中考数学专题复习三方案设计问题国华教育

1、2015年中考第二轮复习5月13日距离中考只剩下42天了！第35课时专题突破：方案设计型问题考点一 方程、不等式型方案设计方程、不等式型方案设计常见的两种类型1.方程(组)型方案设计:根据题意,列出方程(组),通过求其整数解,确定设计方案.2.方程、不等式综合型方案设计:根据题意,列出方程及不等式(组),通过解方程、不等式,求出其整数解,确定设计方案.【例1】(2014益阳中考)某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A,B两种型号的电风扇,下表是近两周的销售情况:(进价、售价均保持不变,利润=销售收入-进货成本)(1)求A,B两种型号的电风扇的销售单价.(2)若超市准备用不多于540

2、0元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台,求A种型号的电风扇最多能采购多少台?(3)在(2)的条件下,超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标,若能,请给出相应的采购方案;若不能,请说明理由.【思路点拨】(1)设A,B两种型号的电风扇销售单价分别为x元,y元,根据3台A种型号5台B种型号的电风扇收入1800元,4台A种型号、10台B种型号的电风扇收入3100元,列方程组求解.(2)设采购A种型号电风扇a台,则采购B种型号电风扇(30-a)台,根据金额不多于5400元,列不等式求解.(3)设利润为1400元,列方程求出a的值为20,不符合(2)的条件,可知不能实现目标.【特别提醒

3、】1.不等式(组)的正整数解,在确定实际问题的方案中起着至关重要的作用.2.通过计算、比较,确定解决实际问题的最优方案.国华中考过关演练P132第2题国华中考过关演练国华中考过关演练国华中考过关演练【对点训练】1.(2014滨州中考)王芳同学到文具店购买中性笔和笔记本.中性笔每支元,笔记本每本元,王芳带了10元钱,则可供她选择的购买方案的个数为(两样都买,余下的钱少于元) ()【解析】选B.设王芳购买中性笔x支,笔记本y本,根据题意,得0.8x+1.2y10.如果只买笔记本的话,最多买8本,y8.当y=8时,10-1.28=0.4320，购买A商品6件，B商品4件的费用最低.答：有两种购买方案

4、，方案一：购买A商品5件，B商品5件；方案二：购买A商品6件，B商品4件.其中方案二费用最低.4.(2014嘉兴中考)某汽车专卖店销售A,B两种型号的新能源汽车.上周售出1辆A型车和3辆B型车,销售额为96万元;本周已售出2辆A型车和1辆B型车,销售额为62万元.(1)求每辆A型车和B型车的售价各为多少元.(2)甲公司拟向该店购买A,B两种型号的新能源汽车共6辆,购车费不少于130万元,且不超过140万元.则有哪几种购车方案?【解析】(1)设每辆A型车的售价为x万元，每辆B型车的售价为y万元.由题意得解得答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元.(2)设购买A型车a辆，则购买

5、B型车(6-a)辆.由题意得解得a是正整数，a=2或a=3.共有两种方案.方案一：购买2辆A型车和4辆B型车.方案二：购买3辆A型车和3辆B型车.考点二 函数型方案设计函数型方案设计常见的三种类型1.根据一次函数性质确定最优方案:首先根据题意,列出两个变量的一次函数解析式;再根据题意,列出不等式组,利用一次函数的增减性确定有最大值(或最小值)的方案.2.列出两个函数解析式,确定最优方案:根据题意(或函数图象),列出两个函数解析式,通过求方程(组)的解,确定最佳方案.3.比较函数值,确定最优方案:根据题意,列出两个一次函数解析式,通过比较函数值的大小确定最优方案.【例2】(2013宿迁中考)某公

6、司有甲种原料260kg,乙种原料270kg,计划用这两种原料生产A,B两种产品共40件.生产每件A种产品需甲种原料8kg,乙种原料5kg,可获利润900元;生产每件B种产品需甲种原料4kg,乙种原料9kg,可获利润1100元.设安排生产A种产品x件.(1)完成下表:(2)安排生产A,B两种产品的件数有几种方案?试说明理由.(3)设生产这批40件产品共可获利润y元,将y表示成x的函数,并求出最大利润.【思路点拨】(1)根据每件产品所需要的原料数某种产品的件数,可填好表格中的空格.(2)根据两种产品所需要某种原料数的总和不超过公司现有某种原料数,列出不等式组,求出不等式组的整数解即可.(3)根据题

