结构动力学基础2分析

1、结构动力学基础(new)2分析结构动力学基础(new)2分析27/27结构动力学基础(new)2分析结构动力学基础1.1无阻尼单自由度系统的自由振动在研究振动问题时，为了简化计算，常常把详尽的振动系统抽象为振动模型。结构发生运动时，确立其所有质量地址所需的独立几何参变量的数目，称为系统的自由度。单自由度系统的振动问题在工程上是常有的。比方，基础与地基之间的弹性支承（图1.11a），当只考虑铅直方向的振动时，就是单自由度系统的振动。又如，图1.11b所示的钢架，假设横梁为刚体，则在考虑横梁的水平振动时也属于单自由度系统的振动。这些单自由度系统，可以很方便地用图1.12所示的数学模型来描绘，它包含

2、以下单元：(a)(b)图1.11(a)(b)图1.12单自由度系统数学模型的两种表示（1）质量块m，用来表示结构的质量和惯性特征；（2）弹簧系数k，用来表示结构的弹性回复力和势能；（3）阻尼器c，用来表示结构的摩擦特征和能量消耗；（4）激励荷载Ft，用来表示作用于结构系统上的外力，力Ft平常可写成时间函1数的形式。利用牛顿运动第二定律Fma也许达朗贝尔原理（该原理表示，把惯性力作为附带的虚假力，可使系统处于动力均衡状态。）获取无阻尼单自由度系统的运动微分方程：myky0（1.1-1）令2k/m，运动微分方程式（1.1-1）成为：y2y0（1.1-2）这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，其通解为

3、：yc1costc2sint（1.1-3）上式中c1，c2为积分常数，由物体运动的初始条件t0时，yy0，vv0来确立：c1y0，c2v0/，将c1和c2带入式（1.1-3），获取：yy0costv0/sint（1.1-4）或等价写成：yCsint（1.1-5）此中：Cy02v0/2，tany0/v0（1.1-6）式（1.1-4）或（1.1-5）即为无阻尼单自由度系统的振动方程。下边简述自由振动的特征。1.振幅和初位相式（1.1-5）中C为自由振动的振幅；角（t）为相位，此中为初相位。由（1.）式可知，自由振动的振幅和初位相与物体运动的初步条件y0,v0、物体的质量m和1-6弹簧的刚度系数k相

4、关。2.周期和频率从式（1.1-4）或（1.1-5）可以看出，由该式所描绘的运动是简谐运动，所以也是周期性运动，即可以用同一频率的正弦或余弦函数来表示。物体振动一次所需的时间称为周期，以T表示：222（1.1-7）Tm/k周期T的常用单位是秒。每秒内物体振动的次数称为频率，以f表示，常用单位是赫兹（Hz）。频率与周期的关系为：1.8）f（11-T2.8）式得：2f，可见，是2秒内振动的次数，称为圆频率，它的单位由（11-是弧度秒（注：在一些书中常把圆频率的单位简写成为1秒）。从上述关系式可以看出，系统自由振动的周期、频率或圆频率与运动的初步条件无关，而只与系统的质量m和刚度系数k相关，即与系统

5、的惯性及弹性相关。因为质量m和刚度系数k是振动系统自己所固有的特征，所以自由振动的圆频率也称为固有频率。如欲降低振动系统的固有频率，可减小弹簧的刚度系数或加大物体的质量。1.2有阻尼单自由度系统的自由振动前面谈论的自由振动，其振幅一直不变，振动能连续进行而永不断止。但实质上这类状况是不存在的。因为系统振动时必然要遇到阻力的影响，从而使它的振幅逐渐衰减，以致停止振动。阻尼有各种不一样的形式，比方，粘滞阻尼（空气、水或油质等流体介质的阻尼），干摩擦（物体于其余固体之间的摩擦）和资料的内摩擦等。这里我们只谈论粘滞阻尼，因为在好多状况下，粘滞阻尼的假设是真实的，但是，粘滞阻尼的假设却常常忽视了系统的实

