初三概率知识点归纳总结及题型总结归纳

1、概率学问点总结及题型汇总 一,确定大事：包括 必定大事 和不行能大事 1,在确定条件下必定要发生的大事,叫做必定大事；必定大事是指确定能发生的大事, 或者说发生的可能性是 100%；如：从一包红球中,任凭取出一个球, 确定是红球； 2,在确定条件下不行能发生的大事,叫做不行能大事；不行能大事是指确定不能发生 的大事,或者说发生的可能性是 0,如：太阳从西边出来；这是不行能大事； 3,必定大事的概率为 1,不行能大事的概率为 0二,随机大事 在确定条件下可能发生也可能不发生的大事,叫做随机大事； 一般地,随机大事发生的可能性是有大小的,不同的随机大事发生的可能性的大小有可能 不同 一个随机大事发

2、生的可能性的大小用概率来表示； 三,例题：指出以下大事中,哪些是必定大事,哪些是随机大事,哪些是不行能大事, 哪些是确定大事？ 一个玻璃杯从一座高楼的第 10 层楼落到水泥地面上会摔破； 明天太阳从西方升起； 掷一枚硬币,正面朝上； 某人买彩票,连续两次中奖； 今日天气不好,飞机会晚些到达 解：必定大事是； 随机大事是； 不行能大事是 确定大事是 三,概率 1,一般地,对于一个随机大事 A ,把刻画其发生可能性大小的数值,称为随机大事 A 发生的概率,记为 PA （1）一个大事在多次试验中发生的可能性,反映这个可能性大小的数值叫做这个大事 发生的概率； （2）概率指的是大事发生的可能性大小的的

3、一个数值； 2,概率的求法：一般地,假如在一次试验中,有 n 种可能的结果,并且它们发生的可 能性都相等,大事 A 包含其中的 m 种结果,那么大事 A 发生的概率为 PA = m n（1）一般地,全部情形的总概率之和为 多个 . 1； （2）在一次试验中 ,可能显现的结果有限 （3）在一次试验中 ,各种结果发生的可能性相等 . （4）概率从数量上刻画了一个随机大事发生的可能性的大小,大事发生的可能性越大, 就它的概率越接近 1；反之,大事发生的可能性越小,就它的概率越接近 0； （5）一个大事的概率取值： 0P（A ） 1 当这个大事为必定大事时,必定大事的概率为 1,即 P（必定大事） 1

4、 不行能大事的概率为 0,即 P（不行能大事） 0 随机大事的概率：假如 A 为随机大事,就 0 P（A） 1 第 1 页,共 25 页（6）可能性与概率的关系 大事发生的可能性越大,它的概率越接近于 接近 0 3,求概率的步骤： 1列举出一次试验中的全部结果 n 个； 2找出其中大事 A 发生的结果 m 个； 1,大事发生的可能性越小,就它的概率越 3运用公式求大事 A 的概率： PA = m n5,在求概率时,确定要是发生的可能性是相等的,即等可能性大事 等可能性大事的两种特点： （1）显现的结果有限多个 ; （ 2）各结果发生的可能性相等； 例 1：图 1 指针在转动过程中,转到各区域的

5、可能性相等,图 3 中的第一个图, 指针 在转动过程中,转到各区域的可能性不相等, 由上图可知,在求概率时,确定是显现的可能性相等,反映到图上来说,确定是等分 的； 例 2,以下大事哪些是等可能性大事？哪些不是？ （1）抛掷一枚图钉,钉尖朝上或钉帽朝上或横卧；不是 （2）某运动员射击一次中靶心或不中靶心；不是 第 2 页,共 25 页（3）从分别写有 1,3,5,7 中的一个数的四张卡片中任抽一张结果是 1,或 3 或 5 或 7；是 6,求概率的通用方法： 在一次试验中,假如可能显现的结果只有有限个,且各种结果显现的可能性大小相等, 那么我们可以通过列举试验结果的方法,求出随机大事发生的概率

6、,这种求概率的方法叫 列举法 列举法包括枚举法,列表法,树状图法 （1）枚举法（列举法）：通常在一次大事中可能发生的结果比较少时,我们可以把所 有可能产生的结果全部列举出来,并且各种结果显现的可能性相等时使用；等可能性大事 的概率可以用列举法而求得；但是我们可以通过用列表法和树形图法来帮忙枚举法； （2）列表法：当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）,并且可能显现的结果 数目较多时,为不重不漏地列出全部可能的结果时使用； （3）列树形图法：当一个试验要涉及 3 个或更多的因素（例如从 3 个口袋中取球）时, 列表就不便利了,为不重不漏地列出全部可能的结果时使用； 四,频率与概率 1,频数：

7、在多次试验中,某个大事显现的次数叫频数 2,频率：某个大事显现的次数与试验总次数的比,叫做这个大事显现的频率 3,一般地,在 大量重复试验中 ,假如大事 A 发生的频率 m会稳固在某个常数 p 附 n近 ,那么,这个常数 p 就叫作大事 A 的概率 ,记为 P（A）=P ； 五,概率公式中 m, n 之间的数量关系, P（A ）的取值范畴； 在概率公式 0 mn, PA = m 中 m,n 取何值, m,n 之间的数量关系, P（A ）的取值范畴； nm,n 为自然数 1, 0PA 1. 0 m n当 m=n 时,A 为必定大事,概率 PA=1, 当 m=0 时,A 为不行能大事,概率 PA=

