华理线性代数答案

1、2121华东理工大学线性代数作业簿（第一册）学院专业班级学号姓名任课教师1.1矩阵的概念1-矩阵4十订=0-几0-1A=3212.设1000_00_30052A=04,B=0100，c=230,D=0300010041003其中对角阵为，三角阵有解：对角阵为三角阵有力，C,D.12矩阵的运算1已知2_2-1013X+-23-11求矩阵X.21212121解：依题意，由6-23X=-4021r-2+4_3-11114-31-1丄34即得x=_32.如果矩阵九x用与Exs满足AB=BA,试求加心之间的关系3填空:43rT1-2325701MB11,2,323(1)12-1,2=313140_0-1

2、234_1-3140-235解:(1)6；(2)14；(3)49-12_6-78_-24；(4)20-5-6-364.已知矩阵4=，试求与4可交换的所有矩阵.解：由可交换矩阵的定义，知道所求矩阵必为3阶方阵，不妨设abc010_abcdef001defghi000ghi000AB=abc010_0abdef001=Odeghi_0000gh_BA=def0ab由AB=BA,即得ghi=Ode000_0gh由相应元素相等，则得d=g=h=0,a=e=i,b=仁abc故B=0ab（a,b,c均为任意常数）为与A可交换的所有矩阵.00a5计算下列各题:（1）兀，兀2,解：原式等于:+a33X+（勺2

3、+禺1）人兀2+（务3+。31）兀1兀3+（。23+。32）兀2兀33131J.2逅2_V2丄2,求力20083131解：记4=_221_V231313131-100-1,2008=3x669+131313131_1200S_120071222222馅1V31羽1_22_22_22_=A=(_/严2_人=-21丄丄，打33求护.解:313131312281rir-2i99-2i?L23JL2333丿=2*4=25623236.利用等式计算1735-6T-12解:-6_523205-733197-1266-1257035-27385-292217357.某公司为了技术革新，计划对职工实行分批脱产

4、轮训，已知该公司现有2000人正在脱产轮训，而不脱产职工有8000人，若每年从不脱产职工中抽调30%的人脱产轮训，同吋又有60%脱产轮训职工结业回到生产岗位，设职工总数不变，令-62320-12570332310-257011735-753-28000X=20000.70.6A-0.30.4试用q与x通过矩阵运算表示一年后和两年后的职工状况，并据此计算届吋不脱产职工与脱产职工各有多少人.解：一年后职工状况为：AX=68003200不脱产职工6800人，轮训职工3200人.8.不脱产职工6680人,设矩阵_6800_=A2X=_6680_A32003320两年后职工状况为:轮训职工3320人.3

5、-12求:(1)ArBr-BrAr;(2)A2-B2.atbt-btat=2-41r3-613-612-41-2-12-121-2解：（1）9.设A是对称矩阵,B是反对称矩阵,）是反对称矩阵(A)AB-BA;(B)AB+BA;(C)(AB)2;(D)BAB.10试将矩阵4=13-2-113A=A+At)+A-At)=表示成对称矩阵与反对称矩阵Z和.52323232J.2丄2J.25-10_005-1021_21_3-113-11(2)A2-B2=-4-2-4-2-62-(5200_15-5_-15500-301030-1010-200010-20n.设q是反对称矩阵，b是对称矩阵，试证：AB是

6、反对称矩阵的充分必要条件为AB=BA.证：必要性：由(AB)t=-AB及(AB)t=BtAt=B(-A)=-BA即得AB=BA.充分性：若AB=BA,则(AB)t=BtAt=B(-A)=-BA=-AB,知AB是反对称阵.12.设/(x)=amxm+-+a0,记/(A)为方阵A的多项式，即/(A)=酬+%/心+必+a.I(1)设力=，证明f(A)=fWo0/w(2)A=PAPl,证明f(A)=Pf(A)Pi.解：(1)vAk=J=am+am-lamU+入+Go00QV+6/lA+a0/(A)oofWA=PAPlAk=PAkPl.-./(A)=/(PAP1)=amPAmp-+aPAP1+a.PAP

7、1+aQPPl=Pf(A)Pl13.设矩阵A=/-2孚匚，其中/为朴阶单位阵，a为朴维列向量,aa试证4为对称矩阵，且A2=I.证：#=（/-2略丁=IT-2（军）丁=/一亠（耳丁=/一2军=Aaaaaaaaa故A是对称矩阵，且宀（/2字）（/2略）=/4字+厂（吓W.aaaaaa（aa13逆矩阵1.设4为阶矩阵，且满足人2=人，则下列命题中正确的是（）.（A）A=0；（B）A=h（C）若人不可逆，则A=0；（D）若A可逆，则A=I.解：D.2.设川阶矩阵A、B、C满足=则必有().(A)CA2B=I；(B)ATBTArCT=I；(C)BA2C=I；(D)A2B2A2C2=/.解：B.-11-

8、1-1-1-11-1-1-1-113.已知矩阵人=求A”及A（朴是正整数）.证：由A2=4I,即可得nn(A2y=(4iy=2nI,7?为偶数n-1=(4/)亍A=2n_1A,为奇数及A中一，亦即宀扑已知/?阶矩阵4满足A2+2A-3I=O,求：A-1,(A+2Z)-1,(A+4/尸.解：依题意，有A(A+2Z)=3/,即$+2/)=/,故3A1=-(A+2Z)；(4+2/)一=-A,3再由已知凑出(4+4/)(A-2/)=-5/,即得(A+4/)1=-4(A-2/)设A、从AB-I为同阶可逆阵，试证：(1)A-A可逆；(2)(人一厂一“也可逆，且有(人沪厂一中=ABA-A.证：(1)A-Bl