7、意,列出y与x之间的函数关系式,再根据一次函数的性质分别算出三种生产方案的利润,即可求得最大利润.【自主解答】(1)(2)由题意得此不等式组的解集为22.5x25，x为整数，x23，24，25，此时，40-x的值相应为17，16，15.答：安排生产A，B两种产品的件数有3种方案：(A，B)(23，17)，(24，16)，(25，15).(3)由题意得y900 x1 100(40-x)-200 x44 000，即y-200 x44 000，因为k-2000，23x25，所以当x23时，y最大值-2002344 00039 400(元).答：y与x的函数关系式为y-200 x44 000，最大利润

8、为39 400元.【对点训练】1.(2013山西中考)某校实行学案式教学,需印制若干份数学学案.印刷厂有甲、乙两种收费方式,除按印数收取印刷费外,甲种方式还需收取制版费而乙种不需要.两种印刷方式的费用y(元)与印刷份数x(份)之间的函数关系如图所示:(1)填空:甲种收费方式的函数关系式是.乙种收费方式的函数关系式是.(2)该校某年级每次需印制100450(含100和450)份学案,选择哪种印刷方式较合算.【解析】(1)y=0.1x+6,y=0.12x.(2)由0.1x+60.12x,得x300,由0.1x+6=0.12x,得x=300,由0.1x+6300,由此可知,当100 x300时,选择

9、乙种方式较合算;当x=300时,选择甲、乙两种方式都可以;当300 x450时,选择甲种方式较合算.2.(2014常德中考)在体育局的策划下,市体育馆将组织明星篮球赛,为此体育局推出两种购票方案(设购票张数为x,购票总价为y):方案一:提供8000元赞助后,每张票的票价为50元;方案二:票价按图中的折线OAB所表示的函数关系确定.(1)若购买120张票时,按方案一和方案二分别应付的购票款是多少?(2)求方案二中y与x的函数解析式.(3)至少买多少张票时选择方案一比较合算?【解析】(1)按方案一购120张票时,y=8000+50120=14000(元);按方案二购120张票时,由图知y=1320

10、0(元).(2)当0100时,设y=kx+b,解得k=60,b=6000,y=60 x+6000.综上得(3)由(1)知,购120张票时,按方案一购票不合算.即选择方案一比较合算时,x应超过120.设至少购买x张票时选择方案一比较合算,则应有8000+50 x60 x+6000,解得:x200(张).至少买200张时选方案一比较合算.考点三 几何图形型方案设计几何图形型方案设计问题常见的两种类型1.几何图形分割与拼接方案设计:把一个几何图形按某种要求分成几个图形,这是图形的分割.反过来,按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形,这是图形的拼接.在图形的分割、拼接过程中,都要结合所提供的图

11、形特点来思考.2.图案设计方案:以某一个图案为基础,利用中心对称、轴对称的性质设计优美图案.由于思考的角度不同,审美观各异,设计出的图案是不唯一的.【例3】(2013无锡中考)下面给出的正多边形的边长都是20cm.请分别按下列要求设计一种剪拼方法(用虚线表示你的设计方案,把剪拼线段用粗黑实线,在图中标注出必要的符号和数据,并作简要说明.(1)将图1中的正方形纸片剪拼成一个底面是正方形的直四棱柱模型,使它的表面积与原正方形面积相等.(2)将图2中的正三角形纸片剪拼成一个底面是正三角形的直三棱柱模型,使它的表面积与原正三角形的面积相等.(3)将图3中的正五边形纸片剪拼成一个底面是正五边形的直五棱柱

12、模型,使它的表面积与原正五边形的面积相等.【思路点拨】(1)在正方形四个角上分别剪下一个边长为5的小正方形,拼成一个正方形作为直四棱柱的底面即可.(2)在正三角形的每一角上找出到顶点距离是5的点,然后作边的垂线,剪下后拼成一个正三角形,作为直三棱柱的一个底面即可.(3)在正五边形的每一角上找出到顶点距离是5的点,然后作边的垂线,剪下后拼成一个正五边形,作为直五棱柱的一个底面即可.【自主解答】(1)如图1,沿黑线剪开,把剪下的四个小正方形拼成一个正方形,再沿虚线折叠即可.(2)如图2,沿黑线剪开,把剪下的三部分拼成一个正三角形,再沿虚线折叠即可.(3)如图3,沿黑线剪开,把剪下的五部分拼成一个正

13、五边形,再沿虚线折叠即可.【特别提醒】(1)拼接出的多边形边数一定要与要求相符合.(2)网格中作图,要充分利用网格中直角、小正方形的边长.(3)几何图形的方案设计,答案往往不唯一,只要给出符合要求的其中之一即可.【对点训练】1.(2013宁波中考)下列四张正方形硬纸片,剪去阴影部分后,如果沿虚线折叠,可以围成一个封闭的长方体包装盒的是()【解析】选、剪去阴影部分后,组成无盖的正方体,故此选项不合题意;B、剪去阴影部分后,无法组成长方体,故此选项不合题意;C、剪去阴影部分后,能组成长方体,故此选项正确;D、剪去阴影部分后,组成无盖的正方体,故此选项不合题意;故选C.2.(2014宁波中考)木匠黄