8、0. 0PA 1 六,几何概率 1,假如每个大事发生的概率只与构成该大事区域的长度（面积或体积）成比例,就称 这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型； 第 3 页,共 25 页（1）几何概型的特点 : 等. 1试验中全部可能显现的结果 基本事件 有无限多个 . 2每个基本事件显现的可能性相 （2）在几何概型中 ,大事 A 的概率的运算公式如下 : 七,例题汇总 （一） 确定三大事 例 1 以下大事中,哪些是不行能大事？哪些是必定大事？哪些是不确定大事？哪些 是确定大事？,分析其发生概率的大小 （1）抛掷一枚均匀的骰子, 6 点朝上； （2）367 人中有 2 人的产生日期相同； （3）1

9、+3 2； （4）太阳从西边升起 解析：依据大事发生的可能性大小判定相应大事的类型即可（ 1）抛掷一枚均匀的骰 子, 1,2,3,4,5, 6 点都有可能朝上,故 6 点不愿定朝上；（ 2）一年有 365（或 366） 天,故 367 人中必定有 2 人的产生日期相同；（ 边升起由以上分析知： 3）1+3 确定大于 2；（ 4）太阳不行能从西 （1）是不确定大事, （ 2）（ 3）是必定大事, （4）是不行能大事 （2）（ 3）（ 4）是确定大事 发生概率的大小判定,第一需要懂得必定大事,不行能大事,不确定大事的意义必 然大事是指确定会发生的大事,发生的概率是 1；不行能大事是指不行能发生的大

10、事,发生 的概率是 0；不确定大事是指可能发生也可能不发生的大事,发生的概率介于 0 和 1 之间 例 2,以下大事属于必定大事的是（ ） A.打开电视,正在播放新闻 C.实数 a0,就 2a0 B.我们班的同学将会有人成为航天员 D.新疆的冬天不下雪 解析： A 是随机大事,由于可能是播新闻也可能是其它电视节目； B 为随机大事,一 PA 个班有几十个同学当然事有事可A事员； 下雪应选事事 事事事事事事事事 能事事 成事为事航事 天事 D是不行能 事事事事事事 面件积,或因体为积（面积或体积） 新疆气温低,每年都会 C 例 3,（福建龙岩）以下大事：在足球赛中,弱队战胜强队；抛掷一枚硬币,落

11、地 后正面朝上；任取两个正整数,其和大于 1；长分别为 3,5,9 厘米的三条线段能围成 一个三角形其中确定大事的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4B 解析：是确定大事 （二）概率意义的懂得 例 1, 某商场举办购物有奖活动,在商场购满价值 50 元的商品可抽奖一次,丽丽在商 场购物共花费 120 元,按规定抽了两张奖券,结果其中一张中了奖,能不能说商场的抽奖活动 中奖率为 50%？为什么？ 第 4 页,共 25 页解析： 由于中奖是不确定大事,而运算中奖率应当是以中奖的奖券数除以奖券的总数,但 这些数据在此题中没有给出,所以不能运算出这次抽奖活动的中奖率,所以不能说商场的抽奖 活动

12、中奖率为 50%. 点评：概率是在做大量重复试验时,随着试验次数的增加,一个大事显现的频率,总在一 个固定常数的邻近摇摆,显示确定的稳固性,它是大量试验的结论随机大事每次发生的结果 是不行以预见的,但每次发生的概率是不变的 例 2,以下说法正确选项 （ ） A. 某市 “明天降雨的概率是 75 ”,表示明天有 75的时间会降雨 B.随机抛掷一枚均匀的硬币,落地后正面确定朝上 1 C.在一次抽奖活动中, “中奖的概率是 100”表示抽奖 l00次就确定会中奖 D.在平面内,平行四边形的两条对角线确定相交 解析：明天降雨的概率是 75是说明明天有 75%的可能性会降雨,而不是说明天有 75%的 时

13、间在下雨；抛一枚硬币正面朝上的概率是 ,说的是在做大量的抛一枚硬币的试验中,有一 半的可能性显现正面朝上,而随机抛一格硬币落地后正面不愿定朝上；抽奖活动中,中奖的概 率为 1,指的是每抽奖一次都有 100 1 的可能性中奖；故 A,B,C 都错,因而选 D. 100 （三） 利用简洁枚举法求概率 例 1 某小商店开展购物摸奖活动,声明：购物时每消费 2 元可获得一次摸奖机会,每次摸 奖时,购物者从标有数字 1, 2, 3, 4, 5 的 5 个小球（小球之间只有号码不同,其他均相同） 中摸出一球,如号码是 2 就中奖,奖品为一张精致图片 （1）摸奖一次得到一张精致图片的概率是多少？ （2）一次

14、,小聪购买了 10 元钱的物品,前 4 次摸奖都没有摸中,他想： “第 5次摸奖我一 定能摸中 ”,你同意他的想法吗？说说你的想法 解析： （1）每次摸奖时,有 5 种情形,只有摸到号码是 2 的球才中奖,于是得到一张精致 1 图片的概率是 P=5； 1（2）不同意,由于小聪第 5 次得到一张精致图片的概率仍是 5,所以他第 5 次不愿定中 奖 第 5 页,共 25 页点评：此题考查概率的求法：假如一个试验有 mn 种等可能的结果,大事 A 包含其中的 m 种 结果,那么大事 A 的概率 P（A ）= n,解题时留意对概率意义的懂得 . 例 2,任凭地抛一粒豆子,恰好落在图中的方格中（每个方格

15、除颜色外完全一样）,那么 这粒豆子停在黑色方格中的概率是 解析： 1,这粒豆子落在每一个方格中的可能性是一样的,因此这粒豆子停在方格中的可能 性共有 12 种,黑色方格的可能性有四种,所以黑色方格中的概率等于 411, 12 32,黑色方格中的概率等于黑色方格的面积与全部方格的面积比设每个方格的面积是 就 P（这粒豆子停在黑色方格） = 4 12 1 3 点评： 概率的大小与面积大小有关 . 大事发生的概率等于此大事全部可能结果所组成的图形 面积除以全部可能结果组成的图形面积 例 3 ,掷两枚硬币,求以下大事的概率 （1）两枚硬币正面全部朝上；（ 2）两枚硬币反面全部朝上 （ 3）一枚硬币正面

