称矩阵A 是 非奇异的。则称矩阵A为可逆矩阵（可逆的）。称矩阵A是不可逆的，或称A是奇异的。否则方阵！唯一！定义2 如果矩阵 B 适合等式那么就称为A的逆矩阵。记为 即 A 和B 互为逆矩阵 两个问题（1）如何判定矩阵 A 是不是可逆矩阵， 即，矩阵 A 可逆的条件是什么？ （2）若 A 可逆，如何求 A 的逆矩阵？ ?定义3 设 2.矩阵行列式是一个n阶方阵 ，按矩阵A的元素的原顺序组成的n阶行列式 称为矩阵A的矩阵行列式 。=

25、矩阵中只有方阵才有行列式。 n阶方阵是个数表，n阶行列式是个数值定理 矩阵乘积的行列式 = 矩阵行列式的乘积 n阶方阵的行列式还满足以下规律 ：例1 设矩阵 求3.伴随矩阵定义 设 是一个n阶方阵， 是矩阵行列式 的元素的代数余子式，则矩阵 称为A的伴随矩阵，记为： 性质 4.求逆矩阵的方法定理2 n阶矩阵A可逆的充分必要条件是：A的矩阵行列式，并且公式法证明：返回题目推论优点例1 公式例2 讨论 A 是否可逆？如果可逆，求逆矩阵。其中， 解： 所以A可逆。 又，设A和B都是阶方阵，则求它们的逆矩阵的方法有如下几种 :小结例3 ？ 二、可逆矩阵的几个基本性质 如何证明？一2.3逆矩阵及其基本求

26、法分块矩阵的概念 二分块矩阵的运算一、分块矩阵的概念 将矩阵 A 用若干条纵线和横线分成许多小矩阵，每一个小矩阵称为 A 的子块， 以子块为元素形式上的矩阵称为分块矩阵。 特殊的分块方法 1.按行分块：将矩阵的每一行，作为一个子块，记为 m元列矩阵 2.按列分块：将矩阵的每一列，作为一个子块，记为 n元行矩阵 A的m个n维行向量叫做A的行向量组，n个m维列向量叫做A的列向量组。A的按行或按列分块矩阵显示，一个矩阵等同于它的行向量组，也等同于它的列向量组。因此，如果把有序数组叫做向量，那么，有序数向量组便是矩阵。 线性方程组的向量表示 （I）方程组（I）的系数矩阵未知数向量 常数项向量 （II）

27、向量方程（II）的解就称为线性方程组（I）的解向量 线性方程组（I）的各种变形 （3）分块对角矩阵 性质 12Ai是非零方阵例2 设求 A-1解 将化为分块对角矩阵 二、分块矩阵的运算 设A、B为同型矩阵，对A、B用相同的方法分块，即 1234二、分块矩阵的运算 成立的条件？例2 用分块矩阵计算AB，其中它们如何计算？课后作业与练习作业：第55页26题、27题。练习：第55页28题、29题、30题。第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换3.1初等矩阵与求逆矩阵的初等变换法的运算3.2矩阵的秩3.3线性方程组的解3.43.1 矩阵的初等变换二一三矩阵的初等行变换 矩阵的初等列变换 矩阵

28、的等价一、矩阵的初等行变换 定义1 下面三种对矩阵的变换，称为矩阵初等行变换：（1）互换矩阵中两行的位置。如果第 两行互换，记为 ；（2）用任意非零常数 乘矩阵的第 行，记为 ；（3）把矩阵的第 行的 倍加到第 行上，其中 为任意常数，记为 。约定：对 实施一次初等行变换，变成了 ，记成： 例1 设矩阵对 施以初等行变换。解由例1 可以看到矩阵 经过初等行变换化成矩阵 称这种类型的矩阵为行阶梯形矩阵。其特点为：1）每一行首位非零元素（简称首非零元）所在列的 位置逐行增加；2）零行在非零行下面。例如，都是行阶梯形矩阵。而都不是行阶梯形矩阵。?如果对例1中的行阶梯形矩阵再进一步施初等行变换，可以使