14、师傅用长AB=3,宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面,他设计了四种方案:方案一:直接锯一个半径最大的圆;方案二:圆心O1,O2分别在CD,AB上,半径分别是O1C,O2A,锯两个外切的半圆拼成一个圆;方案三:沿对角线AC将矩形锯成两个三角形,适当平移三角形并锯一个最大的圆;方案四:锯一块小矩形BCEF拼接到矩形AFED下面,并利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆.(1)写出方案一中的圆的半径;(2)通过计算说明方案二和方案三中,哪个圆的半径较大?(3)在方案四中,设CE=x(0 x1),圆的半径为y,求y关于x的函数解析式;当x取何值时圆的半径最大?最大半径是多少?并说明四种方案中,哪一

15、个圆形桌面的半径最大?【解题指南】求方案二中的半径是应用方程思想,借助勾股定理求解.方案三中,连接OG,应用相似求解;方案四中分0 x , x1两种情况求解.【解析】(1)方案一中圆的半径为1.(2)方案二如图,连O1O2,作EO1AB于E,设O1C=x,那么(2x)2=22+(3-2x)2,解得方案三:连OG,OGCD,D=90,OGDE,CGOCDE,设OG=y,方案三的圆半径较大.(3)当0 x 时，当 x1时,注：以下写法同样给分当x= 时y最大，y最大=四种方案中，第四种方案圆形桌面的半径最大.考点四 测量方案型设计问题测量方案型设计问题常见的三种类型1.测量物体高度方案设计:理解俯

16、角、仰角的定义,分析图形:根据题意构造直角三角形.并结合图形利用三角函数,应用解直角三角形的关系解决问题.2.测量物体宽度方案设计:理解方向角或方位角,由题意构建直角三角形,运用三角函数解直角三角形.3.测量物体深度方案设计:根据题意作出辅助线,构造出相似三角形(或直角三角形),运用相似三角形性质(或三角函数)解答实际问题.【例4】(2014绍兴中考)九(1)班同学在上学期的社会实践活动中,对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量.(1)如图1,第一小组用一根木条CD斜靠在护墙上,使得DB与CB的长度相等,如果测量得到CDB=38,求护墙与地面的倾斜角的度数.(2)如图2,第二小组用皮尺量得EF为

17、16米(E为护墙上的端点),EF的中点离地面FB的高度为米,请你求出E点离地面FB的高度.(3)如图3,第三小组利用第一、二小组的结果,来测量护墙上旗杆的高度,在点P测得旗杆顶端A的仰角为45,向前走4米到达Q点,测得A的仰角为60,求旗杆AE的高度(精确到米).(备用数据:tan601.732,tan300.577, 1.732, 1.414)【思路点拨】应用(1)的结果及相似,求出护墙的高度,在两个直角三角形中表示点A到地面的高度,列方程求解.【自主解答】(1)=76.(2)过点E作EGFB,垂足为G,过EF的中点O作OHFB,垂足为H,如图甲.OH=1.9,EG=2OH=3.8,E点离地

18、面FB的高度为米.(3)延长AE交直线PB于G，如图乙，设AG=x，在RtQAG中，在RtPAG中，PQ+QG=PG,解得x9.46,AE5.7,旗杆AE的高度是米.【对点训练】1.(2014黔东南中考)黔东南州某校九年级某班开展数学活动,小明和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆,小明站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45,小军站在点D测得旗杆顶端E点的仰角为30,已知小明和小军相距(BD)6米,小明的身高米,小军的身高米,求旗杆的高EF的长.(结果精确到0.1,参考数据: 1.41, 1.73)【解析】过点A作AMEF于M,过点C作CNEF于N,MN=0.25m,EAM=45,AM=ME.设AM=ME=xm,则CN=(x+6)m,EN=(x-0.25)m,ECN=30,解得x8.8,则EF=EM+MF8.8+1.5=10.3(m).答:旗杆的高EF约为10.3m.【变式训练】(2013襄阳中考)如图,在数学活动课中,小敏为了测量校园内旗杆AB的高度,站在教学楼上的C处测得旗杆底端B的俯角为45,测得旗杆顶端A的仰角为30,如旗杆与教学楼的水平距离CD为9m,则旗杆的高度是多少?(结果保留根号)【解析】在RtACD中，在RtBCD中，答：旗杆的高度是2.(2014陕西中考)某一天,小明和小亮来到一河边,想用遮阳