16、朝上,一枚硬币反面朝上； 解：用枚举法（列举法）列出可能的结果是：正正,正反,反正,反反；全部结果共有 4种；并且这四个结果显现的可能性相等； 用列表法：解 :其中一枚硬币为 A, 另一枚硬币为 B, 就全部可能结果如表所示 : 正 反 正 正,正 正,反 反 反,正 反,反 （ 1）全部的结果中,中意两枚硬币全部正面朝上（记为大事 正”所以 P（A ）=1/4 （ 2）全部的结果中,中意两枚硬币全部反面朝上（记为大事 反”所以 P（B）=1/4 A）的结果只有一个,即 “ 正 B）的结果只有一个,即 “ 反 第 6 页,共 25 页（ 3）全部的结果中,中意一枚硬币正面朝上,一枚硬币反面朝上

17、（记为大事 C）的结果共 有 2 个,即 “正反 ”“ 反正 ”所以 P（C） =2/4=1/2 例 4,一口袋中装有四根长度分别为 1cm,3cm, 4cm 和 5cm 的细木棒,小明手中有一根 长度为 3cm 的细木棒,现随机从袋内取出两根细木棒与小明手中的细木棒放在一起,回答以下 问题： （1）求这三根细木棒能构成三角形的概率； （2）求这三根细木棒能构成直角三角形的概率； （3）求这三根细木棒能构成等腰三角形的概率 解析：从四根木棒中任选两根,共有以下六种情形：（ 1,3）,（ 1, 4）,（ 1,5）, （3,4）,（ 3,5）,（ 4,5）,其中与 3cm 长的线段构成三角形的有（

18、 1,3,3）, （3,3,4）,（ 3, 3, 5）,（ 3,4,5）四种；构成直角三角形的有（ 3,4,5）一种；构成 1 3等腰三角形的有（ 1,3,3）,（ 3,3,4）,（ 3,3,5）三种,所以有： 24 2 1（1）P（构成三角形） = 6 3 ； （2）P（构成直角三角形） = 6 ； 3 1（3）P（构成等腰三角形） = 6 2 （四） 列表法求概率 当试验涉及两个因素 例如两个转盘 并且可能显现的结果数目较多时,为不重不漏地列出 全部的结果,通常接受 “列表法 ”； 例 1,如图 ,袋中装有两个完全相同的球 ,分别标有数字 “1”和“2”.小明设计了一个玩耍 : 玩耍者每次

19、从袋中随机摸出一个球 ,并自由转动图中的转盘 转盘被分成相等的三个扇形 .玩耍规 就是 :假如所摸球上的数字与转盘转出的数字之和为 解:每次玩耍时 ,全部可能显现的结果如下 : 1232,那么玩耍者获胜 .求玩耍者获胜的概率 . 1（1,1） （1, 2） （ 1, 3） 2（2, 1） （2, 2） （ 2, 3） 总共有 6 种结果 ,每种结果显现的可能性相同 ,而所摸球上的数字与转盘转出的数字之和为 2 的结果只有一种 :1,1,因此玩耍者获胜的概率为 1/6. 例 2,如图,甲转盘的三个等分区域分别写有数字 1,2,3,乙转盘的四个等分区域分别 第 7 页,共 25 页写有数字 4,

20、5, 6, 7；现分别转动两个转盘,求指针所指数字之和为偶数的概率； 解：列表 4567乙 451（1,4 （1,5 （1,6） （1,7） 12） ） 甲 3762（2,4 （2,5 （2,6） （2,7） 6】 种 ） ） 3（3,4 （3,5 （3,6） （3,7） ） ） 共有 12 种不同结果,每种结果显现的可能性相同,其中数字和为偶数的有【 P（数字和为偶数） =6/12=1/2 例 3,例,同时掷两个质地均匀的骰子 ,运算以下大事的概率 : 1两个骰子的点数相同 2两个骰子点数之和是 9 3至少有一个骰子的点数为 2 分析：当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能显现的

21、结果数目较多时, 为不重不漏地列出全部可能结果,通常接受列表法； 解: 两枚骰子分别记为第 1 枚和第 2 枚.列出全部可能的结果： 11234561,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1 21,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2 31,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3 41,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4 51,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 61,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6 由表可看出,同时投掷两个骰子,可能显现的结果有 36 种,它们显现的可能性相等； （1）中意两个骰子点数相同（记为大事 A）的结果有 6 种, PA=6/

22、36=1/6 2 中意两个骰子点数和为 9（记为大事 B）的结果有 4 种, PB=4/36=1/9 3 中意至少有一个骰子的点数为 2（记为大事 C）的结果有 11 种, PC=11/36 第 8 页,共 25 页摸索题：假如把刚刚这个例题中的 “同时掷两个骰子 ” 改为“ 把一个骰子掷两次 ”,所得 的结果有变化吗 . 没有变化 （五）树形图法求概率 当一个试验要涉及 3 个或更多的因素（例如从 3 个口袋中取球）时,列表就不便利了, 为不重不漏地列出全部可能的结果时使用； 1,现 有一项 “抖空竹 ”的表演已知有塑料,木质两种空竹,甲,乙,丙三名 同学各 自随机选用其中的一种 空竹求甲,

