备战2017高考数学(精讲+精练+精析)专题13.3数系的扩充与复数的引入试题理(含解析)

1、专题13.3数系的扩充与复数的引入【三年高考】1.12016新课标1理】设x(1 i)=1+yi,其中x, y实数，则x yi =()(A) 1(B)应(C)邪(D) 2【答案】Byi |=|1 + i| ”,故选 B.【解析】因为 x(1 i)=1+yi,所以 x xi=1 + yi,x=1,y x 1Jx TOC o 1-5 h z 2.12016高考新课标3理数】若z 1 2i,则 J ()zz 1(A)1(B) -1(C)i (D)i【答案】C4i4i【解析】4 i ,故选C.zz 1(1 2i)(1 2i) 13.12016 tWj考新课标2理数】已知z(m 3) (m 1)i在复平

2、面内对应的点在第四象限，则实数 m的取值范围是(A) ( 3,1)(B) ( 1,3)(C) (1,+ )(D)(- , 3)【解析】要使复数z对应的点在第四象限应满足：m 3 0,解得 3 m 1,故选A.m 1 04.【2016年高考北京理数】设 aR,若复数(1 i)(a i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a 【答案】1.【解析】(1 i)(a i) a 1 (a 1)i R a1.5.12016高考天津理数】已知【答案】2a, b R , i是虚数单位，若(1 i )(1 bi)2,故答案为2.【解析】(1 i)(1 bi) 1 b (1 b)i皿 1baa2aa ,则，所以 ，91

3、b0b1b6.12015高考新课标2,理2若a为实数且(2 ai)(a 2i)A.1 B.0 C.1 D.2【答案】B2_2【解析】由已知得 4a (a 4)i 4i ,所以4a 0,a44 ,解得a 0,故选B.7.12015高考湖北，理1】i为虚数单位，i607的共轲复数 为() A.i B . i C.1 D .1【答案】A【解析】i607 i4151 i3 i ,所以i607的共轲复数为i ,选A . 8.12015高考新课标1,理1】设复数z满足L_z = i ,则忆|=()z(A) 1(B) &(C)曲(D)2【答案】A【解析】由L_z i得，z，_L = ( 1 i)(1 i)=

4、i,故忆|=1 ,故选A.z1 i (1 i)(1 i)9.12015高考上海，理15】设乙，z2 C,则“乙、z2中至少有一个数是虚数”是“ z z2是虚数”的()A.充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件【答案】B【解析】若可、马皆是实数/则可一与一定不是虚拨，因此当石是虚数时F则“I马中至少有T数是虚数成立J即必要性成立5当马.N二中至少有一个数是虚数F勺马不一定是雇第如方=七=，？即充分性不成立，选A TOC o 1-5 h z 10.12014全国1高考理第2题】(1 i)2()(1 i)A. 1 i B. 1 i C. 1 i D. 1 i【答案

5、】D32_(1 i) (1 i) (1 i) 2i(1 i) . HYPERLINK l bookmark49 o Current Document 解析由已知得 1 - - 1 i . HYPERLINK l bookmark51 o Current Document (1 i) (1 i)2i11.12014山东高考理第1题】已知a,b R,i是虚数单位，若a i与2 bi互为共轲复数，则(a bi)2A. 5 4i B. 5 4i C.【答案】D3 4i D. 3 4i.【解析】由已知得,a 2,b 1,即 a bi 2 i ,所以(a bi)2 (2 i)23 4i,选 D .12.1

6、2014高考上海理科第11题】已知互异的复数a,b满足abwo,集合a,b=22.a , b ,贝U a b =.【解析】由题意2. 2aa aa b2 或 2 ,因为 a b, ab 0, b bb ab1212-.3.i2 ，因此1.3,i HYPERLINK l bookmark59 o Current Document 22【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题对复数部分考查的重点是复数的有关概念、复数的代数形式、运算及运算的几 何意义，一般是选择题、填空题，难度不大，预计今后的高考还会保持这个趋势【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出，复数问题在高