29、它更加简化。最后这个矩阵我们称为行最简形矩阵，其特点为：1）它满足行阶梯形矩阵的特征，是一个行阶梯形矩阵；2）它每行中首位非零元素是1；3）首位非零元素所在列除1外，其它元素都是零。例如，都是行最简形矩阵。对于矩阵的初等行变换有如下几点说明：1）初等行变换可以将任意阶矩阵化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。3）三种初等行变换都是可逆的。即经变换后的矩阵再施以同类型的变换又会回到原矩阵。如2）初等行变换后的矩阵一般情况下与原矩阵不相等。所以，一定要用“”来连接变换前后的矩阵。二、矩阵的初等列变换如果将对行施加的三种变换换成对列的，同样得到对列的三种变换： 1）互换矩阵中两列的位置。如果第两列互换，记

30、为 2）用任意非零常数乘矩阵的第列，记为3）把矩阵的第列的 倍加到第列上，其中 为任意常数，记为定义2 上面三种对矩阵列的变换，称为矩阵的初等列变换。同样，我们约定：对 实施一次初等列变换，变成 ，记成：初等行变换具有的性质初等列变换也具有。定义3 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换。初等变换后的矩阵一般情况下与原矩阵不相等，那么，它们之间具有什么关系呢？三、矩阵的等价定义4 如果矩阵经过有限次初等列变换变成矩阵，那么，我们称与列等价，记为如果矩阵经过有限次初等行变换变成矩阵那么，我们称与行等价，记为如果矩阵经过有限次初等变换化成矩阵，那么， 与等价，记为我们称如果是可逆矩阵，那

31、么经过有限次初等变换可化为，所以，单位矩阵等价矩阵具有如下性质：1）反身性：2）对称性：若则 3）传递性：若 则例2 将矩阵化为行最简形矩阵。解（为行阶梯形）（为行最简形）从而得.例3 设把化成行最简形。解若把的行最简形记作，则并可以验证，即 下一节我们将证明，的充分必要条件是可逆，且可逆时， 对于任何方阵当注：此处仅进行初等行变换对行最简形矩阵再施以初等列变换，可化成一种形状更简单的矩阵，称为标准形。例如对行最简形矩阵矩阵称为矩阵的标准形，其特点是：的左上角是一个单位阵，其余全为0。一个矩阵，总可以经过有限次初等变换（初等行化为标准形变换和初等列变换）把矩阵【注】 标准形由三个数完全确定，其

32、中就是行阶梯形矩中非零行的行数。阵所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类,是这个等价类中形状最简单的矩阵。标准形3.2 初等矩阵与求逆 矩阵的初等变换法一二三初等矩阵的概念初等变换法求矩阵的逆矩阵 逆矩阵在解矩阵方程中的应用一、初等矩阵的概念 1初等矩阵定义1 由单位矩阵 经过一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵。 2初等矩阵的类型三种初等变换对应有三种初等矩阵。（1）交换两行（或列）。表示单位矩阵交换i、j行（列）（2）用任意常数去乘某行（或列）。第i行（列）乘非零常数k后得到的初等矩阵；后得到的初等矩阵；表示单位矩阵（3）以数乘某行（或列）加到另一行（或列）上。矩阵或表示单位矩阵第

33、列乘常数k加到第列后得到的表示单位矩阵第i行乘常数k加到第j行后得到的初等初等矩阵。这样，初等矩阵共有三类： , , 。 3初等矩阵的作用：左乘变行，右乘变列用阶初等矩阵左乘，得其结果相当于对矩阵施第一种初等行变换：的第行与第行对调（）。类似地，阶初等右乘，其结果相当于对施第一种初的第列与第列对调（）。矩阵可以验证，左乘矩阵，其结果相当于以数乘的第行；右乘矩阵，其结果相当乘的第列（）。矩阵等列变换：把于以数同样，还也验证，以左乘矩阵其结果相当于对作初等行变换；以右乘矩阵，其结果相当于对作初。等列变换综上所述，可得下述定理：定理1 设是一个阶矩阵，对作一的左边乘以相应的阶初等矩阵；对作一次初等列

