2011年全国数学建模竞赛试卷

1、2011 高教社杯大学生数学建模竞赛承诺书仔细阅读了学生数学建模竞赛的竞赛规则.完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子邮件、网上等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、与赛题有关。知道别人的成果是竞赛规则的, 如果别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文处和参考文献中明确列出。郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。竞赛规则的行为，受到严肃处理。参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： A的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：08031所属学校（请填写完整的全名）： 哈尔滨工程大学参赛队员 (打

2、印并签名) ：1.2.3.赢(打印并签名)：指导教师或指导教师组日期： 2011 年 09 月 12 日赛区评阅（由赛区评阅前进行）：080312009 高教社杯大学生数学建模竞赛页赛区评阅（由赛区评阅前进行）：赛区评阅（可供赛区评阅时使用）：（由赛区送交前）：评阅（由评阅前进行）：评阅人评分备注城市表层土壤重金属污染分析摘要本文建立数学模型，分析了城市表层土壤重金属污染情况，解决了确定污染源位置、确定空间任意一点的重金属污染物浓度以及该模型的优化推广。对于问题 1 和 2，利用对采样点的位置、海拔高度及其所属功能区以及8 种主要重金属元素在采样点处的浓度进行分析，运用插值法绘图给出了 8 种

3、主要重金属元素在该城区的空间分布，并通过对图和数据的统计，分析了重金属元素在该城区内不同区域的污染程度和造成污染的主要原因是工业废物和汽车尾气排放。对于问题 3，斯分布，根据结合 8 种主要重金属元素的背景值，得知重金属浓度分布基本符合高特性建立重金属污染物的数学模型。根据实际测量数据进行多点的污染源数据匹配，可以将模型求解并得出主要源的位置，如：As 污染源：（x=4742，y=7293，z=9，浓度=21.87）（12696，3024，27，23.72）（19007， 11488，84，30.13），Ni 污染源：（3299，6018，4，142.5）（22193，12185，79，74.

4、03），利用作出所得数学模型方程的图像，与由实际测量的浓度分布图相比较，检验出该数学模型可靠度和灵敏度均较高。再根据得出的适用于各重金属污染物的方程，计算出空间任意点的重金属浓度。对于问题 4，该模型的优点在于物理意义明确，形式简单，模拟的精确度较高；同时了其缺点是由于现有数据考虑不够全面，如：该模型未考虑在扩散过程中的沉淀效应和风速等对污染物浓度的影响，由于没有重金属元素随时间的演变的相关数据，此模型只能描述重金属元素在空间的分布。为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应参考标准偏差的竖直方向的参考值、由沉淀或植被阻挡情况造成的损失、风速以及各采样点在不同时刻的样本数据值。关键字：重金属污染

5、分布 污染物数学模型 污染源确定 数据匹配目录问题背景与重述3问题背景3问题重述3问题分析33.模型假设4.符号说明5.模型建立与求解444问题一的求解4问题二的求解11问题三的建模与求解125.3.15.3.25.3.3模型的建立12模型的求解13模型的检验145.4 问题四的建模15模型优缺点分析15模型的优点15模型的缺点16模型优化与推广16模型优化16模型推广17参考文献17一.问题背景与重述1.1 问题背景随着城市经济的快速发展和城市的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境注的焦点。1.2 问题重

6、述价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为 1 类区、2 类区、5 类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。为此，将所的城区划分为间距 1 公里现对某城市城区土壤地质环境左右的网格子区域，按照每平方公里 1 个采样点对表层土（010 厘米深度）进行取样、，并用 GPS采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照 2 公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。已知采样点的位置、海拔高度及其所属功