6、际耗散特征。这类方法之所以获取这样广泛应用，主若是因为它可以获取一种相对简单的数学分析方法。假如物体在流质介质中运动的速度不大，阻尼力近似地与速度的一次方成正比，这类阻尼称为线性阻尼。假设把一结构系统简化为如图1.21所示的拥有粘滞阻尼的简单振子，图中m和k分别为振子的质量和弹簧常数，c是粘滞阻尼系数。运用牛顿定律或达朗贝尔原理获取有阻尼单自由度系统的运动微分方程：mycyky0（1.2-1）3粘滞阻尼振子(b)间隔体简图图1.21令2k，2nc，则运动微分方程式（1.2-1）成为：mmy2ny2y0（1.2-2）这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，设其解yert代入上式可得特色方程：r22n

7、r20（1.2-3）该二次方程的两个根是：rnn221r2nn22（1.2-4）于是方程（1.2-2）的通解为：yC1er1tC2er2t（1.2-5）跟着n、值的不一样，r1、r2也拥有不一样的值，因此方程（1.2-2）也有不一样的解，表示着不一样的运动，下边分别谈论。1n，临界阻尼系统这时，特色方程的根为两个相等的实根，r1r2n，方程（1.2-2）的通解为：yentC1C2t（1.2-6）4由上式可知，这类运动是非周期性运动，这时阻尼的大小正好是系统在衰减过程中振动与不振动的分界线，故称为临界阻尼系统。在该系统下，阻尼系数c称为临界阻尼系数，以ccr表示，即：ccr2nm2m（1.2-7

8、）在实质问题中，常常不直接使用阻尼系数c，而是用阻尼系数c和临界阻尼系数ccr的比值作为阻尼的基本参数，称为阻尼比。cc（1.2-8）ccr2m2n，过阻尼系统在过阻尼系统中，其阻尼系数大于临界阻尼系数（cccr），这时特色方程有两个不等的实根，从而可以直接用式（1.2-5）给出振动方程的解。对于过阻尼系统或临界阻尼系统，产生的运动是不振荡的，其振幅随时间按指数衰减到零。图1.22描绘了拥有临界阻尼的简单振子的反应。过阻尼系统的反应与图1.22所示临界阻尼系统的运动相近似，但是跟着阻尼的增添，恢复到均衡地址将需要更多的时间。图1.22临界阻尼的自由振动3n，小阻尼系统小阻尼系统也称为亚阻尼系统

9、，其阻尼系数小于临界阻尼值（cccr），这时方程（1.2-2）的通解为：y(t)Cetcos(Dt)（1.2-9）式中：2(v0y0)212，tanv0y0Cy02，DDy0D5图1.23给出了一个拥有初始位移y0，但初始速度为零（v00）的小阻尼系统的反应曲线，该运动是振动的，在运动过程中，振幅不是常数，而是随循环次数挨次递减。尽管这样，振动还是发生在相等的时间间隔内，该时间间隔称为振动的阻尼周期TD。22TD12（1.2-10）D图1.23小阻尼系统的自由振动反应阻尼对自由振动的影响，主要表此刻以下两个方面：（1）振动周期增大，但是在n较小的状况下，阻尼对周期的影响很小，在小阻尼状况下，可

10、近似地以为有阻尼自由振动的周期与无阻尼自由振动的周期相等。（2）振幅按几何级数衰减。设相邻两次振动的振幅分别为Ci和Ci1，由式（1.2-9）可知，这两个相邻振幅的比值为：CienT（1.2-11）Ci1用实验方法确立系统阻尼系数的一种的确可行的方法是让系统作自由振动可获取振动记录如图1.24所示，并测出运动振幅的衰减率。这样衰减可以很方便地用对数衰减率来表示，它等于在自由振动中任意两个相邻最大振幅y1和y2之比取自然对数，即：lny1（1.2-12）y2实质应用中，常取：6lny1TD2（1.2-13）y212图1.24峰值位移和切点位移曲线所以用实验方法确立了系统自由振动两相邻的峰值后，即