34、变换，相当的右边乘以相应的阶初等矩阵。初等行变换，相当于在次于在【注】 这里乘以相应阶初等矩阵的意思是：作一次什么样的初等变换，就相当于乘以对作同样初等变换得到的初等矩阵。对4初等矩阵的可逆性因为 ， ， 所以 ， ， 。 即：初等矩阵都是可逆矩阵，且初等矩阵的逆矩阵仍是同类的初等矩阵。二、初等变换法求矩阵的逆矩阵1矩阵可逆的两个充分必要条件在上一章已经得到：n阶矩阵A可逆的充分必要条件是：A的。现再给出两个充分必要条件。行列式引理 初等变换不改变矩阵的可逆性。证明 不妨设阶矩阵经过一次初等行变换化成矩阵，则存在初等矩阵使若可逆，则可逆；又若可逆，则可逆。由定理1，可得：定理2 阶矩阵，则可逆

35、的充分必要条件是只通过初等行（列）变换化为单位矩阵。为定理3 设为阶矩阵，则可逆的充分必要条件是使。存在有限个初等矩阵证明：（必要性）因为可逆，则可只通过行（列）。 初等变换化为单位矩阵所以，。若记 ，则 是初等矩阵的乘积。（充分性）若存在初等矩阵 ，使因为可逆，从而可逆，所以可逆。 例1 设把表示成初等矩阵的乘积。解 见3.1例3可逆的一个重要意义是可以分解为初等（或）相当于对施行若干【注】矩阵矩阵的乘积。这时推论1 阶矩阵与等价的充分必要条件是存阶可逆矩阵阶可逆矩阵，使在及次初等行（列）变换。2求矩阵逆矩阵的初等变换法因为可逆，据定理2，有初等矩阵 使 ，即 。于是上两式表明：经一系列初等

36、行变换化为 ，则可经这同一系列初等行变换化为。 用分块矩阵形式，两式可以合并为或 即对矩阵作初等行变换，当把化为时，就化成了。)(【注】上面介绍的方法中，只能用行变换，不能用列变换。例2 设求。解 所以同样地，也可以利用矩阵的初等列变换方法求矩阵的阶矩阵逆矩阵。这时，对进行初等列变换，当上半子块化为 时，可逆，且下半子块就是。即若上半子块能够化为时，说明可逆，否则，不可逆。【注】 在这种方法中，只能用列变换，不能用行变换。例3 求矩阵的逆矩阵。 解故【注】 设和都是阶方阵，则求它们逆矩阵的方法有如下几种：（1）定义法。若，则 A 是可逆矩阵，且。（2）利用推论1。若或，则和都可逆，并且（3）公

37、式法。若，则矩阵A可逆，且。（4）初等变换法。，或（5）用分块矩阵求逆矩阵。三、逆矩阵在解矩阵方程中的应用设有阶可逆矩阵及矩阵 ，满足矩阵的如何快捷得到？ 直接有 方程因为可逆，据定理2，有初等矩阵 ，使 ，即。于是 上两式表明：经一系列初等行变换化为，则可经这同一系列初等行变换化为。 用分块矩阵形式，两式可以合并为或 即对矩阵作初等行变换，当把化为时，就化成了。特别地，当时，若，则可逆，且。这便是前面给出的结论。同理，若，则有。即【注】上半子块能够化为时，说明可逆，不可逆。否则3.3 矩阵的秩一二矩阵秩的概念求矩阵秩的方法一、矩阵秩的概念定义1 在阶矩阵中，任取行与列）， （位于这些行列交叉

38、处的个元，不中所处的位置次序而得的阶行列式， 改变它们在称为矩阵的阶子式。 阶矩阵的阶子式共有个。定义2 设在矩阵中有一个不等于0的阶子式，且所有阶子式（如果存在的话）全等于0，称为矩阵的最高阶非零子式，数称为矩的秩，记作。并规定零矩阵的秩等于0。那么阵由行列式的按行（列）展开性质可知，在中当所有阶子式全等于0，所有高于阶的子式也全为0，因此把阶非零子式称为最高的最高阶非零子式的秩就是的非零子阶非零子式，并由此可知矩阵可能不止一个。而式的最高阶数。【注】（1）若矩阵中有一个阶非零子式，则；若中所有阶子式全为0，则（2）若为矩阵，则。（3）对于阶矩阵，若，则；若，则。因此，可逆矩阵又称满秩矩阵，