23、乙,丙三名同学恰好选择同一种 空竹的 概率 解：甲,乙,丙三名同学恰好选择同一种 空竹为大事 M 塑料 A 木质B 方法 1： 方法 2： A B AAA ,AAB , ABA ,ABB , BAA ,BAB , BBA , BBB. A B A B A B A B A B A B P M 2 1 P M 2 1 8 4 8 42,甲,乙,丙三个盒中分别装有大小,形状相同的卡片如干,甲盒中装有 2 张卡片, 分别写有字母 A 和 B；乙盒中装 3 张卡片,分别写有字母 C,D 和 E；丙盒中装有 2 张卡 片,分别写有字母 H 和 I ；现要（ 1）取出的 3 张卡片中恰好有 从 3 个盒中各

24、随机取出一张卡片求 1 个, 2 个, 3 个写有元音字母的概率各是多少？ （ 2）取出的 3 张卡片上全是辅音字母的概率是多少？ A B CD E HI 甲盒 乙盒 丙盒 解：依据题意,我们可以画出如下 “树形图 ”： 甲 HCI HA I HE I HCI HB I HE I 乙 DD丙 由树形图可以得到,全部可能显现的结果有 12 个,这些结果显现的可能性相等 （ 1）只有一个元音字母的结果有 5 个,所以 P 一一一一 5 12 ； 有两个元音字母的结果有 4 个,所以 P 一 一一一 4 12 1 ； 3第 9 页,共 25 页全部为元音字母的结果有 1 个,所以 P 一 一一一 2

25、1 ； 612 （ 2）全是辅音字母的结果有 2 个,所以 P 一一 一 一 21 612 3,小颖为学校联欢会设计了一个 “配紫色 ”的玩耍：图 1 是两个可以自由转动的转盘, 每个转盘被分成面积相等的几个扇形；玩耍者同时转动两个转盘,假如转盘 A 转出了红色, 转盘 B 转出了蓝色,那么他就赢了,由于红色和蓝色在一起配成了紫色； （ 1）利用树状图或列表的方法表示玩耍全部可能显现的结果； （2）玩耍者获胜的概率是多少？ 解析：（ 1）全部可能显现的结果可用表 1 或图 2 表示； 表 1 B 黄 蓝 绿 A 红 （红,黄） （红,蓝） （红,绿） 白 （白,黄） （白,蓝） （白,绿） （

26、2）全部可能显现的结果共有 6 种,配成紫色的结果只有 1 种,故玩耍获胜的概率为 1 ； 6 这道题为两步试验的随机大事发生的概率运算,接受的方法是树状图法和列表法；接 下来仍然以 “配紫色 ”为主要情形进行玩耍：,让同学们进一步经受用树状图法和列表法 解决概率问题的过程； 用图 3 所示的转盘进行 “配紫色 ” 玩耍； 第 10 页,共 25 页小颖制作了图 4,并据此求出玩耍者获胜的概率为 1 ； 2小亮就先把左边转盘的红色区域等分成 2 份,分别记作 “ 红色 1”“ 红色 2” ,然后制 作了表 2,据此求出玩耍者获胜的概率也是 1 ； 2红色 蓝色 （红 1,红） （红 1,蓝）

27、红色 1红色 2（红 2,红） （红 2,蓝） 蓝色 （蓝,红） （蓝,蓝） 你认为谁做得对？说说你的理由； 解析：由于左边的转盘中红色部分和蓝色部分的面积不同,因而指针落在这两个区域 的可能性不同,故小颖的做法不正确,而小亮的方法就是解决这一类问题的一种常用方法； 4,小明与父母从广州乘火车回北京,他们买到的火车票是同一排相邻的三 个座位,那么小明恰好坐在父母中间的概率是多少？ 解：为了便利起见,我们不妨设三个坐位号为 1, 2, 3；可以看出坐在 2号位上,就为中间位置；画出树状图如图 4 或图 5 或图 6； 21开头 131从图中可以看出,不论小明第 开头 几个坐,全部的可能能是 6

28、种,而 父亲 123母亲 2小明坐 2 号位置的情形有 2 种（记 为大事 A）,所以小明恰好坐在父 母亲 231312父亲 31 3 2母中间的概率是 小明 323121小明 32312图 6 P（ A） 21= 图 5 63（六）概率与方程 第 11 页,共 25 页1,（ 2022 广西防城港 23,8 分）一个不透亮的纸盒中装有大小相同的黑,白两种颜 色的围棋,其中白色棋子 3 个（分别用白 A,白 B,白 C 表示）,如从中任意摸出一个棋 子,是白色棋子的概率为 3 （ 1）求纸盒中黑色棋子的个数； 4（2）第一次任意摸出一个棋子（不放回）,其次次再摸出一个棋子,请用树状图或列 表的

29、方法,求两次摸到相同颜色棋子的概率 解答： （1）3 3 1 34黑色棋子有 1 个 一一一 一 一 一 一 A 一 B 一 C 一 一 一 一 A A 一 BA 一 CA 一 一1 一 一 一 一 B B 一 A B 一 C 一 B 一一一 一 一 C C 一 AC 一 BC 一一一 一 一 （2） 一 一一 A一一 B 一 一一 C一 一 共 12种情形,有 6种情形两次摸到相同颜色棋子,所以概率为 2另外,此题仍可以用树状图解答如下： 一 一 一 一 一 一 一 A 一 B 一 C 一 一 一 一 一一 B 一 C 一 一 A 一 C 一 一 A 一 B 一 一 A 一 B 一 C 一

30、一 一 一 一 A 一 一 B 一一 一 A 一 一 C 一一 一 A 一 一 一一 一 B 一 一 一 一 B 一 一 C 一一 一 B一 一 一一 一 C 一 一 A一一 一 C 一 一 B 一 一 一 C 一 一 一 一 一 一 一 A 一 一 一 一 一 B 一一 一 一 一 C 一 由于由上面树状图可知：共 12 种情形,有 6 种情形两次摸到相同颜色棋子,所以概率 为 1 22,湘潭是我家,疼惜靠大家 ”自我市开展整治 “六乱 ”行动以来,我市同学更加自 觉遵守交通规章某校同学小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口,该十字路口 有红,黄,绿三色交通信号灯,他在路口遇到红灯的概率