11、可用式（1.2-13）计算出阻尼比。1.3简谐荷载作用下单自由度系统的反应本节，我们将研究理想化为单自由度系统的结构在简谐激励作用下的运动，即结构所受的力或位移幅值可以用正弦或余弦的时间函数来表示的运动。这类激励形式，在机械振动及结构动力学中也将产生一种特别重要的运动。因为在旋转机械的转动件中不行防范的质量偏爱将产生简谐激励使结构常常遇到转动件的动力作用。其余，即使在激励不是简谐函数的状况下，应用傅立叶方法也可以获取结构的反应，即对外面激励简谐分量的各个反应的叠加。无阻尼简谐激励假设作用在图1.3-1中的简单振子上的外力Ft是等于F0sint的简谐力，此中F0为峰值，为力的频率。该系统的运动微

12、分方程为：y2yF0sint（1.3-1）7图1.3-1简谐激励无阻尼振子及此间隔体简图式（1.3-1）是一个二阶常系数非齐次微分方程，其通解为：yAsintF0/msint（1.3-2）22上式表示，在恢复力和搅乱力的作用下，系统的振动由两部分构成，第一部分为自由振动，第二部分为受迫振动。因为阻尼的存在，自由振动将迅速衰减，所以，下边只谈论受迫振动部分。由式（1.3-2）的第二部分可知，在简谐搅乱力作用下的受迫振动是简谐振动，并且与初步条件没关，受迫振动的圆频率与搅乱力的圆频率相等。假如以表示受迫振动的振幅与静变形的比值（这里静变形等于F0），称为动力放大系数，则有：k11（1.3-3）21

13、21/式中/，称为频率比，表示搅乱力的圆频率与受迫振动的圆频率之比。分别以和为纵向及横向坐标，将式（1.3-3）绘成振幅频率特征曲线，如图1.32所示。图1.32振幅频率特征曲线8从图1.32可以看出：1当0（即搅乱力圆频率等于零）时，1；当01时，动力放大系数随频率比的增大而增大，该地域为低频区。2当1时，这说明当搅乱力的圆频率凑近系统的固有频率时，在无阻尼状况下，振幅将无穷地增大，这类现象称为共振。工程中将0.751.25的地域称为共振区。当系统发生共振时，因为阻尼的影响，尽管振幅不会无穷增大，但会达到相当大的数值，以致结构物受损。所以，如何防范或除掉共振，是工程上的一个重要课题。31时，

14、动力放大系数随频率比的增大而减小，直到静止，该地域称为高频区。在弹簧质量系统中，假如因为外界的搅乱，使弹簧的支承点发生简谐运动，那么，将相同引起受迫振动。比方，由地震荷载引起的结构物的振动，由路面不平引起的车辆的振动等，都属于这一类状况。有阻尼简谐激励考虑图图1.33中有粘滞阻尼影响下单自由度振动系统，其运动微分方程为：mycykyF0sint（1-3.4）图1.33简谐激励有阻尼振子这是一个二阶常系数非齐次微分方程，其通解为：yAentsin2n2tBsint（1-3.5）此中：振幅：BF0/m2224n2292n相位差：tg22A、为积分常数，由运动的初始条件决定。由（1-3.5）式可知，

15、在弹性力阻尼力和周期搅乱力的作用下，系统的运动由两个部分构成：一部分是自由衰减振动，这一部分运动将很快消逝；另一部分是受迫振动，在干扰力的作用下，这一部分运动将长远地进行，所以也称为稳态振动。下边将谈论有阻尼受迫振动的相关性质。一阻尼对受迫振动振幅的影响假如振幅超出了同意的限度，就会在构件中产生过大的交变应力，使构件发生疲惫破坏，所以在受迫振动中，振幅的大小对工程问题是十分重要的。用D表示有阻尼时的动力放大系数（即有阻尼受迫振动的振幅与静变形的比值），则有：DB1B0122422（1-3.6）此中：BF0F0/m；cnk2；ccr以频率比为横坐标，动力放大系数D为纵坐标，将式（1-3.6）绘成