39、不可逆矩阵（奇异矩阵）又称降秩矩阵。（4）由于行列式与其转置行列式相等，因此的子式与的子式对应相等，从而（5）该定义揭示了矩阵秩的本质。例4 求矩阵和矩阵的秩，其中解 在中，容易看出一个二阶子式 ，而的三阶子式只有一个 ，经计算可知，因此。 是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，即知的所有四阶子式全为0；而以3个非零行的非零元为对角元的三阶行列式是一个上三角形行列式，它显然不等于0，因此二、求矩阵秩的方法 从上可知，对于一般的矩阵，当行数与列数较高时，按定义求秩是很麻烦的。然而对于行阶梯形矩阵，它的秩就等于非零行的行数，一看便知毋须计算。因此，自然想到用初等变换把矩阵化为阶梯形，但矩阵经初等变换

40、后它的秩是否保持不变呢？下面的定理对此作出肯定的回答。定理1 若，则。即，矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。证明 先证明：若经一次行初等变换化为，则。为此设，且的某个阶子式。当或时，在 中总能找到与相对应的阶子式 ，由于 或 或，因此，从而。 当时，分三种情形讨论： （1）中不含第行；中同时含第行和第行；中含第行但不含第行。 （2）（3）对于（1）（2）两种情形，显然对应的阶子式，从而； 中与对情形（3），由若，则因中不含第行知中行的阶非零子式，从而根据情形；若，则。有不含第（1）知也有以上证明了若经一次初等行变换变为则。由于亦可经一次初等行变换，故也有。因此。，变为 经一次初等行变换矩阵的秩不变

41、，因而经有限次初等行变换矩阵的秩也不变。总之，矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩。若经初等列变换变为，经初等行变换，由上面证明知。而，因此。变为总之，若经有限次初等变换变为），则。（即【注】求矩阵秩的方法：行阶梯形，行阶梯形中非零行的行数，即是它的秩。例5 求矩阵的秩。解 因为 所以，秩(A) 。【注】 矩阵的秩有如下性质：（1）设A为n阶方阵，则A可逆当且仅当（即（2）（3）设A为矩阵，则 。 ，若可逆时，若可逆时，。（4）。（5）如果，则 ( A ) + ( B ) n。 （6）3.4 线性方程组的解一线性方程组的矩阵表示二用消元法求线性方程组的解用矩阵的初等行变换法求解线性方程组三三齐次与非

42、齐次线性方程组线性方程组的解向量三 本节将解决一般线性方程组的解的问题。所谓的一般线性方程组是指其中，n表示未知量个数，m表示方程个数，表示表示第i个方程的常第i个方程第j个未知量的系数，常数项。一般情况下，（）称为n元线性方程组。 【注】对于一般线性方程组，其方程个数与未知量个数是没有特别限制的。 14介绍了克莱姆法则，克莱姆法则提供了方程组求解的一种好方法，解的表达形式简洁明了。但它有局限性，它必须在“方程个数与未知量个数相同，并且系数行列式不等于零”的前提下才可使用，不仅如此，对高元（未知量个数较多）线性方程组来说，其计算量是大得难以想象的，从解决问题的方法来说，克莱姆法则又是一种不实用

43、的方法。这样一来，这就迫使我们要去寻求别的方法，以解决克莱姆法则不能解决的问题。 对于线性方程组（）来说，需要解决的有以下几个问题：（1）什么情况下，线性方程组（）有解？（解的存在性判别问题）（2）如果线性方程组（）有解，其解是否唯一？（解的唯一性问题）（3）如果线性方程组（）有解，并且解不唯一，那么，解与解之间有什么关系？（解的结构问题）一、线性方程组的矩阵表示 设；则称A为线性方程组（）的系数矩阵，并且线性方程组（）可表示成：（ I）令，则称为线性方程组（）的增广矩阵。例如，的系数矩阵为：，其矩阵表示式为： ，它的增广矩阵为：【注】 线性方程组的表示方法有三种：（1）初等表示法。如（）式。

44、（2）矩阵表示法。（3）向量表示法。其中，.二、用消元法求线性方程组的解 线性方程组的初等变换 下列三种变换 （1）交换线性方程组（）两个方程的位置； （2）线性方程组（）某个方程的两边同乘非零常数k； （3）线性方程组（）某个方程的两边同乘常数k后加到另一个方程上。称为线性方程组的初等变换。 利用线性方程组的初等变换求解线性方程组，可得线性方程组求解的基本方法消元法。我们先看如下几个基本实例。例1 讨论线性方程组的解是否存在。如果存在，求线性方程组的解。解 因为；得；得所以，原方程组有解，并且有唯一一组解，即例2 讨论线性方程组的解是否存在性，如果存在，求线性方程组的解。解 仿照例1，可得进