9、=ABB1-Bl=(AB-/)B_1n可逆.(2)证法一：(A-Bl)_1_f=(A-A)-(A-B)_1(A-B)A_1=(A-)_1(/-/+A-1)=AB(A-B-)_1=(ABA-A)-nf可逆，且(A歹丁A1=ABA-A.证法二：由(1)=因此(A-B1)_1-A-1(ABA-A)=B(AB_/尸一A1(ABA-A)=B(AB-iy(AB-I)A-A-ABA-1)=BA-BA+1=I可逆，且(A歹丁f1=ABA-A.华东理工大学线性代数作业簿（第二册）任课教师解:矩阵的分块3400_3200_4-3004500,B=00207004100220062，求（1）1.设4=(2)A4.A

10、4_A_E佔-A_B2AB=A4A40=(25/)2=625人2500026-7000082000261010_=16102121_41625000_06250000160006416A?4=16/.A4=2设心0-301000000100丄0W：4丄00020-003ww3已知分块矩阵叫巴：；，则讥()(A)l叫20)(wj必r(C)1112wTI”21o/解：D(B)%o、(w.TW-T(D)1121叱0丿014.求满足AX-X+I=A2的矩阵X,其中A=020101解：由原式，整理得(A-I)X=A2-I=(A-I)(A+I),而001201A-I=010可逆，故由上式可得X=AI=03

11、01001025.设刃卩介矢E卩车4,8$前足人+=48证明4-/可逆，且AB=BA；_1-30_若已知=210,求矩阵A002解:(1)由A+B=AB,移项得AB-A-B=O,即AB-A-B+I=1f亦即(4/)(B/)=/,从而得至IJ4/可逆;且由上式可得(B/)(/)=/,展开得B44B=O,即BA=A+B,结合条件知=U310丄200由(1)知人一/=(8/)“，即A=(B/)+/,而0-3(B-/)-1=2000设4=(呦)是一个加X/?矩阵，(1)计算“A,Ae.,eAfj,其中弓为加阶单位矩阵的第，列，勺为阶单位矩阵的第丿列；试证：对任一m维列向量x,xTA=0oA=O；试证：

12、对任一m维列向量x和任一n维列向量y,xTAy=0oA=0解：(1)人=%绚2,，A勺斗仙，如,T，&Aej=ciij(2)“u”显然;“”由向量x的任意性，取x=ei(z=1,2,./?,且e.为m阶单位矩阵的第i列)，则由(1)得&A=an,ai2=0,即A的第i行为零向量，取遍心1,2,.知4的每一行均为零向量，即A=O“u”显然；“二”由兀与y的任意性，取x=q,y=ej(i=1,2,.mJ=1,2,隔q与勺分別为W阶单位阵的第门列)，则由(1)得eAcj=atj=0,即A的每一个元素都为零，亦即4=07.设朴阶矩阵A=atj维向量a=l,l,lr(1)计算Ao；若4可逆，其每一行元素

13、Z和都等于常数c,试证：犷的每一行元素Z和也都相等，且等于丄.C解：(1)设9为朴阶单位矩阵的第j列，则有Q=1丄,1=勺+勺+?ixk=lna2kk=l又设y为A的第i列，则有Aa=Ae+Ae2+Aen=a+a2+匕=.k=_由题设及(1)的结论可得：Aa=ca=Ala=-a,即A*的c每一行元素Z和都等于丄.1.5初等变换与初等矩阵-112212；(2)-401-346-1-11.用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵.(1)_12；10_r12；10_12C31-34；01010J3101：J1J1Lioioj解：（1）构造分块阵4,并对其进行初等行变换2-1_14-24-1031J即得_32i

14、o1031W102.2-1已知A=122112-34，且有XA=X+B,求X5-1122-1102(2)-4012-136-1-1418_1-11；10o-_1-11100_A-I.I=110；01002-1-110211；00103-1-201解：-XA=X+B=X(A_I)=B=X=B(AIf2-3_12-r29-5X=B(A-1)=204-1-1i-2-860-15-1-32-4-149101_84r-10o-3.已知A=010,B=059,c=011，计算102007021U=B(C7)-1-/r(ABl)T+(加汀.解：1-11j.2210j_J_22j_32_212-1-1-11-

15、1-32U=A(B(CT尸一/)T+=a(Ct)_1-血丁+(血)T=C_1At-(B)TAt+at-100_101-10-rc_1at=0-110101-1202-1102-12-2123_oor10o-4.已知A=456,P=010,Q=001,则789100010poogoi=解:5.A=a”。加a31+11a22a!2a32+a!2a23务3a33+ai3故而可逆且其逆也是初等且满足=B4/.010_100_呂=100010001101则有（010_100_1-43_6.解矩阵方程：100X001=20-10010101-20(A)APP2=B；(B)AP2P=B:(C)片4=B；(D