7、考中年年必有，复数的概念及其代数形式的运算成为命题的热点，通常分两种题型，选择题和填空题，一是考查复数的概念，如纯虚数，两个复数相等；二是复数代数 形式的加、减、乘、除四则运算等知识.预测下一年的高考，仍会以考查复数的有关概念，包括实部与虚部、 虚数与纯虚数以及复数的代数形式的运算为重点，继续稳定在一道选择题或填空题上，且属于中低档题.复数的概念及运算仍是考查的重点内容，以选择或填空题为主.故预测2017年高考仍将以复数的基本概念以及复数的代数运算为主要考点 .复习建议：1.复习时要理解复数的相关概念如实部、虚部、纯虚数、共轲 复数等，以及复数的几何意义.2.要把复数的基本运算作为复习的重点，

8、尤其是复数的四则运算与共轲复数的性质等.因考题较容易，所以重在练基础.【2017年高考考点定位】高考对复数部分考查的重点是复数的有关概念、复数的代数形式、运算及运算的几何意义，复数的基本概 念、复数相等的充要条件以及复数的代数运算是高考的热点，并且一般在前三题的位置，主要考查对复数 概念的理解以及复数的加减乘除四则运算，一般是选择题、填空题，难度不大.【考点1】复数的有关概念【备考知识梳理】. i称为虚数单位，规定i21；.形如a bi(a,b R)的数叫复数，其中a,b分别是它的实部和虚部. 若b 0,则a bi为实数；若b 0, 则a bi为虚数；若a 0且b 0,则a bi为纯虚数.共轲

9、复数：复数 a bi称为复数z a bi的共轲复数，记为z ,那么z与z对应复平面上的点关于实轴 对称，且 zz 2a , zz 2bi , zz z2a2b2 , zz z Ra bi 与 cdi 共轲？ ac, b d(a,b,c,dR).【规律方法技巧】.解决复数概念问题的方法及注意事项：(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为a bi(a,b R)的形式，以确定实部和虚部.复数是实数的条件：z a bi R b 0(a,b R)；z R z W；z

10、 Rz2 0.复数是纯虚数的条件：z a bi是纯虚数a 0且b 0(a,b R)；z是纯虚数z z 0(z 0);z是纯虚数z2 0.复数与实数不同处：任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小.【考点针对训练】.【2016年安庆市高三二模】A. 2 B .2【答案】D【解析】由题意知 z 口-1 i2.12016届河北省石家庄市高已知复数z满足1 i zC .1 D2i2i(1 i) 11 i 2二模】设i是虚数单位,21 i ，则z的共轲复数的虚部为(),1. . z 1 i ,虚部为1,故选D.a i数 -一为纯虚数，则实数 a的值为()A. 1B.1

11、 C . 1 D .22【答案】A【解析】根据复救的运算有二。=二-二一，f二为纯虚教，即实合明雪，所以有 1 +， (1 + 0(1 0221 + iR1F- = 0 0 口=1 ,故本题的正确选1页为A【考点2】复数相等，复数的几何意义【备考知识梳理】.复数的相等设复数z1a1bi,z2a2b2i(a1,b),a2,b2R),那么z1z2的充要条件是：ai b且a2 b2.特别 z a bi 0 a b 0.uuu.复数的模：向量 OZ的模r叫做复数z a bi ( a,b R)的模，记作z或a bi ,即z a bi|；a2 b2.复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面x轴叫

12、做实轴，y轴除去原点叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示虚数复数的几何表示：复数 z a bi ( a,b R)可用平面直角坐标系内点Z a,b来表示.这时称此平面为复平面，这样，全体复数集 C与复平面上全体点集是对应的.复数的几何意义(1)复数z a bi.对应.复平面内的点Z a,b ( a,b R).(2)复数 z a bi ( a,b R)-M uOZ a,b.复平面内复数z对应的点的几个基本轨迹：|z z r(r是正常数)轨迹是一个圆.z z1z z2 (4、z2是复常数)轨迹是一条直线.z4 z 。 2a(乙、z2是复常数，a是正常数

13、)轨迹有三种可能情形：a)当2a 4 z2时,轨迹为椭圆；b)当2a 4 z2时，轨迹为一条线段；c)当2a 4 z2时，轨迹不存在.|z 4 z z21 2a(a是正常数)轨迹有三种可能情形：a)当2a 乙 z2时，轨迹为双曲线；b)当2a z1 z2时，轨迹为两条射线；c)当2a z1 z2时，轨迹不存在.【规律方法技巧】.对复数几何意义的理解及应用uuuuuu(1)复数z、复平面上的点z及向量OZ相互联系，即z a bi ( a,b R) Z a,b OZ(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时 可运用数形结合的方法，使问题的解决更