45、一步化为所以，原线性方程组有解，一般解为其中为自由未知量。这说明原线性方程组有无限多组解。多组解。形如（8）的方程组，称为阶梯形线性方程组。例3 讨论线性方程组的解是否存在性，如果存在，求线性方程组的解。解 仿照例1，可得由于式是一个矛盾式，因此，原线性方程组无解。用消元法求解线性方程组的理论依据是： 则（）与（）是同解线性方程组。定理1 如果线性方程组（）经线性方程组的初等变换变成（）所谓同解线性方程组是指两个线性方程组有完全相同的解。定理2 线性方程组（）可以经过一系列线性方程组的初等变换变成阶梯形线性方程组。 所谓阶梯形线性方程组是指形如 （）【注】 方程组（）是标准形的阶梯形线性方程组

46、，一般情况下，并没有这么整齐。例如，就是一个梯形线性方程组。定理3 对于阶梯形线性方程组（），。则（）是矛盾线性方程组，方程。则方程组（）有解，并当时方程组（）有唯一一组解，当时方程组（）（1）如果组（）无解；（2）如果有无穷多组解。在这种情况下，对（）用初等变换可把（）变成 这样方程组（）的解可表示成（其中，上述解称为方程组的一般解。为自由未知量。）（）【注】 用消元法求线性方程组的解的一般步骤是（）（时）（2）讨论的情况，如果，则线性方程组（）（3）有解时写出一般解的表达式。（1）（）（）；无解；如果，则线性方程组（）有解；三、用矩阵的初等行变换法求解线性方程组 如果仔细分析一下加减消元法

47、的运算过程，实际参果把系数之外的符号隐去，重写一遍演算过程的话，有：与运算的全都是系数，这样，我们在实际计算当中，完全可以隐去除系数以外的所有符号（这种方法又称分离系数法），由此产生了线性方程组求解的另一种方法矩阵的初等变换法。我们回过头再看一看例1、例2和例3的求解过程，如例1 =于是得到 为原方程组的唯一解。解例2 =解于是得到所以原方程组有解，并且有无穷多组解，其一般解为：（其中为自由未知量。）例3 =于是得到这是一个矛盾方程组，所以原线性方程组无解。 设有线性方程组（），是它的增广矩阵，A 是 矩阵A化为行最简上述的做法都是对线性方程组的增广矩阵实施行初等变换，化增广矩阵为阶梯形矩阵。

48、这种方法与前面相比，明显简便多了。更一般地，有经过一系列初等系数矩阵，b是常数项，当增广矩阵行变换化为行阶梯形矩阵，并且系数形矩阵时，即如果，则原线性方程组无解；，则原线性方程组有解，同时当时，解唯一，其解为：如果当时，有无穷多组解。其一般解为：上述讨论归纳如下：定理4 设有线性方程组（），是它的增广矩阵，( A ) = (并且线性方程组（）有唯一解的充分必要条件是：() = n；线性方程组（）有无穷多组解的充分必要) n。其中，n为未知量的个数。而当(时，线性方程组（）无解。的秩只有两种情况：或。 A是系数矩阵。线性方程组（）有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。即)=条件是：

49、(=)【注】例4 方程组在什么条件下有解？有解时求出方程组的解。解 由于其中 ，于是当时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即( A ) =() =3，时，方程组有解。又所以所以，原方程组的一般解为（为自由未知量）【注】当方程组的未知量的系数为数字时，解线性方程组 的一般方法是：用消元法对增广矩阵化简求解：行阶梯形（2）有解时写出一般解的表达式。（1）行最简形。见前面例子。 四、齐次与非齐次线性方程组，则（） 否则，线性方程组（）称为非齐次线性方程组。对于线性方程组（），如果称为齐次线性方程组，即为 （）如果（）与（）的系数完全一致时，（）就称为（）导出的齐次线性方程组。例如： 是 导出的齐次线性