16、)P2PA=B.解：C解：X左右的两个矩阵均为初等矩阵,矩阵，于是有010_-11-43_100_-1X=10020-10010011-20010010_1-43100_2-10_10020-1001=13-40011-2001010-27.已知为三阶方阵,1-2（1）证明A-2I可逆；（2）若=1200解：=B-4I2B=AB-4A(A=8(B-4/尸+2/=-1-30+21=-1-1000-400-2&设矩阵4可逆，且A：B.试证：(1)矩阵B可逆；求(3)试证f交换第,、j列后可得矩阵解：(1)依题意，有B=RtjA,其中坷为对应于初等变换的行初等矩阵，则由鸟及A均可逆知B必可逆.(2)

17、由(1),得B-1=(/?,/尸=川層=犷鸟,故而AB=A(A-1Ri)=Rh(3)由(1),得B=A-1/?.,而%=C.,故fq=B,即A-1-Bl华东理工大学线性代数作业簿(第三册)学院专业班级学号姓名任课教师2.1行列式的定义2x1231.行列式XX12是关于兀的次多项式12x3X123x解:4TOC o 1-5 h zab02.已知a、b为整数，且满足-ba0=0,求a和b.100018ab0解：ba0=8(6z2+Z?2)=06z2+/?2=0100018因为a、b为整数，故有0341002611179-50=51(-1)1+40403102611(1)=0；(1)=0；(1)=0

18、；(1)=0；=一52(一1严春=-10(0-10-4-3)=120(1)=0；(1)=0；(1)=0；(1)=0；5.设/=；13x2求它的常数项.0解：/的常数项C=/(0)=110102301203201=(-l)1+3xlx21(1)=0；(1)=0；(1)=0；(1)=0；3=lx12+3x03=一51(1)=0；(1)=0；(1)=0；(1)=0；2.3行列式的性质1.证明下列各等式200220032004200520062007200820092010a+bxqx+bqdibq(2)+b2x+么c2=(1)bja3+b3xa3x+b3c3a3b3c3证明:200220032005

19、200620082009200420072010“2002=200520032006“2002=2005200820091200811=01(2)证法一:dQX+bCbxqx+bq左式=a.ax+b6厶+b2xa2x+b2c2色a3x+b3c3b3xa3x+b3c3S5bYxaYxqaibiq偽工6+b2xa2xc2=(1-F)0b.5*0=右式.$QC3b3xa3xC3C/3b3C3证法二:5(一工)左式=a2(1x2)a3(l-x2)=(1)al-x2)a2x+b2c2=(1-x2)a2ci3x+b3c3a3b2c2=右式.ax+bqax+b2c2吋+c3选择题：(1)设4为77阶方阵，若

20、A经过若干次初等变换变成矩阵则正确的选项是().若IA|=0,则必有网=0；(C)B(D)若|A|0,则必有网0.解：B.设盒、.、勺是三维列向量，则与三阶行列式等值的行列式是()&,2刍+2&+3&釦;(B)&|A|=0已知/?阶矩阵4、B满足：A2=I.B2=lf且国+网=0,试证|a+b|=o.证：依题意，有|a|=i,且|a|=-|b|,进而再由移项即得A+B=O.(1)(1)JA=B=-C=D=解:(1)(1)(1)(1)10-10010-110100101=4,K|=Md-bC=1+1=2.(1)(1)(1)(1)24行列式的计算=xy110011-x000011001iy1111

21、11-x11-y=x2y2.1+x11111-x1111i+y11111-yXX00110011-x1111-x1100yy0011111i)111iy1计算行列式1(-1)解：原式心(1)(1)(1)(1)2计算下列n阶行列式012n111n1111n122；Dn=-1n11nnn111解:(1)将第2列,，第川列的一(1+2+)1212(-1)倍加到第1列后，得原式=(2)换行后,将第1行乘以n(n+1),n2提取公因子后，再111nn11111n11n11-=(-1)2-1n1111n1n111111n将第2,3/?列全加到第一列,加到以下各行得(-1)2=12n-l2n-l=(1)22

22、n-l2n-l=(1)F(21)(n-l)n=(1)=(21)n-l0=(l)k(21)(1)”a”(a-1)”(a-n)n严(a-l)nl(a-n)nlU+i=:aa-1a-n111111a-n67-1a-=/7!(/?-l)!l!=(Q-7?)，_1(a-1)”anl(a-n)n(a1)3利用范德蒙行列式的结果计算行列式解:=n(丿-。l/jn+l4计算加阶行列式2严abcdaD2n=解：将第2/7行与其上各行逐次交换至第2行，再将第加列与其前各列逐次交换至第2列，得bab=Cd2，l2=S%2“一2=（ad-be）2D2n_4=.=（ad一bc）nD2=（ad一be）2.5行列式的应用设

23、4为刃阶方阵，则().若4,B都可逆，则4+B必可逆；若4,B都不可逆，则A+B必不可逆；若可逆，则都可逆；若4B不可逆，则都不可逆.解：C.已知3阶方阵4的行列式为|A|=3,求行列式解：由附|=|A|_1=p|Ar|=|A|=3及仲=9,得J1:斗犷慣|=卜十|们才|=91(1V1已知A为3阶方阵，且|A|=-,求一A-12才317丿解：由仲呼冷,及宀詁，得討-12A-=7A_1-12A*|=21/T12=93A*=114.已知矩阵人=1000011；，求|A|中所有元素的代数余子式Z01和.解：解法一：直接计算各代数余子式11=i，a2=(-i)1+21 HYPERLINK l book