31、为 ,遇到黄灯的概率为 ,那 么他遇到绿灯的概率为（ ） A B C D 解：遇到绿灯的概率为 1-1/3-1/9=5/9 【点评】全部情形的概率之和为 1,用 1 减去其它情形的概率就是遇到绿灯的概率； 第 12 页,共 25 页3,（ 2022.武威模拟）袋子里有 10 个红球和如干个蓝球,小明从袋子里有放回地任意 摸球,共摸 100 次,其中摸到红球次数是 25 次,就袋子里蓝球大约有（ ） 【解析】共摸 100 次,其中摸到红球次数是 25 次,摸到红球的概率为 = , 袋子里有 10 个红球和如干个蓝球,设篮球有 x 个,就 = , 解得： x=30,应选 B 4,（ 2022 铁岭

32、） 将红,黄,蓝三种除颜色不同外,其余都相同的球,放在不透亮的纸 箱里,其中红球 4 个,蓝球 3 个,黄球如干个 .如每次只摸一球 摸出后放回 ,摸出红球的 概率是 ,就黄球有 2个. 5解析 ：设黄球有 x 个,就摸出红球的概率为 44x 2 ,解得 x3 535,（ 2022 湖南衡阳） 在不透亮的箱子里装有红,黄,蓝三种颜色的卡片,这些卡片除 颜色外都相同,其中红色卡片 2 张,黄色卡片 1 张,现从中任意抽出一张是红色卡片的概 率为 1 . 2试求箱子里蓝色卡片的张数 . 第一次随机抽取一张卡片 不放回 ,其次次再随机抽取一张,请用画树状图或列表格 的方法,求两次抽到的都是红色卡片的

33、概率 . 1,就 1 222,解关于 x 的方程即可求出 x 分析 :（ 1）设箱子里蓝色卡片的张数为 x 张,由 P红色） 21箱子里蓝色卡片的张数 .（2）要留意题目中的条件,第一次抽取后不放回 . 解：（ 1）设箱子里有 x 张蓝色卡片,就有 22x 1,解得： x=1. 12（2） 第一次抽卡片： 红红 2 黄 蓝 1其次次抽卡片： 红 2 黄 蓝 红 黄 蓝 红 1 红 2 蓝 红 1 红 黄 从树状图图可知,一共有 12 种结果,两次抽到的都是红色的有两种 2 （两次抽到都是红色卡片） 2 1 12 66,（ 2022 湖北随州） 甲,乙两同学投掷一枚骰子,用字母 p, q 分别表

34、示两人各投掷 一次的点数 .（ 1）求中意关于 x 的方程 x 2 px q 0 有实数解的概率 . （ 2）求（ 1）中方程有两个相同实数解的概率 . 2分析 :通过列表或画树状图,可以求出 p,q 的各种可能的取值；方程 x px q 0 有实数 解的条件是判别式 p 2 4q0；方程 x 2 px q p2 4q 0. 解:通过列表或画树状图可得,两人投掷骰子后 足 p 2 4q0的有 pq 1 2, 0 有两个相同实数解的条件是判别式 p,q 的取值共有 36 种等可能情形,其中满 第 13 页,共 25 页p 3, p 4, p 5, p 6, p 3, p 4, p 5, p 6,

35、 p 4, p 5, p 6, q 1 q 1 q 1 q 1 q 2 q 2 q 2 q 2 q 3 q 3 q 3p 4, p 5, p 6, p 5, p 6, p 5, p 6以上 19 种情形,方程 q 4 q 4 q 4 q 5 q 5 q 6 q 6x 2 px q 0 有实数解的概率为 19 ；其中中意 36 p 24q 0 的有 pq 1 2, q p4 4以上 2 种情形,方 程 x 2px q 0 有两个相同实数解的概率为 2 1 . 36 18 7, （ 2022 茂名）已知一只纸箱中装有除颜色外完全相同的红色,黄色,蓝色乒乓球共 100 个从 纸箱中任意摸出一球,摸到

36、红色球,黄色球的概率分别是 , （ 1）试求出纸箱中蓝色球的个数； （ 2）假设向纸箱中再放进红色球 x 个,这时从纸箱中任意取出一个球是红色球的概率为 ,试求 x 的 值 解： 1 由已知得纸箱中蓝色球的个数为： 100 1 0.3 50 （个） 2 方法一：依据题意得： 20 x ,解得： x 60 （个） 100 x 方法二：由已知得红色球 20 个,黄色球 30 个,蓝色球 50 个,为使任意取出一个球是红色球的概率为 ,所以纸箱中红色球的个数等于黄色球与蓝色球个数之和,得： x+20=30+50 ,解得： x 60 （个） （七）几何概率 1,在一次促销活动中,某商场为了吸引顾客,设

37、立了一个可以自由转动的转盘（如以下图, 转盘被平均分成 16 份）,并规定：顾客每购买 100 元的商品,就能获得一次转动转盘的机 会,假如转盘停止后,指针正好对准红色,黄色,绿色 区域,那么顾客就可以分别获得 50 元, 30 元, 20 元的购物券,凭购物券可以在该商场连续购物,假如顾客不愿意转转盘,那 么可以直接获得购物券 10 元； （ 1）求每转动一次转盘所获 50 元购物券的概率（ 2）求每转动一次转盘所获 30 元购物券 的概率 （ 3）求每转动一次转盘所获 20 元购物券的概率（ 4）求每转动一次转盘所获购物券的概率 （ 5）求每转动一次转盘不获购物券的概率 数； （ 6）求每

