高中数学必修二 8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系（精讲）(含答案)

1、8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系(精讲)思维导图常见考法考点一 平面及其性质【例1】(2021上海松江)下列命题中是真命题的是( )A四边形一定是平面图形B空间一个点与一条直线可以确定一个平面C一个平面的面积可以为10D相交于同一点的四条直线最多可以确定6个平面【答案】D【解析】四边形可以为平面图形，也可以为空间四边形，故A不正确；空间一条直线与直线外一点可以确定一个平面，故B不正确；平面是无限延展的，所以平面的面积不可以为10，故C不正确；相交于同一点的四条直线，当任三条直线不共面时，可以确定6个平面，故D正确.故选：D【一隅三反】1(2021上海金山高二期末)下列条件中能确定一个平

2、面的是( )A空间任意三个点 B空间相交于一点的三条直线C两条平行直线 D一条直线和一个点【答案】C【解析】对于A，若三点共线，则三点无法确定一个平面，A错误；对于B，空间中相交于一点的三条直线，可能确定一个平面，也可能确定三个不同的平面，B错误；对于C，两条平行直线可以确定唯一的一个平面，C正确；对于D，若一个点在直线上，则无法确定一个平面，D错误.故选：C.2(3021年广东湛江)下列命题中正确命题的个数是()三角形是平面图形； 四边形是平面图形；四边相等的四边形是平面图形；圆是平面图形A1 B2C3 D4【答案】B【解析】根据基本事实3可知正确，错误故选B.3(2021全国课时练习)经过

3、一点可作_个平面，经过两点可作_个平面，经过三点可作_个平面，经过不共面的四点可作_个平面.【答案】无数 无数 一或无数 4四 【解析】经过一点可作无数个平面，经过两点可作无数个平面，经过三点,若三点不在一条直线上，可作一个平面，若三点在一条直线上可作无数个平面，故经过三点可作一或无数个平面经过不共面的四点，任取3点可作一个平面，一共可作4个平面.故答案为：无数；无数；一或无数；4.考点二 数学符号的表示【例2】(2021四川射洪)如图所示，点、线、面之间的数学符号语言关系为( )A，B，C，D，【答案】B【解析】由图可知，.故选：B.【一隅三反】1(2021全国课时练习)“直线a经过平面外一

4、点P”用符号表示为( )A，BC，D，【答案】C【解析】“直线a经过平面外一点P”用符号表示为，.故选：C.2(2021四川)若点在直线上，在平面内，则，之间的关系可记作( )ABCD【答案】B【解析】因为点Q(元素)在直线b(集合)上,所以.又因为直线b(集合)在平面(集合)内,所以.所以.故选：B3(2021全国课时练习)下列关于点、线和面的关系表示错误的是( )A点平面B直线平面C直线平面D平面平面【答案】A【解析】根据点，线，面的位置关系的符号表示，可知A.错误，应改为点平面；BCD.正确.故选：A考点三 3个基本事实【例3】(2021全国高一课时练习)如图，正方体中，分别为，的中点(

5、1)求证：，四点共面；(2)若，与平面交于点，求证：三点共线【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】证明：(1)连接，在正方体中，分别为，的中点，是的中位线，又因为，四边形为梯形，即，四点共面(2)在正方体中，是平面与平面的交线，又因为交平面于点，是平面与平面的一个公共点因为两平面相交的所有公共点都在这两个平面的交线上，三点共线【一隅三反】1(2021全国高一课时练习)(多选)以下四个命题中，不正确的命题是( )A不共面的四点中，其中任意三点不共线B若点共面，点共面，则共面C若直线共面，直线共面，则直线共面D依次首尾相接的四条线段必共面【答案】BCD【解析】选项：若任意三点共线，则

6、由该直线与第四个点可构成一个平面，则与四点不共面矛盾，则任意三点不共线，正确；选项：若三点共线，直线与直线异面，此时不共面，错误；选项：共面，共面，此时可为异面直线，错误；选项：依次首尾相接的四条线段可构成空间四边形，错误.故选：BCD2(2021上海浦东新高二期中)下列命题：(1)若空间四点共面，则其中必有三点共线；(2)若空间有三点共线，则此四点必共面；(3)若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面；(4)若空间四点不共面，则其中任意三点不共线.其中正确的命题有( )个.A0B1C2D3【答案】C【解析】对于，空间四点共面，如平面四边形，其中任何三点不共线；故错误；对于，空间四点中有三点