24、mark2211111=0,010Ab=(-i)1+3o011=0,人14=(-1)1每=-1,血=1，人23=人24=41=0,含2=-1，A33=1,人34=0,1=0,A42=Q人43=-1“44=L于是人+免hAm=1解法二：先求4Al=111101110011000110000100001000011I=0,010000100001000011-10001-10001-10001-100_Ai21AiAi1-10A2%232人4201-1413人23人33人43001人4码含4人44人1+人2+A|411111111111111110111111101110111+001100111

25、111001100010001000111112兀+y+込=0设齐次线性方程组L+2y+z=0，试问:x+y+Az=0仃)2取何值时，方程组只有零解?2取何值时，方程组有非零解?211111解：系数行列式121=(2+2)0A-10=(2+2)(2-厅,11200A-1所以当兄H1且2北-2吋只有零解；当兄=1或2=-2时有非零解.x+y+z=l6.已知vax+by+cz=d，问a,b,c满足什么条件时，此线性a2x+b2y+c2z=d2方程组有唯解，并求这个解.解：由克拉默法则知方程组有唯一解的充分必要条件是系数行列111式不等于零，即abc工0,再由范德蒙德行列式知/b2c2111abc=

26、(b-a)(c-a)(c-b),故只有当a,b,c互不相等时，方crb2c2程组有唯-解，且解为(b-d)(c-d)(da)(cd)“_(d-a)(cl-b)x,v乙.(b-a)(c-a)(b-a)(c-b)(c-a)(c-b)7.已知3阶方阵A=岡,且对任意的1/,；3都有代数余子式州=州及an=-1,求:(1)|a|；(2)Ax=勺的解,其中5=1,0,0解：(1)依题意，有才=亿即有|才|=|勒,再由W|=|A厂及|Ar|=|A|W|A|(|A|-l)=0；再由|A|=nilAl+勺2人12+。13列3=an+ai2+a!3-(-I)=】知必有A=1.由(1)可知及A*=中，所以在Ax=

27、e的两端同时左乘中，得ATAx=ATelf即ALx=an,al2,a13f=-1,0,0,亦即x=-1,0,of 华东理工大学线性代数作业簿(第四册)学院专业班级学号姓名任课教师3.1矩阵的秩设加矩阵A的秩为广，则下列结论错误的是()(A)A有广阶子式非零；(B)A的所有厂+1阶子式为零;(C)力没有厂阶子式为零；(D)r(A)min(/?7,n)解：C.1a-122.设r1-1a2=2,则a=10-12解：a=_-1或o_4023.设A为4x3矩阵,B=020,则r(AB)-r(A)=.103解：0.23441-12-34确定矩阵A=3261的秩，并给出一个最高阶非零-10-21子式.11-

28、23011-230_0-1-2-2-1012210-16+Q-2-1008+a000-2-4-4b0000b+2解：由2知_1-12-3-12-30501001020501000000-10-20000解：利用初等行变换化成行阶梯形矩阵来求矩阵的秩.由A知r(A)=2,最高阶非零子式可取231-15.当参数取不同数值时,123J112-1347-10-1-1b的秩。当a=8且b=2时，厂(B)=2;)=3;当a=8且几2,或心8且b=2时,当gh8且bH2B寸，r(B)=4.6.设矩阵4=叭咕a2b2a2bn,求心)及r(A2).anb2anbn解:设a=al,a2,-an,j3=bl,b2,

29、-bn,则人=仪0丁,且有当qhO且工0吋，4)=1;当a=0或0=011寸，厂(4)=0,又A2=AA=（Q0T）（Q0T）=afa）ff=a）ap则有0咕=0其他7.设人是加阶满秩阵，是7XH矩阵，试证明ABx=0与By=O是同解方程组，并进-步利用齐次线性方程组的有关定理，说明r(AB)=r(B).证：先证Bx=O的解均为ABx=0的解，若兀是Bx=O的解，则以By=O代入ABx,显然有ABx=O-,再证ABx=0的解均为=O的解，其实由A为满秩阵，在ABx=0两边同时左乘即得Bx=AlO=O；由、即知ABx=0与Bx=O是同解方程组，且它们在能得出其任一解的通解式中含有的任意参数个数必

30、相同，即n-rAB)=n-r(B),亦艮卩r(AB)=r(B).3.2齐次线性方程组_11-1_已知A=-1G1，设卬=1,0,lr,6Z2=0,1,1丫为TOC o 1-5 h z11b山=0的两个解向量，贝=,b=.解：T,T若线性方程组J：*亍+管无解,则常数a=.2召+6x2-8x3=1解：a=4.3.方程组A3x5x5x1=0必().(A)无解；(C)有非零解;解：C.(B)仅有零解；(D)以上都不是.4.讨论下列齐次线性方程组是否有非平凡解(即非零解)？若有,则求出其通解.x2-3七=0X-2x2+5七=0X+2x2+2x3+兀=0(1)(1)解:1-221-2(2)2x+x2-2

31、x3-2x4=0.x-x2-4x3-3x4=01-2210-4501-30301-3001-2010-4500由r(A)=3=未知数个数，知原方程只有零解.(2)解:1住(-2)_1221-20-3-6-4-3耳3(-1)0-3-6-4221-2-1-40-2120053430 # # # #由r(A)=2v3知原方程组有非零解，且原方程组的解为x2=_2兀_扌耳,令兀3=5无=。2,则得通解为 # 0,(cpc2e/?)101o010000000000当Q=1吋，B=,错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。的公共解为入-1013430X+兀2+=05.设线性方程组v+2x2+ax3=0与