16、不一样阻尼状况下的幅频特征曲线，如图1.34所示。图1.34不一样阻尼状况下的幅频特征曲线10图1.34与无阻尼受迫振动的幅频特征曲线图1.32对比较，有以下特色：1在共振区，振幅的增大特别明显，但不是无穷制地扩大而是有限值。从图中可以看出，动力放大系数D的最大值其实不在1的纵轴上。为求D的最大值，对式（1-3.6）进行极值运算，即由dD0，求得共振时的和D分别为：d122（1-3.7）DDmax1（1-3.8）212因为大多数工程问题都属于小阻尼状况，阻尼比很小，可以将2略去不计，于是可获取最大振幅时，1，Dmax1。即可以近似地把共振时的动力放大系数作为系统2的最大放大系数。2图1.34反

17、应曲线的分析表示，这些曲线的形状由系统阻尼的大小所决定，特别是频带宽度（即相应于同一反应幅值的两个频率之差）与系统的阻尼亲近相关，所以，在工程实质中，我们常用带宽法（半功率法）计算阻尼。图1.35给出一中等阻尼结构由实1验方法获取的一条典型幅频特征曲线，在阻尼计算中，可以方便地量出图中倍峰值处2的频带宽度，相应于该频带宽度上的频率f1和f2叫做半功率点。该频带宽度的频率值，可1以经过系统的反应幅值等于共振幅值的倍关系来确立。经过运算获取：阻尼比可以近2似地用两个半功率频率比差值的一半来表示，即：1r2r1121f2f1（1-3.9）22f2f111图1.35实验幅频特征曲线二阻尼对相位差的影响

18、将相位差写成：arctg22（1-3.10）1分别以和为纵横坐标，依据式（1-3.10）可画出在不一样阻尼状况下的相位差频率特征曲线，如图1.36所示。图1.36不一样阻尼状况下的相位差频特征曲线12从图1.36中可以看出：当远小于1时，0，这时受迫振动与搅乱力可近似以为是同相的，跟着的增添，相位差也随之增大。在共振区周边，的变化最为激烈，当发生共振时，1，它与阻尼的大小2没关。这时搅乱力的相位比受迫振动的相位超前，也许说搅乱力与振动的速度同相，因2此出现了很大的振幅。经过共振区后，跟着的增添，也增添，并趋势于。这时，受迫振动的位移与干扰力反向。1.4任意荷载作用下单自由度系统的反应因为实质结

19、构所遇到的荷载常常其实不是简谐荷载，本节研究任意荷载作用下单自由度系统的反应，可以看到，对于能用分析方法计算的一些简单荷载函数，其反应可以经过直接积分来求得，但是，对于一般荷载状况，借助于数值积分方法是必需的。一冲击荷载和杜哈梅积分冲击荷载是在一段很短的时间内作用的荷载，这类荷载相应的冲量等于力与其连续时间的乘积。如图1.41所示，在时间为时，力F()在时间间隔d内的冲量可以用暗影部分的面积表示，其值为F()d。依据动量定理mdvF()d获取速度增量为：dvF()d（1-4.1）m图1.41冲击荷载的一般荷载函数因为瞬时冲量作用的时间极短，可以以为该系统在瞬时冲量作用下的振动是以y(0)0，y

20、dv为初始条件的自由振动，将这类速度变化引入无阻尼单自由度系统的位13移响应方程，作为时间时的初始速度v0，这样在稍后的某一时刻t时产生的位移为：dy(t)F()dsin(t)（1-4.2）m所以，在荷载F()的连续作用下，在时间t时刻所产生的总位移可以用微分位移dy(t)从时刻t0到时刻t进行积分来表示：y(t)1tF()sin(t)d（1-4.3）m0式（1-4.3）表示作用于无阻尼振子上的激励荷载F()所产生总位移，它包含相应于零初始条件y00和v00的运动的稳态和瞬态两部分。为了计入v00时的初始位移y0和初始速度v0的成效，只需要把由初始条件所获取的解（）式与（1-4.3）相加即可，