7、能区等信息，另有 8 种主要重金属元素在采样点处的浓度及背景值。请通过数学建模来解决问题：1、给出 8 种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。2、通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。3、分析重金属污染物的特征，由此建立模型，确定污染源的位置。4、分析所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集哪些信息。运用这些信息，如何建立模型解决问题。二.问题分析经过对城区内表层土壤中 8 种主要重金属元素采样结果的分析后，城区内不同区域重金属的污染程度及原因时，应遵循如下三个原则：发现评价该1、不同区域间的污染程度与分级标准间的关系应是正确、标

8、准的；2、不同的重金属在污染程度分级标准中所占的权重可以是不同的（要视其物理及化学特性对环境造成的影响而定）；3、分析污染原因时，应将污染的程度和种类与区域特点相结合除此以外，发现重金属的主要自然外力以及人类活动的影响，如：重金属受自身重力、降水等自然动造成的重金属浓度的的积累导致的以及工业生产、交通流、人流等人类活。以上两者都造成了城区表层土壤中重金属浓度的变化。因此，在建立模型确定污染源位置时，要遵循以上三个原则并结合实际特点，抓住主要及合理建模。另外，在建立城市地质环境演变模式的模型中还要考虑时间。三.模型假设通过对 8 种主要重金属元素空间分布的统计分析得知，重金属浓度分布基本符合高斯

9、分布，给出的参考期望、方差及范围也说明其浓度分布的类如下假定：性。因此可以作1、2、3、4、污染物浓度的分布符合源强是连续均匀的；分布，即正态分布；在扩散过程中污染物质量是守恒的，无沉淀或植被阻挡等；无气候变化及风速的影响。四.符号说明图 5.1-1As 在该城区的空间浓度分布图 5.1-2Cd 在该城区的空间浓度分布图 5.1-3Cr 在该城区的空间浓度分布图 5.1-4Cu 在该城区的空间浓度分布图 5.1-5Hg 在该城区的空间浓度分布图 5.1-6Ni 在该城区的空间浓度分布图 5.1-7Pb 在该城区的空间浓度分布图 5.1-8Zn 在该城区的空间浓度分布在分析该城区内不同区域重金属

10、的污染程度前，分析得出了如系：图 5.1-9区域土壤重金属污染体系一个完整的区域土壤重金属污染体系，应包括以下 7 个环节：区域，功能及特点，物质需求，天然本地，其他地区的重金属，重金属元素在地表的积累，理化性质。其中，不同的区域具有不同的功能及特点，不同的功能及特点对区域的物质需求不同，这些不同种类的物质又会在人类的生产及生活的作用下发生转化，从而排放出不同的重金属元素。同时，天然本底中本身还存在着少量的重金属元素，以及由于自然外力（如：重力作用、降水冲刷等）的作用下得到积聚的重金属元素。这些在一起的不同的重金属元素又拥有不同的理化性质。根据理化性质的不同，重金属元素对区域的造成的影响也会有

11、所不同，综合以上不同对区域地质环境的影响，列出分析方程得出数值，对照分级标准确定污染等级，从而更有力的评价该城区内不同区域重金属的污染程度。其中，分析方程主要从以下两个方面考虑：1、同一元素不同区域的污染程度主要采用地质累积指数法。通过对 8 种元素，不同区域的地质累积指数从而确定不同元素在不同采样点的污染程度。按五个区域进行统计各污染等级百分比，如下表：通过上表可以直观的读到城区内不同区域 8 种重金属的污染程度：a、主干道路区和工业区污染最严重；均以 Hg、Zn、Cu 污染为主。b、生活区和公园绿地区污染次之；其中生活区污染主要集中在 Cr、Zn,公园绿地区以 Hg 为主。c、山区污染最轻

12、，有中到强度的 Ni 污染。2、 同一区域不同元素的污染程度 主要采用潜在生态危害指数法。该方法是根据重金属性质及环境行为特点，从沉积学角度提出，对土壤或沉积物中土壤重金属污染进行评价。不仅考虑土壤重金属含量，而且将重金属的生态效应，环境效应与毒理学结合。公式如下：表 5.1-5 不同区域内各危害程度所占百分比生活区工业区山区主干道路区公园绿地区低度中度重度严重38.6%36.3%20.5%4.5%25.0%30.6%25.0%19.4%84.8%13.6%1.5%0.0%31.2%37.0%23.2%8.7%40.0%40.0%14.3%5.7%通过上表再次验证了城区内不同区域的重金属污染，

