5春培优教案同余问题

1、11同余问题学习目标：1. 理解同余问题，熟悉本节内容的几个结论并能初步运用。2. 运用结论求较大数的余数。教学重点:同余问题几个结论的理解与初步运用。教学难点：利用结论解决同余问题。教学过程： 一、情景体验师：（展示）正在举行，所在的班上有 8 个小朋友获得了“优秀”称号，奖品是 41 颗彩虹糖和17 个苹果。现在要平均分给这 8个小朋友，问彩虹糖和苹果会有剩余吗？能帮帮忙计算一下吗？生：418=5（颗）1（颗），178=2（个）1（个）师：观察这两个式子，发现除数都是 8，被除数和商不同，但是余数都相同。大家还记得以前学过的带余除法吗？生 1：被除数除数=商余数生 2：被除数=除数商+余数

2、师：回答得很对！在数学王国里，有些问题更关心余数是多少，不关心除式中的商是多少。比如图中所遇到的这个分糖果、苹果，就是更关心余数，这样就是今天要研究的同余问题。（板书课题：同余问题）二、思维探索（建立知识模型）展示例 1例 1：分别把 51 个梨子和 39 个苹果平均分给一班的小朋友，最后余下的梨子数和苹果数相同，且每个小朋友的梨子比苹果多 1 个，求余下的苹果数。师：读完题后，你能从题中获得哪些信息？生：要求余数，一般需要知道被除数和除数。师：你能根据题目条件列出除法式子吗？师引导学生列出式子并做简明（PPT）师：梨子的总数比苹果的总数多 12 个，而最后余下的梨子数和苹果数相同，说明分出去

3、的梨子数与苹果数之间关系呢？生：分出去的梨子数仍然比苹果数多 12 个。师：分给每个小朋友的梨子比苹果多 1 个，那么，有多少个小朋友才能保证梨子数比苹果数多 12 个呢？生：121=12（个），有 12 个小朋友。师：因此得到了除数是 12，接下来苹果的余数怎么求呢？生：3912=3（个）3（个），余数是 3。师小结：这道题中，关键是要理解题意求出除数。展示例 2例 2：有一个自然数，除 300，243 和 205 所得的余数相同，且余数不为 0，求这个数。师：读完题后，你能判断在除法中 300、243 和 205 是什么数吗？生：都是被除数。师：除数、商、余数都不知道，为了便于理解，可以用

4、字母表示。除数为 b，商为q，余数为r，根据带余除法，：300=bq1+r243=bq2+r205=bq3+r师：除数b 和余数 r 相同，商 q 不相同，怎么办呢？师引导：如果用上面第 1 式减去第 2 式，会得到什么？一起来看看。第 1 式减第 2 式，左边减左边，右边减右边，得到 57=b（q1-q2）,余数抵消了。师：观察 57=b（q1q2），可知 57 是b 的倍数，b 是 57 的因数。同样的道理，用第 2 式减第 3 式，也是这样。大家动手算一算。生 1：第 2 式减第 3 式，左边减左边，右边减右边，得到 38=b（q2q3）生 2：同样，38 是 b 的倍数，b 是 38

5、的因数。师：既然b 是 57 的因数，又是 38 的因数，说明什么？生：说明b 是 57 和 38 的公因数，可以求出（57，38）=19，所以 b=19，也就是这个除数是 19。师小结：如果若干个数被同一个数除余数相同，那么这若干个数两两之差（大减小）一定是这个除数的倍数，即除数是这些差的公因数。展示例 3例 3：求 43213275 被 17 除的余数。师：读完题后，你认为怎么求余数呢？师：题目数很大，直接计算很麻烦。有没有简单一点的方法呢？不妨先来看一些较小的数。师：请计算 125 与 175 的余数，看看特点。生：125=22，175=32，余数相同，都是 2。师：非常好！说明 12

6、和 17 除以 5 同余。再来看一组 95 与 195，余数特点。生：95=14，195=34，余数相同，都是 4。师：说明 9 和 19 除以 5 也同余。师：那么，1295 与 17195 的余数特点呢？生 1：1295=213，17195=643生 2：余数相同，都是 3。师：观察刚才给出的例子，当除数相同都是 5 时，可以发现 12 和 17 同余，9 和19 同余，129 和 1719 也同余。因此得出一个结论：甲和乙同余，丙和丁同余，那么甲和丙的积与乙和丁的积一定同余。师：现在能运用这个结论解答例 1 吗？学生尝试解答，老师再集体订正。师：423117=2543，317=03327

7、517=19211，1117=01143213275 与 311 除以 17 同余31117=116，余数是 16.师小结结论 1：甲和乙同余，丙和丁同余，那么甲和丙的积与乙和丁的积一定同余。推广这个结论，还可以得到：结论 2：甲和乙同余，丙和丁同余，那么甲和丙的和（差）与乙和丁的和（差）一定同余。结论 3：甲和乙同余，那么甲和乙同时乘方的结果仍然同余。三、思维拓展（知识模型的运用）展示例 4例 4：求 201420132016 除以 7 的余数。学生读题师：是直接通过四则运算计算出余数吗？生：数很大，计算太麻烦了。师：能不能将这些较大数变成较小数来计算呢？例 3是怎么做的？生 1：20147

8、=2875，57=05，说明 2014 和 5 除以 7 同余。生 2：20137=2874，47=04，说明 2013 和 4 除以 7 同余。生 3：20177=2881，17=01，说明 2017 和 1 除以 7 同余。生 4：20167=288 ，07=0，说明 2016 和 0 除以 7 同余。师：回答的都非常正确，根据例 3 的结论可以得到什么呢？生：题目 201420132016 就可以换成 54+10=20生：207=26，因此余数是 6。师：看来已经能够运用例 3 的结论解决问题了，真厉害！四、融会贯通（知识模型的拓展）展示例 5例 5：一盒围棋子，4 颗 4 颗地数多 3

9、 颗，6 颗 6 颗地数多 5 颗，15 颗 15颗地数多 14 颗。这盒棋子最少有多少颗？如果棋子在 150 至 200 颗之间，问共有多少颗？师：读完题后，你能从题目中获得哪些信息？师：还记得上节课学习最小公倍数里的例 5 吗？比较一下两道题，区别与联系？（带领学生回忆第 10 讲例 5）生 1：上节课的例 5，都是多一个，也就是余数为 1。生 2：本节例 5 中，余数都不相同。师：观察的很仔细！上节课学的例 5，因为都是多一个，所以先求出2、3、5 的最小公倍数，再加 1。那么，本题可不可以也采用这种方法呢？师提示：4 颗 4 颗地数多 3 颗，至少再加几颗恰好数完（不多不少）呢？生 3：多出的 3 颗如果再加上 1 颗就是 4 颗，这盒围棋子正好是 4