14、加直观.注意复数相等的充要条件中必须把两个复数都化为“标准的代数形式”.处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理.由于复数 z a bi ( a,b R),由它的实部与虚部唯一确定，故复数 z与点Z a,b相对应.【考点针对训练】1.【2016年江西师大附中高三上学期期末】若纯虚数z满足1 i z 1 ai,则实数a等于()A. 0B.1或 1C .1【答案】D【解析】(1 i )z 1 ai1 ai z 1 i11.一，一，,一(1 a) -(a 1)i ,因为z为纯虚数，所以有1 a 0且221 ,故本题的正确选项为D.2.1201

15、6届福建厦门外国语学校高三5月适应性】复数z 二(其中i为虚数单位)的共轲复数在复平2 i面内对应的点所在象限为(A.第一象限 B .第二象限C.第三象限 D .第四象限【解析】因z_2(2 i)3 4i , - 3 4i ,故z 在第一象限，应选 Ao 55【考点3】复数的运算【备考知识梳理】1.复数.的加、减、乘、除运算法则设 4 a bi , z2 c di(a,b,c, d R),则加法：z1 z2 (a bi)(cdi)acbdi；减法：z1 z2 (a bi)(cdi)acbd i ；乘法：z1z2 (a bi)(cdi) acbdadbc i ；除法:Zia biac bd22z

16、2cdicdbc ad-2i(Z2 0) c d2.复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何乙，z2,z3C,有4z2z2z1,Z|z2z3z1z2z33复数的乘法不仅满足交换律与结合律，实数集R中整数指数哥的运算律，在复数集C中仍然成立，即对任何巧，巧，gmC及懈，泮W期，有：*,/科, （/?=”，.复数集内的三角形不等式是：（乙|z2|乙z2|乙z2 ,其中左边在复数z1,z2对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数zi,z2对应的向量共线且同向（反向）时取等号【规律方法技巧】.几个重要的结论： |4 4 |2 | 4 z2 |2 2（| 4 |2.常用计算结论：

17、（1 i）2 2i ；i ,1 i 1 i1 | z | 1 zz 1 z 一 ；z3.复数的四则运算类似于多项式的Z|z2|2)； z z |z|2 |W|2 ;若n n 1 n 2 n 3i ； i i i i 0(n此时含有虚数单位iz为虚数，则|z|2 z2.N）;3-2 c1 , 10.看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的哥写成最简单的形式，在运算过程中，要熟悉 i的特点及熟练应用运算技巧.，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轲复数，解题中要注意把i的哥写成最简形式.在复数相关问题的处理中，一般要将复数转化为一般形式z a bi a R,b R ,明

18、确复数的实部与虚部，在求解复数的过程中，可以利用到复数的四则运算，然后利用相关的知识求解复数的相关问题.实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方.而复数对四则运算和开方均通行无阻.r【考点针对训练】1.12016届山西四校高三联考】在复平面内与复数 z -2-所对应的点关于实轴对称的点为A,则A对i应的复数为（）A. 1 iB . 1 iC.1 id.1 i【解析】因为“二二/7:31十：,所以要数的共规复数为1b所以复数二=之所对应的点 TOC o 1-5 h z 14 f Q+，)1 4f关于实轴的称的点工对应的真数1-3故选32.【2016届湖南省湘西自治州高三第二次质

19、量检测】复数 z 0一3i一2-的实部与虚部之和为()A. -3 B .4 C . 3 D.-11【答案】D解析z 2一3i (4 7i) i74i-7 4i , .复数 z i-3i2-的实部和虚部是ii i i ii11。故选Do【应试技巧点拨】1.解决复数概念问题的方法及注意事项：(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为a bi(a,b R)的形式，以确定实部和虚部.复数是实数的条件： z abi R b 0(a,bR); zR zz； zRz20.