38、转动一次转盘所获购物券金额的平均 （ 7）假如你在该商场消费 125 元,你会选择转转盘仍是直接获得购物券？说明理由； 第 14 页,共 25 页解： 1每转动一次转盘所获 50 元购物券的概率为： 1/16 （ 2）每转动一次转盘所获 30 元购物券的概率为： 2/16=1/8 （ 3）每转动一次转盘所获 20 元购物券的概率为： 4/16=1/4 （ 4）每转动一次转盘所获购物券的概率： （ 5）每转动一次转盘不获购物券的概率： 1/16+2/16+4/16=7/16 1-7/16=9/16或者是空白区域除以 16） （ 6） 50 +30 +20 =11.875 （元）； （ 7） 7元

39、510 元, 选择转转盘； 2 , 某商场为了吸引顾客,设立了一个可以自由转动的转盘（如图 9 所示）,并规定：顾客每购买 100 元的商品,可转动两次转盘,当转盘停止后,看指针指向的数获奖方法是：指针两次都指向 8 时,顾客 可以获得 100 元购物券；指针两次中有一次指向 8 时,顾客可以获得 50 元购物券；指针两次都不指向 8,且所指两数之和又大于 8 时,顾客可以获得所指两数之和与 8 的差的 10 倍的购物券（如,获 40 元购物 券）；其余情形无奖 （ 1）试用树状图或列表的方法,给出两次转动转盘指针全部可能指向的结果； （ 2）试求顾客可获得 100 元购物券的概率； 解：（

40、1）列表得： （ 3）试求顾客无奖的概率 22468（2,2） （2,4） （2,6） （ 2, 8） 4（4,2） （4,4） （4,6） （ 4, 8） 6（6,2） （6,4） （6,6） （ 6, 8） 8（8,2） （8,4） （8,6） （ 8, 8） （ 2）由于两次转动转盘指针全部可能的结果共有 种,所以所求概率为 1/16 16 种,其中两次指针指向 8 的情形有一 第 15 页,共 25 页（ 3）由于两次转动转盘指针全部可能的结果共有 求概率为 6/16=3/8 16 种,其中无奖的情形有 6 种,所以所 3,公共汽车在 05 分钟内随机地到达车站,求汽车在 13 分钟之

41、间到达的概率； 分析：将 05 分钟这段时间看作是一段长度为 线段中的 2 个单位长度； 5 个单位长度的线段,就 13 分钟是这一 解：设 “汽车在 13 分钟之间到达 ”为大事 A,就 PA=3-1/5=2/5 所以“ 汽车在 13 分钟之间到达 ”的概率为 2/5 4,取一根长为 3 米的绳子 ,拉直后在任意位置剪断 ,那么剪得两段的长都不少于 1 米的概率 有多大 . 解：记 “剪得两段绳子长都不小于 1m” 为大事 A,把绳子三等分,于是当剪断位置处在中 间一段上时,大事 A 发生；由于中间一段的长度等于绳子长的三分之一,所以大事 A 发生的概 率 P（ A）=1/3； 5,在等腰直

42、角三角形 ABC 中,在斜边 AB 上任取一点 M ,求 AM 小于 AC 的概率； 分析：点 M 随机地落在线段 AB 上,故线段 AB 为区域 D；当点 M 位于图中的线段 AC 上时, AM AC,故线段 AC即为区域 d； 解： 在 AB 上截取 AC=AC,于是 P（ AM AC）=P（AM AC）=AC/AB=AC/AB= 2/2 就 AM 小于 AC 的概率为 2/2 6,取一个边长为 2a 的正方形及其内切圆 如图,随机地向正方形内丢一粒豆,求豆子落入 圆内的概率 . 子 解:记“豆子落入圆内 ”为大事 A, 就 PA= 圆的面积 /正方形面积 =a2/4a2=/4 7,在边长

43、为 a 的正方形 ABCD 内随机取一点 率（ 2）APB 90 的概率 P,求：（ 1）APB 90的概 解： 如图, 以正方形的边 AB 为直径作圆,依据直径所对的圆周角为直角,就有当 点 周上时, APB=90,而点 P 在圆内时, APB 90 ,当点 P 在圆外时, APB 90 设 AB=a,就正方形的面积为 a2 P 在圆 第 16 页,共 25 页所以, A9P0B 的概率 p= *a/22/2 a2= /8 APB 90 的概率为 1-/8 8,一海豚在水池中自由游弋,水池为长 2m 的概率 30m,宽 20m 的长方形,求此刻海豚嘴尖离岸小 于 解：设大事 A“ 海豚嘴尖离

44、岸边小于 2m” （见阴影部分） P（ A）（ 3020-2616 ）309,射箭竞赛的箭靶涂有五个彩色得分环,从外向内为白色,黑色,蓝色3,0m红色,靶心金色金色靶心叫 “ 黄心”；奥运会的竞赛靶面直径为 122cm,靶心直径为 ,运动员在 为70m 外射假设射箭都能中靶,且射中靶面内任意一点都是等可能的,那么射中靶心的概率有 20m 多大？ PA=（1/4 12.2 2）（1/4 122 2）2 m 10,某人午觉醒来 , 发觉表停了 , 他打开收音机 , 想听电台整点报时 , 求他等待的时间不多于 10 分钟的概率 . 解：设 A=等待的时间不多于 10 分钟 . 我们所关怀的大事 A