50、方程组。对于齐次线性方程组（）来说，它没有解的存在性问题的讨论，也就是说，齐次线性方程组一定有解，因为就是（）的一组解。于是，齐次线性方程组（）解的讨论就只有在什么情况下有非零解的问题了。定理5 齐次线性方程组（）有非零解（即有无穷解）的充分必要条件是：系数矩阵的秩小于未知量的个数。即( A ) n推论1 当时，对齐次线性方程组（）一定有非零解（即有无穷解）。推论2 当时，齐次线性方程组（）有非零解。（即有无穷解）的充分必要条件是系数行列式定理6 若齐次线性方程组（）有非零解，则（）的系数矩阵A必能经过一系列初等行变换化为行最简形矩阵：其中 ()。于是齐次线性方程组（）的解为其中，为自由未知量

51、，自由未知量的个数等于未知量的个数减去系数矩阵的秩。例5 讨论齐次线性方程组是否有非零解，如果有，求出它的一般解。解 因为 秩，所以，原齐次线性方程组有非零解。于是原方程组的一般解为：和为自由未知量。其中五、线性方程组的解向量如果是线性方程组（）的解，那么矩阵称为线性方程组（）的解向量，在线性方程组（）称为线性方程组（）的解，解的讨论中，常常就把并简记为。由（ I）得：是线性方程组。（）的解当且仅当【注】几个重要结论：（1）如果，是齐次线性方程组（）仍然是齐次，（2）如果是线性方程组（）的解，是其导出的仍然是线性的解（向量），那么线性方程组（）的解。其中，是任意常数。齐次线性方程组（）的解，那

52、么，方程组（）的解。其中k为任意常数。再看例5，它的解是；（其中 和为自由未知量）。（我们可以用向量的形式表示。 ）取为非自由未知量，和为自由未知量。）式又可以表示成（其中 和为自由未知量）用向量的形式表示为（其中 和为自由未知量） 令，可以把解用向量的形式表示为（其中） 此即例5中的齐次线性方程组的通解。若把此通解，则写成是方程组的两个非零解，且是当自由未知数、分别取及时所得的非零解。例6 求解线性方程组解 可见，因此方程无解。例7 求解线性方程组解 的行阶梯形矩阵说明，知方程组为自由未知数，即得方程有解，故继续施以初等行变换化成行最简形矩阵。依据行最简形矩阵，取组的通解（可任意取值）令，并

53、把写成向量形式 即现在，把本例所求得的通解记作则是非齐次线性方程组的一个解，当自由都取0时，所得的解便是 未知数这个解。而是对应的齐次线性方程组的通解。 若令，通解还可变形为由上可知，线性方程组通解的形式不是惟一的。有关通解的问题我们还将在下一章中作进一步的讨论。例8 设含有参数的线性方程组问取何值时此方程组（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无限多个解？并在有无限多解时求出通解。解 由于系数矩阵是方阵，可知它有惟一解的充分必要。由条件是系数行列式 因此，当或时，方程组有惟一解。当时，增广矩阵知，故方程组无解。当时，增广矩阵可见，故方程组有无限多解，其解为【注】 解方程组的方法：（1）当方程组

54、的未知量的系数为数字时，用消元法对增广 矩阵化简求解。行阶梯形（2）当方程组的未知量的系数有未知参数时，分两种情况：（a）方程个数不等于未知数个数时，仍是消元法求解。（b）方程个数等于未知数个数时，用Cramer法则求解。参见本节例8。必要时可使用换列，使参数列放到后面，便于消元，参见例9。行最简形。见前面例子。例9 取何值时，非齐次线性方程组（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多个解？方法一 （先换行） （1）当，即时，原方程组有且，即时，且，即原方程组有无穷多解。惟一解。（2）当原方程组无解。（3）当时，方法二=，所以因为（1）当时，由Cramer法则知，原方程组有惟一解。（2）当时，

55、原方程组无解。（3）当时，原方程组有无穷多解。方法三（先换列）（下略）【注】 在换列后，中的第一列元素对应的是未知数的系数，而第三列元素对应的是未知数的系数。如果在有解的情况下求原方程的解时，写同解方程组时应注意第四章 向量组的线性相关性n维向量及其线性运算4.1向量组的线性相关性4.2向量组的秩4.3线性方程组解的结构4.4一4.1 n维向量及其线性相关性n维向量的概念 向量的线性运算 二一、 n维向量的概念 定义1 n个有次序的数所组成的数组称为n维向量，记作或n维行向量n维列向量第i个分量:ai维数:n向量的分类所有的分量均为实数的向量称为实向量；所有的分量均为复数的向量称为复向量。实向