32、方程血+2兀2+心=I有公X+4兀2+Cl2X3=0共解，求d的值及所有公共解.解：因为方程组错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。的公共解，即为联立方程组X+“2+兀3=Xi+2x2+axy=0Xj+4x2+ci2x3=0 x,+2x2+x3=a-11110_101l-a12a00107-114cr000a-lIa121(7-1000(a-1)(7-2)的解对方程组的增广矩阵方施以行初等变换:=B因为方程组有解，所以a=l或22,100o0101001-10000当a=2时,e,错误！未找到引用源。与错误！未0找到引用源。的公共解为1-112-2已知三阶非零矩阵B的每一列都是方程组2-1

33、几x=0的TOC o 1-5 h z31-1解，求：（1）兄的值；（2）网；（3）一个矩阵122解：（1）若记矩阵力=2-12，则由题意可知Ax=O有非零解,31-112-2故由212=0,解得2=1.31-1（2）由（1）知方程组的系数矩阵_12-2_12-200_A=2-110-5501-131-10-55000即4）=2,故方程组Av=O有无穷多个解，但通解表达式中只有3心）=32=1个任意参数，且由通解为0知矩阵B的每i列必为向量1的倍数，即各列对应成比例，故1由行列式性质，知B=o.另解（2）：假设0卜0则B为可逆阵，由题意知AB=O,右乘 # # AnJ得4=O矛厉，所以|b|=0

34、.0000即可.000（3）由（2）的分析，可取矩阵8=113.3非齐次线性方程组1填空题:xA-x2=aAx2-x3=a2（1）线性方程组x3-x4=a3有解的充分必要条件是解：G+冬+色+勺+冬=0一2兀1+兀2+aX3一5勺=1X+兀4=1(2)设方程组“+兀2-勺+加=4与(II)x2-2x4=23+七+兀3+2x4=cx3+x4=-1同解，贝la=,b=,c=.解：a=_l,b=_2,c=4.选择题：(1)设Ax=0是对应加=b的齐次线性方程组，则下列结论正确的是()若/U=0仅有零解，则Ax=b有唯一解；若Ax=Q有非零解，则Ax=b有无穷多解;若Ax=b有无穷多解，则心=0仅有零

35、解;若=b有无穷多解，则Ax=O有非零解.设z矩阵A秩为/，则非齐次线性方程组Ax=b().(A)r=m吋有解；(B)厂=时有唯一解；(C)m=n是有唯一解;(D)rn时有无穷多个解.设A为加xn矩阵,b工0,且r(A)=n，则线性方程组Ax=b().(A)有唯一解；(B)有无穷多解；(C)无解；(D)可能无解.解:(1)D;(2)A;(3)D.Xj+ax2=a设444是互不相同的常数，证明方程组看+兮2=a；无解x+a3x2=aj1勺证：A=1禺a；13由范德蒙德行列式知A=(冏一2)(。3aiKa2_4)工0，故r(A)=3,而r(A)=2,所以由心)工r(A),知方程组无解.X-2x2+

36、X3+兀4=1X2x)+X3兀4=1X-2x2+5耳=5求解下列非齐次线性方程组2兀1+勺+2*3-2x4=3Xi-2x2+3x3-x4=1;(2)3jV-x2+5x3-3x4=2(1)解：由212-231-23-11A1-23-1105-4013-15-3205-40-11-23-1；1_05-40；10000；-2知心)=2工3=刁),故方程组无解.(2)解：由-211;11-2111_1-21-1;-1000-2-21-215:500044_1-210；00001；10000；0知厂(4)=厂(可=24,故方程组有无穷多个解，且有X=2x2+(-1)x3兀11令氐=CnX3=C2，则通解

37、为xi02-1兀20100+q0+C21100心WR)a上取何值吋，线性方程组13-2-1_0132兀2114a111710a+6宀_b_13-2-10_13-2-10_013210132114a1100a-00171067+6b000a-b_4有唯一解、无穷多个解、无解？并在有无穷多个解时求出其通解。当QH1时,r(A)=r(A)=4有唯一解；当a=1且b工4时,r(A)主r(A)无解；当a=1且b=4时，r(A)=r(A)=24有无穷多解,此时,10-11-7-3013210000000000，得所求通解At(1)由，勺沱2R6.问几取何值时方程组有唯一解、无穷多个解吋求出其通解。无穷多个

38、解、无解？并在有(1+A)X1+*2+兀3=0v+(1+A)x2+心二3X+兀2+(1+2)兀3=2解：考虑到系数矩阵是个含所有参数的方阵，且由1+21111111111+几1=(2+3)11+21=(兄+3)020=(2+3)/111+2111+2002可知当几H0且兄H3时，方程有唯一解; ii #1110_110_1113000311100000当几=0时，A=，由心)工価知方程组无解;_-2110_111-2130-311-2-303当几=-3时,-23-3-6J000-1-20 # # # #由心)=r(A)=2v3,知方程组有无穷多个解，且有严=+x2=-2+x3-1-T则通解为兀

39、=-2+C101,（CWR）华东理工大学线性代数作业簿（第五册）学院专业班级学号姓名任课教师4.1向量组的线性相关与线性无关向量组卬=1,3,0,02=5,0,-3,07,岱=2,0,0,线性关解：无.选择题：（1）向量组少,勺，勺线性无关的充分必要条件是（）（A）存在全为零的一组数kl,k2,.,ks,使ka+k2a2+ksas=0；（B）存在不全为零的一组数k,k2,ks,使ka+k2a2+ksas工0；（C）对于任何一组不全为零的数&卡2，.也,都有ka+k2a2+ksas工0；（D）aA,a2,.,as中任意两个向量线性相关.解：（C）. （2）下列命题中正确的是（）（A）若整个向量组