45、恰好是打开收音机的时刻位于 50,60 时间段内 , 因此由几何概型的求概率的公式得 PA=10/60=1/6 （八） 设计公平的玩耍规章 例 1 有一个小正方体,正方体的每个面分别标有 1, 2, 3, 4, 5, 6 这六个数字现在有 甲,乙两位同学做玩耍,玩耍规章是：任意掷出正方体后,假如朝上的数字是 6,甲是胜利者； 假如朝上的数字不是 6,乙是胜利者你认为这个玩耍规章对甲,乙双方公平吗？为什么？如 果不公平,你预备怎样修改才能使玩耍规章对甲,乙双方公平？ 解析： 看玩耍是否公平,主要看双方是否具有均等的获胜机会,假如机会是均等的,那就 公平,否就,就不公平；可以转变已知条件,使玩耍对

46、双方获得的机会是均等的就可以了 第 17 页,共 25 页（1）这个玩耍不公平由于正方体的每个面分别标有 11, 2, 3, 4, 5, 6 这六个数字,其 中数字 6 只有 1 个,也就是甲胜利的概率是 6；不是 6 的数字有 5 个,也就是说乙胜利的概率是 5 6,双方的胜利的机会不是均等的,所以说这个玩耍不公平 . （2）可以把玩耍规章改为：任意掷出正方体后,假如朝上的数字是奇数（ 1,3,5）,甲 是胜利者；假如朝上的数字是偶数（ 2,4,6）,乙是胜利者,按这样的玩耍规章就公平了 点评： 此题考查玩耍公平性的判定,判定玩耍规章是否公平,就要运算每个参加者取胜的 概率的大小,概率相等就

47、公平,否就就不公平 . （九）概率的实际应用 例 1 某同学午觉醒来发觉钟表停了,他打开收音机想听电台整点报时,就他等待的时间不 超过 15 分钟的概率是（ ） 13：00 A. 1B. 1C. 1D. 12345解析： 电台每小时报时一次时间,此人打开收音机时处于两次报时之间例如在 至 14：00 之间,而且取各点的可能性一样要等待的时间不超过 15 分钟,只有当他打开收音 机的时间处于 13：45 至 14： 00 之间才有可能,因此相应的概率应是 1此题选 C 4点评： 对于一个随机大事来说,它发生可能性大小的度量是由它们自身准备的,并且是客 观存在的,就如同一块土地有面积一样 . 概率

48、是随机大事发生可能性大小的度量,是随机大事自 身的一个属性 误区点拨 一,基本概念的懂得有误 例 1 有以下说法： 随机大事 A 发生的概率是频率的稳固值； 任意大事 A 发生的概率 P（A ）中意 0P（A ） 1； 如大事 A 发生的概率为 0.000 001,就大事 A 是不行能事 件其中正确的有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D 3 个 错解：选 D. 剖析：此题致错缘由是不懂得一些基本概念 .频率是较少数据统计的结果,是一种具体的趋 势和规律在大量重复试验时,频率具有确定的稳固性,总在某个常数邻近摇摆,且随着试验 次数的不断增加,这种摇摆幅度越来越小,这个常数叫做这个大事的概率

49、随机大事 A 发生的 第 18 页,共 25 页概率是频率的稳固值, 正确；由于必定大事发生的概率为 1,不行能大事发生的概率为 0, 随机大事发生的概率大于 0 小于 1,所以任意大事 A 发生的概率 P（A ）中意 0P（A ） 1,错误；如大事 A 发生的概率为 0.000 001,就大事 A 发生的可能性很小,但也有可能发 生,错误 . 正解： 选 B. 二,错误懂得概率 例 2 某同学掷一枚硬币,结果是一连 9 次都掷出正面朝上,请问他第 10 次掷出硬币时出 现正面朝上的概率为（ ） 1C 1D不能确定 1A小于 2B大于 22错解：选 B. 剖析：无论哪一次抛掷硬币,都有 2 种

50、情形,即正面,反面,与第几次抛掷硬币无关,故 1第 10 次掷出硬币时显现正面朝上的概率为 2 正解： 选 C 三,求概率时没有留意等可能性 例 3 如图,把一个圆形转盘按 1234 的比例分成 A,B,C,D 四个扇形区域,自 由转动转盘,求转盘停止后落在 B 区域的概率 1错解： 4. 剖析：错解中没有留意各部分所占的比例,也就是说落到每一部分不是等可能性的,解题 时第一确定在图中 B 区域的面积在整个面积中占的比例,依据这个比例即可求出指针指向 B 区 域的概率 正解：由于该圆形转盘按 1234 的比例分成 A,B, C, D 四个扇形区域,于是圆被 21等分成 10 份,其中 B 区域

51、占 2 份,所以落在 B 区域的概率 =10=5第 19 页,共 25 页跟踪训练 1. 以下大事中,属于不确定大事的是（ ） A通常水加热到 100 时沸腾 B测量聊城某天的最低气温,结果为 -150 C一个袋中装有 5 个黑球,从中摸出一个是黑球 D篮球队员在罚球线上投篮一次,未投中 2.绿豆在相同条件下的发芽试验,结果如下表所示： 每批粒数 n 100 300 400 600 1000 2022 3000 发芽的粒数 96 282 382 570 948 1912 2850 m发芽的频率m n0） D6就绿豆发芽的概率估量值是（ A B C3. 不透亮的袋子中装有 4 个红球, 3 个黄

52、球和 5 个蓝球,每个球除颜色不同外其他都相同, 从中任意摸出一个球,就摸出 球的可能性最大 4. 一只自由飞行的小鸟,将任凭地落在如以下图方格地面上（每个小方格都是边长相等的 正方形）,就小鸟落在阴影方格地面上的概率为 . 5.指出以下大事分别是属于随机大事,必定大事,不行能大事中的哪一种？填在括号内 . （1）口袋中共有 5 个红球, 3 个白球,在口袋中任取 1 球,会摸到红球；（ ） （2）小敏 1 小时跑 60 千米；（ ） （3）掷两枚骰子,点数的和大于 1；（ ） （4）买一张彩票,中了 500 万（ ） 5. 投掷一枚一般的正方体骰子 24 次 （ 1）你认为以下四种说法哪种是