20、复数是纯虚数的条件：zbi是纯虚数a0且b 0(a,b R)；z是纯虚数4.(2)z z 0(z 0);z是纯虚数对复数几何意义的理解及应用复数z、复平面上的点z及向量z2 0.uuuOZ相互联系，即z a bi ( a,b R) Z a,b由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,uuuOZ ;解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.5.复数的四则运算类似于多项式的四则运算,此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类i的哥写成最简形式.同类项，分别合并即可，但要注意把i的哥写成最简单的形式，在运算过程中，要熟悉 i的特点及熟练应

21、用运算技巧.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轲复数，解题中要注意把二年模拟1.【2016年江西省九江市三模】复数-2-在复平面内所对应的点位于()1 i第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限【答案】D一 2，、.，一一,【解析】 - 1 i ,对应点为(1,-1),在第四象限，故选 D.1 i2.【2016年南昌高三一模】设复数Z1, Z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1+i ,则Z1Z2=(A) -2 (B)2 (C)1i (D)1 +【解析】由题意，得 Z11 i , Z21 i，则 Z1Z2(1 i)(1 i) 2 ；故选 b.3.【2016年湖北华师一附中高三模考】若

22、复数 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark115 o Current Document 43z (cos)(sin-)i是纯虚数(i为虚数单位)，则 HYPERLINK l bookmark117 o Current Document 55tan(-)的值为()A.7B ,17cos64 - 01解析】因为复数 -(CD56 -3+ (Sin %是纯虚数，所以”: J解之得CD” 二二,sin日三-,如曰_/0?7g 3q ztan & - tan _1所以= tanj 0-；=占二-1 + tan tan 1 fJx 14！4.【2016年湖南师大高三二模】已

23、知复数z满足2+乎i z=1 + i(其中i为虚数单位),则|z|为(A. 2B./ C . 2(/3+ 1) D , 2(*J3-1)【答案】B, r1 i【解析】由题得z 1 i1,3.i HYPERLINK l bookmark128 o Current Document 2213(1 i)(2 Ti)1313()()i2222(23)(1 2)2221i,所以 z(223)2(223)222.故正确选项为B.5.【2016年江西师大高三二模】若纯虚数z满足ai，则实数a等于()A. 0【解析】(1 i)z1 ai1ai1 、(1 a)1 i22(a1)i ,因为z为纯虚数，所以有1 a

24、 0且1,故本题的正确选项为D. 34i 一 一 TOC o 1-5 h z 6.【2016年淮北一中高三模考】复数 z 3则|z|等于()4 3iA. 3B.炳C.尺D. 434i43i43i43i3 i ,所以 z，32 12 J10 ,故选 B.【答案】B,一一3 4i【解析】由题意得 z 3二竺 34 3i.19a i7.【2016年湖北四校高三四次联考】已知a为实数，若复数z (a2 9) (a 3)i为纯虚数，则a的1 i值为()A. 1 2iB.1 2i【答案】D【解析】由复数z (a2 9) (a 3)i为纯虚数,C. 1 2iD. 1 2i219 一 一a 9 0,解得a 3

25、,所以a或1 2i ,a 3 01 i 1 i故选D.8.【2016年河南商丘高三模考】 设复数乙，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且4 2 i ,则z z2 ()A.4 3i B . 4 3i C .3 4i D .3 4i，且Zi2 i ,所以【解析】因为复数z1,z2在复平面内对应的点关于虚轴对称Z22 i, z22 i , z1 z22 i 2 i 3 4i ,故选 D.9.【2016年安徽淮北一中高三模考】如果复数1 bi 2 i是纯虚数，则12b 3i|的值为1 bi【解析】因为1 bi 2 i 2 b (2b 1)i是纯虚数，所以b 2,因此2b土金 旦 J5.1 bi I

26、|1 2i| V510.【2016年河南八市高三联考】若复数 上&(b R)的实部与虚部.互为相反数，则b 1 i【答案】b 0【解析】:早如:冬罂1二手十三把.由题意复数芋包(吞8)的实部与虚部互为用皈数j 1 + r(1 十2214j4+b0-4)艮- _ . 0 11.12016届吉林省实验中学高三上学期第一次模拟】若(a 2i)i2013 b i,其中a,b R, i是虚数单位,则a2 b2等于()A. 0B. 2 C .5 D . 52【答案】D【解析】2013(a 2i)i bi,，(a 2i)ia 1, .a2 b2 5.b 212.12016届学年江西省新余一中等校高三联考】已