40、线性相关,则必有部分组也线性相关；（B）若整个向量组线性相关,则其中必有零向量；（C）若有一部分组线性无关，则其整个向量组必线性无关；（D）若有一部分组线性相关，则其整个向量组必线性相关.解：（D）.向量0=1,1,1厂能否由下列向量组线性表示？若能，请表示出来.（1）內=1,0,-3，勺=2,0,5，a3=6,0,8r；（2）內=1,一3,0，巾=1,一7,0，旳=，1解：（1）若记矩阵A=，则问题转变为非齐次线性方程组Av=p是否有解，故只需判断r（A）是否等于广（出0）.1261而0二0001,显然心）二2北3二心|0）,故Ax=0无-3581解，即0不能由QiSS线性表示._110r_

41、1002（2）由划0二-3-701010-1得A)二广(4|0),00110011故0能由a】sS线性表示，且0=2tZ_夠+偽已知向量a1=A,2,2r,a2=2,22-1勺=2,3,2+3，0=1,1,22-1，问2取何值时,（1）0可由a】，a2,也线性表示，且表达式唯一?（2）0可由a】，a2,也线性表示，且表达式不唯一?（3）0不可由勺，a2,也线性表示?解：记心血勺旳，则问题转变为判断非齐次方程组Ax=p是否有唯一解，有无穷多个解以及无解.2；1由人|0二；I2A-13；1及A是含参方阵，知可222+3；22-1通过|A|来讨论山=p解的情况.TOC o 1-5 h z222同二2

42、2A-13=A(A-1)(A+1)A2兄+3当几工0且;1工-1且;1工1时，由克拉默法则知Ay=P有唯解，即0可由勺，当兄=0时,0二000勺,唯i线性表示;0001-3；-101-120052 # # 故0不能由aY,a2,a3线性即厂(A)hr(A|0),亦即Ar=p无解,表示;112;r_112;r2=1时，0二113;1001；0114;1000；0即二广(出0)二23,亦即Ax=p有无穷多个解，故0可由a.a2.a3)不唯-，地线性表示；2=-1吋，-1-12:111-2；-I-0二-1-33;10-21；0-1-12一3000；-4即r(A)hr(A|/?),故0不能由alya2

43、,a3线性表示；综合上述得：当兄工0且兄工一1且无工1时,即0可由al,a2,a3唯一线性表示当2=1时，0可由a,a2,a3线性表示，且表达式不唯一；当2=0或2=-1时，0不可由內,勺卫3线性表示。设向量组al,a2,.,an中，前农-1个向量线性相关，后并一1个向量线性无关，试讨论：(1)aA能否用a2,线性表示；匕能否用內s,一1线性表示；解：(1)因为后-1个向量线性无关,也就是向量勺,勺，勺线性无关，所以如也，线性无关;又因为前料-1个向量线性相关，即。“一1线性相关，所以Q1能用a2,.,an_线性表示；(2)反证法.假设a”可以用aqs，S-1线性表示，由可知a“可以用如1线性

44、表示,也就是a2,a39.,an线性相关，与题设矛盾所以勺不能用內。2,勺-1线性表示.判别下列各组向量的线性相关性:(2)_17_3_629一8015-2-6,Ctj=0,ct9,勺00023016_23一15-5_少=-12,O(2=-49OC=16,勺=6330279o-(1)aA=0,a2=0-10 # # 0解：(1)因为存在人=0及=1使得kal+k2a2=0成立，所0以这两向量线性相关.解：(2)观察后，将这四个向量重新排列，构造矩阵A=a2,a4,al9a3=29-20178-6，则因为心)=4,知此四个向00023量线性无关.很明显，这是4个三维向量，将它们排列成一个矩阵后，

45、矩阵的秩最多为30012L0-2/53-a # ,0依题意，则有二AC其中C为H阶方阵，而c=,n为偶数吋2,为奇数时若3,向量组线性相关;若。工3,向量组线性无关.已知向量组aa2,.,a”线性无关，且01二4+2,/32=a2+a3,.pn-an+a试讨论fln,的线性相关性解:记矩阵A=a15a25.,an,B=血02,8=岡,02,.,0二。142,.,弘性无关知矩阵A满秩，所以当为偶数时，即C为降秩阵吋，由BAC及r(B)niinr(A)?r(C)an的线性无关.&设A为mxn矩阵，B为nxin矩阵，求证：(1)如果mn,则AB=0；(2)女D果加5且AB=Z,则r(B)=m.证：(

46、1)由矩阵秩的理论，可知r(A)n,r(B)mintn,n=n以及r(AB)niinr(A),r(B),于是r(AB)n,而AB是加xth矩阵,故由加n知AB是降秩阵，即AB=0；(2)若mn,则一方面r(B)minw,n=m；另一方面由r(/)=r(AB)r(B)及AB是mxm矩阵知有mr(A+/)+r(A-/)-n,即r(A+/)+r(A-I)-n0,另一方面n=r(2/)=r(A+/)+(/-A)/?,综合可得r(A+/)+厂(A/)=设向量组內,勺，匕线性无关，向量人可由这组向量线性表示，而向量02不能由这组向量线性表示，证明：向量组內卫2,+02必线性无关(其中C为常数).证明：设存