56、量复向量向量的表示零向量向量的表示以 表示实数集；全体 维实向量的集合称为 维向量空间，记作 。在讨论行向量时， 表示 维行向量空间；在讨论列向量时， 表示 维列向量空间。以后讨论向量时，除特别声明外，均为行向量或均为列向量。约定：注：向量的应用（1）向量表示向量的应用（2）1994年全国大学生数学建模竞赛B题（锁具装箱）：某厂生产一批弹子锁具，每个锁具的钥匙有五个槽，每个槽的高度从1，2，3，4，5，6这6个数（单位略）中任取一数。试验表明在当前工艺条件下，当两个锁具的钥匙的五个槽的高度中有4个相同，另一个槽的高度差为1，则两个锁能够互开。如何装箱才能最大范围的实现“一把钥匙开一把锁”的目的

57、。有参赛同学将每一把锁的钥匙用一个5维向量表示，并成功地解决了这个问题。向量的应用（3）为了描述空间飞行器的飞行状态，表示它的重心在空间的位置需要3个参数，表示它的运动速度又需要3个参数，如果它在空间还旋转，那么表示它的旋转角速度又需要3个参数，这样9个参数组成了一个9维向量。重心速度旋转二、向量的线性运算定义2 设两个 维向量 ， ，若对于任一 ，均有 ，则称两个向量相等，记作 。二、向量的线性运算二、向量的线性运算二、向量的线性运算二、向量的线性运算二、向量的线性运算【注】（1） 向量的线性运算，是指向量的加法运算和数乘运算。而减法运算可以看成是数乘()运算和加法运算的合成，因此向量的线性

58、运算又可以指向量的加法、减法和数乘运算。（2）向量的加法和减法，都要求在两个相同维数的行或列向量之间进行，对于维数不相同的向量，不能定义向量的加减法运算。一4.2 向量组的线性相关性线性组合 线性相关与线性无关 二向量组等价的概念三一、线性组合 一、线性组合 例2一、线性组合 例3 零向量是任意向量的线性组合一、线性组合 一、线性组合 一、线性组合 一、线性组合 二、线性相关与线性无关1、线性相关的定义二、线性相关与线性无关1、线性相关的定义必要性充分性二、线性相关与线性无关2、线性相关的性质二、线性相关与线性无关2、线性相关的性质二、线性相关与线性无关2、线性相关的性质存在性唯一性二、线性相

59、关与线性无关2、线性相关的性质线性无关线性无关二、线性相关与线性无关2、线性相关的性质线性相关线性相关二、线性相关与线性无关3、判断线性关系的一般方法待定系数法二、线性相关与线性无关待定系数法应用举例三、向量组等价的概念AB线性表出A与B等价三、向量组等价的概念向量组之间的等价关系具有以下性质：一4.3 向量组的秩向量组的秩及其求法矩阵秩的另一定义二两个向量组等价的判断方法三一、向量组的秩及其求法一、向量组的秩及其求法A:极大无关组不唯一一、向量组的秩及其求法A:A的极大无关组（1）A的极大无关组（2）A的极大无关组（3）一、向量组的秩及其求法一、向量组的秩及其求法A:例3：求A的一个极大无关

60、组。为A的一个极大无关组一、向量组的秩及其求法一、向量组的秩及其求法课题练习：二、矩阵秩的另一定义列秩行秩二、矩阵秩的另一定义列秩行秩=二、矩阵秩的另一定义二、矩阵秩的另一定义课题练习：三、两个向量组等价的判断方法A=B=(A,B)=三、两个向量组等价的判断方法A=B=(A,B)=r(A)=r(A,B)=r(B)一4.4 线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构 非齐次线性方程组解的结构二一、齐次线性方程组解的结构 线性方程组：齐次线性方程组：导出记一、齐次线性方程组解的结构 齐次线性方程组的性质一、齐次线性方程组解的结构 一、齐次线性方程组解的结构 一、齐次线性方程组解的结构 一、齐次线性方