21、所以，任意荷载作用下的无阻尼单自由度系统的总位移为：y(t)v0sint1t)sin(t)dy0costm0F(（1-4.4）对于一些简单的外力函数如恒力、矩形荷载、三角形荷载等可以经过式（1-4.4）获取其显式积分，当动力荷载较复杂时，有时不行能求出分析解，在实质运用中，对于所给定的时程0t，常常使用数值积分法。二无阻尼系统杜哈梅积分的数值计算应用三角函数关系和零初始条件，将式（1-4.4）的杜哈梅积分写成以下形式：y(t)1A(t)sintB(t)cost（1-4.5）m式中：A(t)tF()cosd0B(t)tF()sind（1-4.6）0因而可知，动力反应的计算归纳为计算积分A(t)和

22、B(t)，可以使用任何数值积分方法来完成其计算。为了得出动力反应的时程曲线，一个基本思想是把所给定的时程划分为许多区间（即时间间隔），而后计算对应于所有区间端点的动力反应。明显，区间的划分越细，计算结果越精确。平常要使区间的长度小于系统固有周期的110。常用于杜哈梅积14分的数值计算方法是梯形法和辛普森法。对于一般函数I()，设：A(t)tI()d（1-4.7）0用梯形法所进行的基本运算是：A(t)1(I02I12I22In12In)（1-4.8）2用辛普森法所进行的基本运算是：A(t)1(I04I12I24In12In)（1-4.9）3对于辛普森法，nt一定是偶数。因为梯形法基于用函数I()

23、取代分段线性函数，而辛普森法规基于用函数I()取代分段抛物线函数，所以其解都是近似的。计算杜哈梅积分的另一种方法是基于假设加载函数由一给定的分段线性连续函数来获取积分的分析解。该方法除了原有的舍入偏差以外，不会造成积分的数值近似。图1.42分段线性荷载函数假设动力函数F()可以用图1.42所示的分段线性函数来近似，为了获取一条完好的反应时程曲线，将式（1-4.6）以增量的形式来表示：A(titiF()cosd)A(ti1)ti115B(ti)B(ti1)tiF()sind（1-4.10）ti1()和B(ti)代表ti时的积分值，假设动力函数F()可以用分段线性函数迫近，式中Ati即可写成：F(

24、)F(ti1)Fi(ti1)ti1ti（1-4.11）ti式中：FiF(ti)F(ti1)，tititi1将式（1-4.11）代入式（1-4.10）积分得：A(ti)A(ti1)1F(ti1)ti1Fisintisinti1tiFicosticosti1tisintiti1sinti12tiB(ti)B(ti1)1F(ti1)ti1Ficosticosti1tiFisintisinti1ticostiti1costi1（1-4.12）2ti式（1-4.12）即为（1-4.6）在任意时刻tti时计算积分的递推公式。三有阻尼系统杜哈梅积分的数值计算由杜哈梅积分所表示的有阻尼系统的反应，将产生初始速

25、度dvF()d的冲量mF()d代入相应的有阻尼自由振动方程，即可以获适合时间为t时的微分位移：dy(t)1etF()dsinDt（1-4.13）mD对整个荷载区间上的这些微分项乞降获取杜哈梅积分所表示的有阻尼系统的反应：1ttsinDtd（1-4.14）y(t)F()em0D在数值计算时，可以按无阻尼系统的状况进行，请自己推导。161.5傅立叶变换和频域反应一般说来，可以把任一周期函数F(t)睁开成傅立叶级数形式：F(t)a0n1ancosntbnsinnt（1-5.1）对于给定函数F(t)的系数a0an和bn可由下式确立：a01t1TTt1F(t)dtan2t1TtdtTt1F(t)cosn

26、bn2t1TtdtTt1F(t)sinn（1-5.2）一用傅立叶级数表示的荷载作用下的反应无阻尼单自由度系统用傅立叶级数表示的周期力的总反应，由该级数各项反应的叠加a0构成，包含恒力a0的反应（稳态反应），即：y(t)a0n1112ancosntbnsinnt（1-5.3）krkkn式中：rnn，k2，mT有阻尼单自由度系统用傅立叶级数表示的周期力的总反应，也由该级数各项反应的叠加构成，可表示为：2y(t)a01an2rn2)2bn(1rn2)sinntkkn1(1rn(2rn)a(1r2)b2rnnnncosnt（1-5.4）(1r2)2(2r)2nnc式中：为阻尼比ccr17二分段线性函数