47、在常数k使得klal+k2a2+knan+k(c0+0?)=0则一定有k=0,否则,角就可以由匕皿0、线性表示，进而可以由的，如，线性表示,这与题设矛盾，故鸟=0,即ka+k2a2+=0又因为向量组aa2,.9an线性无关,所以有k=k2=.=kn=0.(1) #=刮到当味*H82H”严HH0耳s(1) #Fal+L3+kg-+=(c+0270注w“可WZFLR2:azc+t空H?出卅. (1) #华东理工大学线性代数作业簿(第六册)学院专业班级学号姓名任课教师4.3向量空间设人为6阶方阵A的伴随矩阵，则当A的秩为2吋，齐次线性方程组=0的解空间的维数为，而当A的秩为5时，齐次线性方程组45=

48、0的解空间的维数为.解：6；5.设才为(772)阶方阵A的伴随矩阵，设对任意的维向量X均有A=0,则齐次方程组Ax=0的基础解系中所含向量个数k满足()(A)k=n；(B)k=1；*=0；(D)*1.解：D.设A为料阶矩阵,若r(A)=n-3f且a,a2,a3为Ax=0的三个线性无关的解向量，则下列各组中为山=0的基础解系是().(A)-a1,a1-a3,a3-a；(B)宓心一碣心一色+色；(C)2+也,勺,0；(D)匕，3弓+再,一2解：B.、T设Vj=,v,=x=,x2,x3rxA+x2+x=-1,x,e/?,/=1,2,3问疋的这两个子集，对疋的线性运算是否构成向量空间，为什么？解：按向

49、量空间理论，只需验证每个子集对疋的线性运算是否满足封闭性.先看，Vx=x15x2x3r,），=北*2，儿%，及常数k,有x+y=心+y1,x2+y2,x3+儿了及（“+比）+（兀2+%）+（可+3）=（“+兀2+兀3）+（儿+%+）3）=0+0=0即对加法满足封闭性；而kx=kxl,kx2,kx3r,及kx+g+kx3=kg+笔+心）二0亦即对数乘满足封闭性，故构成向量空间.再看岭，Vx,yeV2,有x+y=x+y,x2+y2,x3+）,但（x1+y1）+（x24-y2）+（x3+y3）=（x14-x2+x3）+（y1+y2+y3）=-l-l=-2即x+）陀岭，亦即对加法不满足封闭性，故岭不构

50、成向量空间.试求由內，a2,勺生成的向量空间V二期（Q,a2,a3）的一个基及V的维数dimV,其中a严1,2,-3,0丫，勺=-1,-1,5,2,3=0,1,-2,2解：由于V是向量组少，MS的生成子空间，故V的基及维数完全等价于向量组同,勺，勺的最大无关组及秩.由12-30-1-35201-2-210-30-1-15201-2-21000-1-12201-2-21000-11000-100知可取为V的一个基,且dimV=2.6.已知一个四维向量组Q严1,3,-2,1,a2=0,-l,5,2r, (1) #T丁3=3,8,-1,5,a4=1,6,-17,-5,(1)求aa2,a3,a4的一个

51、最大无关组及秩；(2)将其余向量用这个最大无关组来线性表示；知(1)解：构造矩阵并进行初等行变换，由(2)由初等行变换的结果矩阵010031001-300kisss二1031103110313-1860-1-13011-3-25-1-17*055-150000_125-5022-6|_0000秩为2,可取，勺为一个最大无关组;a3=3a+a2,a4=a-.求下列齐次线性方程组的基础解系(1)2兀1-x2+4x3-3x4=0X+兀一耳=3X+x2+x3=07召+7x3-3x4=0(2)nx+(n一l)x2+2兀+xn=0.2-14-3_1010_101-101-20311000017073_00

52、00解：(1)由力=即r(A)=34,知方程组有非零解，且基础解系中含有4-厂(4)二1个线性无关解向量.解为x2=2x3,即知基础解系为=-1,2,1,0“=0解：(2)显然方程组有非零解，且基础解系中含-1个线性无关解向量，由解为x”=-nx-(77-l)x2-.-2x/j_1,即知基础解系&设A是阶方阵，试证r(AM)=r(An+1).100100-，“2=-00-771-n000z7/i-i=1-2证：我们通过证明=0与/TG=0是同解方程组来说明问题.显然,化=0的解都是4曲兀=0的解,下证AM+1x=0的解兀是A”x=O的解.否则，若从心0,考虑向量组兀山异比异”-比仇,若kQx+

53、kAx+k2A2x+kn_Anx+knA,lx=0(*)在上式两边左乘A,利用An+ix=An+2x=.=A2nx=Q,得kQAnx=0,而AkzO,故必有心二0,此吋，(*)式变为kAx4-k2A2x+kn_tAnlx+knAnx=0,再用人心兀左乘上式两端，必得k严0,依次类推，最终必有k0=k2=.=kn_=kn=0,这说明n+1个向量x,Ax,A2x,AAx是线性无关的，而这显然与J+1个斤维向量必线性相关”矛盾，故说明假设错误，即只有A、=0综合上述，知Ax=0与A,+1x=0同解，进而有r(An)=r(A,l+l).4.4线性方程组解的结构1填空题已知非齐次线性方程组Ax=b有通解