53、正确的？ 显现 1 点的概率等于显现 3 点的概率； 投掷 24 次, 2 点确定会显现 4 次； 投掷前默念几次 “显现 4点”,投掷结果显现 4 点的可能性就会加大； 连续投掷 6 次,显现的点数之和不行能等于 37 第 20 页,共 25 页（ 2）求显现 5 点的概率； （ 3）显现 6 点大约有多少次？ 9跟踪训练参考答案： 3. 蓝 4. 25 5.（1）随机大事 （ 2）不行能大事 （3）必定大事 （ 4）随机大事 16. 解：（1）由于抛掷正方体骰子显现 3 点和显现 1 点的概率均为 6,故 正确；由于连 续投掷 6次,最大为 66=36,所以显现的点数之和不行能等于 1（2

54、）显现 5 点的概率不受抛掷次数的影响,始终是 6. 1（3）显现 6 点大约有 246=4（次） 37,于是 正确 概率初步学问点和题型 【学问梳理】 1生活中的随机大事分为确定大事和不确定大事,确定大事又分为必定大事和不行能大事,其中, 必定大事发生的概率为 1,即 P必定大事 =1； =0； 不行能大事发生的概率为 0,即 P（不行能大事） 假如 A 为不确定大事,那么 0PA1 2随机大事发生的可能性（概率）的运算方法： 理论运算又分为如下两种情形： 第一种：只涉及一步试验的随机大事发生的概率,如：依据概率的大小与面积的关系,对一类概率模型 第 21 页,共 25 页进行的运算； 其次

55、种：通过列表法,列举法,树状图来运算涉及两步或两步以上试验的随机大事发生的概率,如：配 紫色,对玩耍是否公平的运算； 试验估算又分为如下两种情形： 第一种：利用试验的方法进行概率估算；要知道当试验次数特殊大时,试验频率可作为大事发生的概率 的估量值,即大量试验频率稳固于理论概率； 其次种：利用模拟试验的方法进行概率估算；如,利用运 算器产生随机数来模拟试验； 综上所述,目前把握的有关于概率模型大致分为三类；第一类问题没有理 论概率,只能借助试验模拟获 得其估量值；其次类问题虽然存在理论概率但目前尚不行求,只能借助试 验模拟获得其估量值；第三类 问题就是简洁的古典概型,理论上简洁求出其概率； 这

56、里要引起留意的 是,虽然我们可以利用公式运算概率,但在学习这部分学问时,更重要的是要体会概率 的意义,而不只 是强化练习套用公式进行运算； 3概率应用： 通过设计简洁的概率模型,在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系亲 密,通过懂得什 么是玩耍对双方公平,用概率的语言说明玩耍的公平性,并能按要求设计玩耍的概率 模型,以及结合具 体实际问题,体会概率与统计之间的关系,可以解决一些实际问题； 【练习】 随机大 事与概率： 一 . 选择题 1. 以下大事必定发生的是（ ） A. 一个一般正方体骰子掷三次和为 19 B. 一副洗好的扑克牌任抽一张为奇数； C. 一年中有 365 天 D.

57、你将来长 到 4 米高 6,一个袋子中放有红球,绿球如干个,黄球 5 个, C. 今日下雨； 假如袋子中任意摸出黄球的概率为 , D. 一个不透亮的袋子里装有 4 个红球, 2 个白球, 那么袋子中共有球的个数为（ ） 从中任取 3 个球,其中至少有 2 球同色； A. 15 B. 18 C. 20 D. 25 2. 甲袋中装着 1 个红球 9 个白球,乙袋中装着 9个红球 1 个白球,两个口袋中的球都已搅匀；想 从两个口袋中摸出一个红球,那么选哪一个口袋 胜利的机会较大？（ ） A. 甲袋 B. 乙袋 C. 两个都一样 D. 两个都不行 3. 以下大事中,属于确定大事的是（ ） A. 发射运

58、载火箭胜利 B. 2022 年,中国女足取得冠军 C. 闪电,雷声显现时,先看到闪电,后听到雷声 D. 掷骰子时,点数 “ 6” 朝上 4. 以下大事中,属于不确定的大事的是（ ） A. 英文字母共 28 个 B. 某人连续两次购买两张彩票,均中头奖 C. 掷两个正四周体骰子（每面分别标有数字 1, 2,3, 4）接触地面的数字和为 9 D. 哈尔滨的冬天会下雪 5. 以下大事中属于不行能的大事是（ ） A. 军训时某同学打靶击中靶心 B. 对于有理 数 x, x 0 第 22 页,共 25 页填空题： 1,小华与父母一同从重庆乘火车到广安邓小平故居参观火车车厢里每排有左,中,右三个座位,小华

59、一家 三口任凭坐某排的三个座位,就小华恰好坐在中间的概率是 ； 2,初三（一）星期二下午支配了数学,英语,生物各一节课,就把数学课支配在最终一节的概率 ； 3,甲乙两人去某风景区游玩,每天某一时段开往风景区有三辆汽车（票价相同）；两人分别实行不同的乘车 方案：甲无论如何总是上开来的第一辆车；乙是观看后上车,当第一辆车开来时都不上,假如其次辆车比第一 辆车好就上其次辆,其次辆车没第一辆好就等着上第三辆车,就甲坐上好车的概率为 ,乙坐上好 车的概率为. 4,有两把不同的锁和三把不同的钥匙,其中两把钥匙分别能打开其中一把锁,第三把钥匙不能打开这两把锁, 就两把钥匙同时打开两把锁的概率 ； 5,三个茶杯只有花色不同,其