7、共线，根据不共线的三点确定一个平面，得到此四点必共面；故正确；对于，空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面，如平面四边形；故错误；对于，空间四点不共面，如果任意三点有共线的，那么此四个点就共面，与已知矛盾故正确，所以正确的命题有2个.故选：C.3(2021全国高一课时练习)如图，不共面的四边形ABBA，BCCB，CAAC都是梯形求证：三条直线AA，BB，CC相交于一点【答案】证明见解析【解析】因为在梯形ABBA中，ABAB，所以AA，BB在同一平面AB内设直线AA，BB相交于点P，如图所示同理BB，CC同在平面BC内，CC，AA同在平面AC内因为PAA，AA平面AC，所以P平面AC同理点P

8、平面BC，所以点P在平面AC与平面BC的交线上，而平面AC平面BC=CC，故点P直线CC，即三条直线AA，BB，CC相交于一点4(2021山东邹城高一期中)已知正方体，分别是棱，的中点()画出平面与平面的交线，并说明理由；()设为直线与平面的交点，求证：，三点共线【答案】()答案见解析；()证明见解析.【解析】()如图所示，直线即为平面与平面的交线，理由如下：在正方体中，分别是棱，的中点，平面，平面，且与不平行，在平面内分别延长，则与必相交于一点，不妨设为点，平面，平面，平面，平面，即为平面和平面的公共点，又为平面和平面的公共点，连接，直线即为平面与平面的交线()证明：如图所示，在正方体中，且

9、，四边形为平行四边形，为直线与平面的交点，又平面，平面，又平面，平面平面，三点共线5(2021全国高一课时练习)在三棱锥中，分别是线段的中点，分别是线段上的点，且.求证:(1)四边形是梯形；(2)三条直线相交于同一点.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)分别是边的中点，由得：，且，且，四边形是梯形.(2)由(1)知：相交，设，平面，平面，同理可得：平面，又平面平面，和的交点在直线上，三条直线相交于同一点.考点四 点线面的位置关系【例4】(2021全国高一课时练习)已知，是平面，是直线，若，则( )ABCD【答案】A【解析】因为，所以，由，可得且，所以且，因为，所以，故选项

10、A正确，选项B不正确；因为，所以、有公共点，故选项C不正确；因为，所以，因为，所以与有公共点，故选项D不正确；故选：A.【一隅三反】1(2021全国高一课时练习)在三棱锥A-BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EFHG=P，则点P( )A一定在直线BD上 B一定在直线AC上C在直线AC或BD上 D不在直线AC上，也不在直线BD上【答案】B【解析】如图，EF平面ABC，HG平面ACD，EFHG=P，P平面ABC，P平面ACD又平面ABC平面ACD=AC，PAC.故选：B2(2021全国高三专题练习)正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，

11、则直线A1B与直线EF的位置关系是( )A相交B异面C平行D垂直【答案】A【解析】如图所示，连接与交于点F，由题意，易得四边形是平行四边形，在平行四边形中，E，F分别是线段的中点，又且共面，则直线与直线相交.故选：A.3(2021重庆合川高二开学考试)下面表述与结论都正确的是( )A，B，C，D，【答案】C【解析】对，所以直线在平面内，即，故错误；对，直线在平面内，应为，故错误；对，故正确；对，有可能，故错误故选：4(2021全国高二课时练习)在空间四边形中，点E，F，G，H分别在，上，若直线与相交于点P，则点P与直线的关系是_.【答案】【解析】由题意，而面，面，面，面，而面面，.故答案为：考

12、点五 异面直线所成的角【例5】(2021四川眉山)在正四面体中，E，F分别为SCAB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于( )A30B45C60D90【答案】B【解析】取AC中点G，连接EG，GF，因为E，F分别为SCAB的中点，所以 ，GEF为异面直线EF与SA所成的角，因为，所以，又，所以，所以GEF为等腰直角三角形，故GEF=45故选：B.【一隅三反】1(2021辽宁沈阳 )已知在正四面体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为( )ABCD【答案】C【解析】如图，设正四面体的棱长为2，取的中点，连接，是的中点，是直线与所成的角(或其补角)，设的中点为，则，在中，直线与所成角的余弦值为故选：C2(2021辽宁沈阳)在正方体中，是棱AB上的点，且，G，F分别是棱，BC的中点，则异面直线与EF所成角的余弦值为( )ABCD【答案】D【解析】由题设，若为底面中心，分别是的四等分点，且，如下图示：由正方体的性质易知：必过点且，连接有，直线与E