27、的傅立叶系数如前面杜哈梅积分所述，可以用图1.42所示的分段线性函数来表示外力函数，这样就可以把傅立叶系数的计算式（1-5.2）用外力函数的各分段积分和来表示：a01NtiF(t)dtTi1ti1Nan2tiF(t)cosntdtTti1i1bn2Nti（1-5.5）F(t)sinntdtTti1i1式中N是外力函数的分段数，任意时间间隔ti-1tti的外力函数可由式（1-4.11）表示。将式（1-4.11）代入式（1-5.5），积分获取分段线性函数的傅立叶系数为：a01Nti(FiFi1)/2anT2i1N1F(ti1)ti1Fi(sinntisinnti1)Ti1ntiFi(cosntic

28、osnti1)n(tisinntiti1sinnti1)n22tibn2N1F(t)tFi(cosnti1cosnt)i1i1iTi1ntiFi(sinntisinnti1)n(ticosntiti1cosnti1)（1-5.6）n22ti三失散傅立叶变换将傅立叶系数拓展到非周期函数所获取的积分称为傅立叶变换。级数F(tj)，（j=0,1,2N-1）的傅立叶变换常常经过欧拉公式用指数形式来表示：18F(t)cneint（1-5.7）n式中：cn1N12i(nj/N)NjF(tj)en0,1,2.(.N1)（1-5.8）0它的失散傅立叶逆变换为：N12i(nj/N)0,1,2.(.N1)（）F(

29、tj)cnej1-5.9n0用有限和的形式，给出了任意失散函数，就可以获取受荷载函数的简谐重量激励的简单振子的反应。在有阻尼简谐激励的运动微分方程中，引入单位指数外力函数Eneint便获取：mycykyeint（1-5.10）其稳态解为：y(t)H(int（1-5.11）n)e把式（1-5.11）代入式（1-5.10），便获取函数H(n)，称为复频反应函数，其表达式为：H(n)1（1-5.12）k(1rn22irn)式中：rnn为频率比，cc为阻尼比。ccr2km所以，由式（）给定的拥有幅值Cn的简谐重量在tjjt时的反应yn(tj)可表示为：1-5.92i(nj/N)yn(tj)Cne（1-

30、5.13）rn22irn)k(1于是，由N个简谐重量获取的总反应为：19N12i(nj/N)y(tj)cne（1-5.14）0k(1rn2n2irn)1.6反应谱反应谱是单自由度系统在特定荷载作用下的最大反应曲线（最大位移最大速度和最大加速度等）。反应谱的横坐标是系统的自振频率（或周期），纵坐标是最大反应。考虑图1.61所示无阻尼振子受半周期正弦荷载的激励作用，假设系统初始处于静止状态，正弦波的连续时间为td，其运动微分方程为：mykyF(t)（1-6.1）此中：F(t)F0sint(0ttd)0(ttd)td图1.61荷载F(t)作用下的无阻尼简单振子该运动微分方程的解可以用直接积分法求得，

31、它分为两部份：y1sintTsin2t(0ttd)ystT)2td2tdT1(2tdyT/tdcostdsin2(ttd)(ttd)（1-6.2）y(T/2td)21TT2Tst20式中：ystF0；2k；tdT。由式（）可以看出，按y表示的反应是脉冲连续时间td与系统自振周期比（td）1-6.2ystT和时刻t与周期T的比值（t）的函数。所以对于参数td的任一给定值，由式（1-6.2）可TT获取其最大反应，图1.62即为td函数的最大反应值，它也就是半正弦荷载时程的反应T谱。图1.62连续时间为td的半正弦荷载的反应谱y1.76，位于td0.8处。由从图1.62可以看出，反应谱的最大值（放大