27、知a为实数，若复数z,2(a 1) (a 1)i为纯虚数,2015则ai一的值为()iA. 1 B . -1 C . i. D . i【答案】D2015【解析】根据题意可求得a 1,所以a一1i ,故选d.13.12015届河南省南阳市一中高三下学期第三次模拟】设 i是虚数单位，2是复数z的共轲复数，若(1 i)Z 2,则 2为()A. 1 i B . 1 i C . 2 i D.2i【答案】B【解析】 z 2(1 i) 1 i , z 1 i .i (1 i)(1 i)214.12016届山东省实验中学局三上学期第一次诊断】在复平面内，复数对应的点到直线 y x 1的i距离是()A. B 丘

28、 C , 2 D , 272【解折】 二=JQ*, =1十，质以该复数又摭的励(LD,该点到直十1的距离为 j a - 出1+0t款选A，15.12015届辽宁省沈阳市东北育才学校高三第八次模拟】已知 Z是复数Z的共轲复数，Z Z ZZ 0,则复数Z在复平面内对应的点的轨迹是()A.圆 B .椭圆 C .双曲线 D .抛物线【答案】A【解析】设z x yi(x,y R),则由z Z Zz 0得2x x2 y2 0,(x 1)2 y2 1 ,因此复数z在复平 面内对应的点的轨迹是圆，选A.拓展试题以及解析1.若复数Zi, Z2在复平面内对应的点关于y轴对称，且乙 23在复平面内对应的点在(Z2A

29、.第一象限.第三象限.第四象限【解析】由题意，得Z2i ,则亘Z2(2 i)(2i)(2 i)(2 i)44i ,在复平面内对应的点坐标为53 4 一 一，B.(-,-),在第二象限，故选5 5【入选理由】本题主要考查复数复数的几何意义、复数的运算等基础知识，意在考察学生的转化思想 问题解决问题的能力，以及基本运算能力.复数在高考中主要考查复数的概念和代数形式的四则运算，一般 难度不大，本题考查知识基础，故选此题1)、2.已知复数zi、z2在复平面内对应的点分别为A(1,A. 1 2iB.C.1 3iD.【解析】由题意可得 乙1 i , z2 3Z2Z(3 i)(1 i)(1 i)(1 i)4

30、i21 2i .【入选理由】本题主要考查复数的几何意义、复数的运算等基础知识，意在考察学生的转化思想,立意新，故选此题.解决问题的能力，以及基本运算能力.本题利用复平面的点与复数关系命题3.已知i是虚数单位，若W3i a3 ibi ( a,b R),则复数3biA.2B.1c. 1D.【解析】因为,3 i3 i3 1 2 3i务所以a 2bi3a bi13. i22【入选理由】本题主要考查复数的概念、复数的运算等基础知识，意在考察学生的转化思想,分析问题解决问题的能力，以及基本运算能力.本题利用复数相等，求出参数值，利用常见结论，构思巧，故选此题4.若复数z满足(z + i)(1+i) =2,

31、则z在复平面内对应的点所在的象限为(A.第一象限 B .第二象限C第三象限D第四象限【答案】A.【解析】方法一：直接法设=口-沆(a.ieR ).则N + i)Q+i) = S-尻石肛十。=口+(1-1(1+。=5十万-1) + 5-6，1%=乙由复和聆的定义可得I a + ii 1 = 2|4=1,12解得：-父故Z =1+21所以二在复平面内对应的点为Q2) 7在第一象限J故选4| a d +1 = 0d = 22211 -b方法二：仁卦心去)由已知可得/.一i二门,所以工=1-211 + 1(1+1X1 V所以2在复平面内对应的点为(12),在第一象眼,故选A【入选理由】本题主要考查复数

32、的基本运算，共轲复数的概念及复数的几何意义等基础知识，意在考察学生 的转化思想，分析问题解决问题的能力，以及基本运算能力.本题考查知识基础，试题难度不大，有一定的 综合性，故选此题5.已知复数z的共轲复数为z ,且满足z(2 3i) (2 i)2,其中i是虚数单位，则复数 z的虚部为()A.613B.613C.171713.13【答案】D【解析】由题知z U=J=(3 4i)(2 3i)=色3,所以z= 9卫i,其虚部为匕故选2 3i 2 3i (2 3i)(2 3i)13 1313 1313D.【入选理由】本题主要考查复数的基本运算，复数的概念，共轲复数的概念等基础知识，意在考察学生的转化思想，分析