54、表达式x=2,3,6,-5p+0,5,5,3(reR),则r(A)=.解：3.设A是3阶方阵，r(A)=2,且人中每行元素Z和均为零，则齐次线性方程组Ax=0的通解为解：x=(c,c,c)r,ce/?.(3)已知勺忆2点为非齐次线性方程组的三个解，又刍+=(3,0,if,3=(2,-1,0)且r(A)=2,则Ax=b的通解为.解：x=(l,-2,-l)rc+(2,-1,0)r,ce/?.2.设a,a2,a3为Ax=b的解，则()是Ax=0的解.(A)a】+久+勺；(B)2a+3a2-Sa3；(C)al+a-a3；(D)ai-a1-ay.解：B.3已知非齐次线性方程组系数矩阵的秩为2,又已知该非

55、齐次线性方程组的三个解向量为x严1,-1,-2,3丫，x2=3,2,0,-47,x3=l,-5,3,lf,试求该方程组的通解.解：由方程组未知数个数为4及系数矩阵的秩为2,知其对应的齐次线性方程组的基础解系中只含两个线性无关解向量，再由“非齐次线性方程组两个解的差必为对应的齐次线性方程组的解”，以及不-兀2=-2,-3,-2,7,x1-x3=0,4-5,2r线性无关.知非齐次线性方程组的通解等于它自身的-个特解加上它对应的齐次线性方程组的通解，即通解=“+C(X-兀2)+5(兀-兀3)=b-1，-2,3+q-2,-3，2,7+c20,4?5,2e町.4.设非齐次线性方程Ax=b的系数矩阵的秩r

56、(Ax3)=2，加2是该方程组的两个解，且有弘+2=2,-1,1厂，3弘+52=-6,0,5丁，求该方程组的通解.解：依题意，非齐次线性方程组对应的齐次线性方程组的基础解系中只含3汀（A）二1个解向量，按照非齐次线性方程组与其对应的齐次线性方程组两者解的结构及相互关系，可取寺（1+2）为山=b的一个特解可取（31+5%）-（弘+帀2）为2o2对应的齐次线性方程组的基础解系，则Axb的通解为=A（l+772）+C6（31+52）一恳（1+2）ZOZ1一丄丄1+C711L22L428j(ceR).5.已知向量,7为Amxnx=bflJn-r+1个线性无关解,且r（A）-r.试证：%一o，久“一o为

57、Ar=0的一个基础解系；（2）Ax=b的通解可由,班，,，线性表示,且系数和为1.证：依题意，只要证明-0，2-0，T-0是山=0的线性无关的解向量即可，而它们是AX二0的解向量很显然，故下证-0，2-0，0线性无关考虑k（1一0）+込（2-0）+/-（心一0）二0，即-（人+心+心）0+/1+心2+匕-二，由0，1，2，“一线性无关，知必有（k+k?+kn_r）=0TOC o 1-5 h zk1=0k2=0kn.r=0故而7办一o，2-7/（），7血_”一0线性无关.证：（2）由解的结构知的通解为k（1一0）+比2（7?2-0）+k,i（7乙_一0）+0二1-（人+人“）371+2%+-+n

58、-r%-r且其系数和为1-4.5向量的内积1将向量组Q严1,1,17,勺=2,0,0旳=1,1,of规范正交化.解：利用施密特正交化公式，即得0严內=1,1,1P2=a2-501A=i,Mr-|2,o,or=42_2333502厂12ol-l22再进行单位化，即得 # #(1) # # #(1) #2.已知勺，a2,旳为维规范正交向量组，且01二2q+2勺+ # (1) #兄勺，/?2=2-22a2+2a3,问2为何值时，向量0】，0?正交？当它们正交时,求出|0，|肉|解：正交即内积为零，为使0,02正交，必有=0,也即V01,02=0i02=(2q+2a、+ACt)T(2q2/12+Ttt

59、tT2T=4da+4a2+2Aa3aL一4Aaa2一4Aa2a2-2Acr3a2+2Aa/a3+2Aa2a3+A2a7a3=4-42+22=(2-2)2=0(注意，化简过程中利用了5,&2，如为规范正交向量组)，故当兄=2吋，炖正交.此时,0=2內+2a2+2勺,02=2d-4a2+2a39于是|A|=V=7=V22+22+22=2V3IIA|=02,02=WK=Q+(-4)2+T=2苗3.已知两个正交单位向量=勺=(-爲厂新，试求列向量匕使得以，勺，匕为列向量组成的矩阵Q是正交矩阵.解：依题意，所求的向量勺应该满足，TOC o 1-5 h z丁TaAa3=0,a2a3=0,a3=1.设向量a

60、3=(x1?x2,x3),由a/a3=0,aa3=0有$/9叶(8/9)皆(4/9心0;44(8/9)不+(1/9)吃(4/9)吃=0173-73 #(1) #再利用阳2=彳+X；+E=1得：“3=于是所求的向量为(1) #华东理工大学线性代数作业簿(第七册)学院学号专业班级姓名任课教师5.1方阵的特征值与特征向量1.选择题(1)设几为方阵4的特征值，则().矩阵A的对应特征值几的所有特征向量构成一个向量空间;矩阵A的对应特征值几的特征向量一定有无穷多个；对应特征值几的特征子空间的维数等于矩阵(力-刀)的秩；矩阵(A-刀)一定可逆.解:B.若歹是对应几的特征向量,那么猪(0)也是对应兄的特征向