32、系数）ystT于输入荷载简单，这时有可能获取封闭解，并画出按无量纲比值表示的反应谱，该谱曲线对任何用半正弦波描绘的脉冲荷载都是有效的。但是，对于随机输入荷载，不可以希望获取一般的反应谱曲线，平常反应谱曲线应针对特别激励给出。一、支座受激振的反应谱结构动力学中的一个重要问题就是结构的基础或支座遇到激振时系统的反应分析。如图1.63所示有阻尼振子的结构在基础输入一激振力，激振力由图1.64表示的加速度函数来给定。21图1.63基础激振的有阻尼简单振子图1.64基础激振的加速度函数由图1.63相应的间隔体图中的合力为零获取其运动微分方程为：myc(yys)k(yys)0（1-6.3）式（1-6.3）

33、是用绝对运动表示的有阻尼振子的运动微分方程，更适用的是由它获取的质点对于支座的相对运动表达式，相对位移uyys，代入（1-6.3）式获取：u2u2uys(t)（1-6.4）k；c2km。式中：；ccrmccr微分方程（1-6.4）的解可以用前面介绍的单自由度系统的求解方法获取，比方用杜哈梅积分得出：1tys()e(t)sin(t)d（1-6.5）u(t)0二、三联反应谱使用对数可以把最大加速度相对位移和相对拟速度的最大反应画在同一张纸上，即把加速度谱Sa、位移谱SD和速度谱Sv画在一起，称为三联反应谱。这里拟速度其实不是精确的实质速度，但它们之间联系亲近，是真实速度的一种较方便的代换。对于支座

34、受激振的无阻尼系统的运动微分方程，用相对位移表示为：myku0（1-6.6）从上式中可见，绝对加速度总是与相对位移成正比的，特别是在最大值时，加速度谱与位移谱成正比，即：Sa2SD（1-6.7）22式中：k，是系统的自振频率；Saymax；SDumax。m为了方便起见，定义拟速度的最大值为速度谱，即：SvSDSa（1-6.8）弹性系统单自由度动力反应谱由输入运动的数字来计算。单自由度受支座运动的三联反应谱典型例子如图1.66。该反应谱是输入1940年埃尔森特罗地震地面加速度记录的运动反应，这个地震加速度记录广泛应用于地震工程研究之中，该地震加速度记录图形如图1.65所示。在1971年加州的圣费

35、尔南多地震以前，埃尔森特罗地震记录是已有的最长和最激烈的地震记录之一。图1.66是将式（1-6.7）和式（1-6.8）用自振频率f来表示2f），并对各项取对数而获取的，所以其纵横坐标均采纳对数坐标，并经过位移横坐标倾斜1350，加速度横坐标倾斜450而画出以对角线为横轴的坐标，这样就可以从一张图上同时读出加速度速度和位移谱值。图1.651940年5月6日Elecentro地震南北重量地面加速度记录图1.661940年Elecentro地震弹性系统的反应谱23三非线性系统的反应谱一般来说，反应谱来自不一样阻尼单自由度系统特别激振计算的反应，并用短时间间隔数值积分来计算系统的反应。对于非线性系统，

36、系统的反应采纳逐渐积分法计算，其基本思路是：将振动微分方程用增量形式表示，为计算方便，平常将所要计算的时程划分成许多相等的时间间隔（即步长）t，在每一个连续的时间增量上计算反应值。在每一个时间间分开始时已经建立了动力均衡条件，所以对时间增量t的反应是基于刚度系数k(y)和阻尼系数c(y)在t上保持不变的条件下近似计算出来的。在分析中，经过在每一个时间增量的起点重新计算这些系数来考虑它们的非线性特征。而反应值是用上一时间间隔结束时的位移和速度作为下一时间步长的初始条件而计算获取。因而可知，对于每一个时间间隔，是在其开始时来计算系数k(y)和c(y)的，并假设直到下一个时间步长，它们都保持不变，所以系统的非线性特征近似于挨次连续变化的线性系统，常用线性加速度法和威尔逊法来进行计算，下边简单介绍线性加速度法。采纳时间间隔t，将地震振动方程以增量形式表示：mu(t)cu(t)ku(t)mug(t)（1-6.9）式中：u(t)u(tt)u(t)u(t)u(tt