13、工业区污染最严重，山区污染最轻；其中，严重污染主要集中在工业区，其次是主干道路区、公园绿地区、生活区以及山区；严重污染，工业区、主干道路区、生活区平分秋色，公园绿地区次之，山区最轻；中度污染除山区最轻外，其他四区基本持平；低度污染主要集中在山区。5.2 问题二的求解重新整理表 5.1-2 得到 8 种重金属元素各污染等级的采样点个数百分比，如下表：由上表并结合图 5.1-1 到图 5.1-8 可以得出：1、As、Cd、Cu、Hg、Zn 在主干道路区和工业区污染较高，主要原因：a、As 主要来自工业生产及含砷废气和废渣，对环境造成污染。的使用、煤的燃烧，这些过程都可产生含砷废水、b、Cd 主要来

14、源于汽车尾气的排放以及应用于电镀、采矿、冶炼、电池等工业。c、Cu 来源于铜锌矿的开采和冶炼、金属加工、机械制造、钢铁制造等工业生产。d、Hg 主要来自氯碱、电池、电子等工业排放的废水，废气。e、Zn 在采矿场、选矿厂、合金厂、冶金联合企业、机器制造厂、镀锌厂、仪器仪表厂、有机工厂和造纸厂等排放的工业废水中大量存在，再到土壤中。2、Cr 元素在主干道路区和生活区污染较高，主要原因：Cr 主要来源于劣质化妆品原料、纸张、皮革制剂、鞣革、橡胶和陶瓷原料、金属部件镀铬部分（这些生活必需品广泛存在于生活区中），且煤和石油燃烧的废气中含有颗粒态铬(主要存在于主干道路区的汽车尾气排放中)。3、Ni 元素污

15、染较小，在主干道路区和山区略有部分，主要原因：石油中镍的含量为 1.464ppm，大部分煤也含有微量镍,通过汽车发缸内的燃烧过程被出来,再沉积到土壤中。4、Pb 元素在工业区和生活区污染较高，主要原因：Pb 来源于冶炼、制造和使用铅制品的工矿企业，消费领域有蓄电池、电缆护套、氧化铅和铅材，因此，蓄电池行业是消费大户。问题三的建模与求解模型的建立参看图 5.1-9 可知，重金属的主要来源有以下三个途径：1、自然本底2、其他地区的重金属在自然外力的作用下积累而成3、由于人类活动而排放的重金属元素由此可知，重金属的主要通过后两种途径。基于对模型假设，重金属污染物的以污染源为原点，以指数衰减规律向四周

16、扩散，其扩散程度与地形以及该金属的标准差有关。如下图：图 5.3-1 扩散与地形关系图通过对 8 种主要重金属元素空间分布的统计分析得知，重金属浓度分布基本符合高斯分布，给出的参考期望、方差及范围也说明其浓度分布的类性。以扩散公式为理论基础，建立重金属污染物的理论模型，空间内任意一点的污染物浓度可表示为：5.3.2 模型的求解利用实际测量数据，用值，得到各重金属污染物 y，z，浓度），如下：求得多个污染源的位置、海拔以及浓度的数据匹配特征方程的数学模型，和主要污染源的各项参数（x，图 5.3-3Hg 对照图图 5.3-4Pb 对照图5.4 对问题四的建模由于问题四要求分析该模型的优缺点，并通过丰富信息使该模型的应用范围更广泛，这与“六.模型优缺点分析”和“七.模型优化与推广”所在下两个部分中做详细陈述，这里不再赘述