2009高等数学下试卷及答案 2

1、PAGE PAGE 29华南农业大学期末考试试卷（A卷）2008-2009学年第2学期 考试科目：高等数学A考试类型：（闭卷）考试 考试时间：120 分钟学号 姓名 年级专业 题号一二三四五六七总分得分评阅人一填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。将答案写在横线上）1微分方程的通解为_。（今年不作要求）2设，则 。3设是圆周，取逆时针方向,则_。 4设, 则 。5. 级数是_级数(填绝对收敛,条件收敛或发散)。二单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。）1过点且垂直于平面的直线方程是（ ）A BC D2设，其中是可微函数,则 （ ）A BC D3下列级数中收敛的是（ ）A B

2、C D4. 设：，在D上连续，则在极坐标系中等于（ ）. . . . 5. 一曲线过点，且在此曲线上任一点的法线斜率，则此曲线方程为（ ）A. B. C. D. 三计算题（本大题共6小题，每小题5分， 共30分）1已知，求，。2判定级数的收敛性。3求级数的收敛域。4计算二重积分，其中是由，及所围成的闭区域。5设区域为，若，求的值。6. 计算.（今年不作要求）四解答题（本大题共5小题，每小题8分， 共40分）1设，证明。2某厂要用铁板做成一个体积为的无盖长方体水池，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省。3 计算，其中为由至的那一弧段。4计算，其中是 的外侧。（今年不作要求）5. 设有连接

3、点和的一段向上凸的曲线弧，对于上任一点，曲线弧与直线段所围图形的面积为，求曲线弧的方程。华南农业大学期末考试试卷（A卷）参考答案一填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。）1. 2. 3. 4. 5. 条件收敛二单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。）1.C 2.B 3.A 4.A 5.D 三计算题（本大题共6小题，每小题5分， 共30分）1. .2分 .3分2. .1分.3分所以级数发散.1分3. 令，考虑级数 当即时，亦即时所给级数绝对收敛；.2分当即或时，原级数发散；2分当即时，级数收敛；当即时，级数收敛；级数的半径为R=1，收敛域为1，3。1分4. .2分 2分 1分

4、5. 2分 .2分 所以,得.1分6. .2分 =2分 =.1分四解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分）1. 化简得, 设 所以 .2分 所以 .2分 .2分 所以.2分2. 设长、宽、高分别为,则 且1分 设.2分 则 .3分解得.2分3. 连接，并设由L及所围成的区域为D，.1分则 2分3分 .2分4. 作辅助曲面 ，上侧，则由Gauss公式得：1分 +=.2分 =.2分 =2分 1分5. 设的方程为，且记 则由题设条件得： 即.2分 将改为得：.1分 求导得：，且.2分 该方程的通解为 .2分 又，即，所以 故所求的曲线方程为 .1分华南农业大学期末考试试卷（A卷）2009201

5、0学年第2学期 考试科目：高等数学A 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业 题号一二三四总分得分评阅人得分单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1微分方程是（ ）A齐次方程 B可分离变量方程 C一阶线性方程 D二阶微分方程2过点且与直线垂直的平面方程是 （ ）A B C D3设，则（ ） A0 B C D24若，则级数（ ）A可能收敛，也可能发散 B一定条件收敛 C一定收敛 D一定发散5下列级数中发散的是 （ ）A B C D得分二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）微分方程的通解为_。（今年不作要求）设有向量，则_。设有向量，它们的夹角

6、为，则_。设，则_。设L是圆周（按逆时针方向绕行），则曲线积分的值为_。得分三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）已知，求。求微分方程的通解。求微分方程满足初始条件的特解。判定级数的敛散性。计算二重积分，其中D是由直线和圆周所围成且在直线下方的闭区域。设区域D由围成，其中A为常数，试求A的值。计算曲线积分，其中L为圆周及轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）。得分1.5CM四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）要做一个具有体积为的有盖圆柱形铁桶，问当高与底半径之比的值为多少时用料最省？设对任意的和,有,用变量代换将变换成,试求满足中的常数和3. 计已

7、知是的一个原函数,而是微分方程满足初始条件的解,试将展开成的幂级数,并求。华南农业大学期末考试试卷（A卷）20092010学年第2学期 考试科目：高等数学A参考答案 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）C 2、C 3、B 4、A 5、D二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1 2 34 5三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）13分7分2分离变量.4分积分.6分通解.7分3原方程化为.2分 5分由条件: 得: 6分特解为: .7分4.5分 所以原级数收敛7分5.5分.7分65分由, 得.7分7.5分.7分1.5CM四、解答题（本大题共3小题，每小题7分

8、，共21分）1、令.3分即.5分得: , 即7分2、由题意.1分所以，.3分因此有.5分利用，即得由此得，.7分3、由得.2分根据，有，故.3分于是.4分而.5分故.6分于是.7分华南农业大学期末考试试卷（A卷）2010-2011学年第2学期 考试科目： 高等数学A 考试类型：（闭卷）考试 考试时间：120 分钟学号 姓名 年级专业 题号一二三四总分得分评阅人得分一、单项选择题（本大题共小题，每小题分，共分）与三坐标轴夹角均相等的单位向量为（）设，则（）下列级数中收敛的是（）当时，级数是（）绝对收敛条件收敛发散敛散性不确定设函数，都连续，不恒为零，都是的解，则它必定有解是（）（今年不作要求）得

9、分二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分）微分方程的通解为（今年不作要求）设有向量，则过点且与平面垂直的直线方程是设，则设为曲线上从点到点的一线段，则得分1.5CM三、计算题（本大题共小题，每小题6分，共2分）求微分方程的通解设，求及判断级数的敛散性设一矩形的周长为，现让它绕其一边旋转，求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及圆柱体的体积将函数展开成的幂级数，并确定其收敛域设是由方程确定的隐函数，求全微分.计算二重积分，其中是由及围成的区域得分1.5CM四、解答题（本大题共4小题，每小题分，共8分）计算曲线积分，其中是由曲线和所围成的区域的正向边界曲线计算二重积分，其中区域由，及所确定设，且，试

10、求的表达式（今年不作要求）计算曲面积分，其中为上半球面的上侧（今年不作要求）参考答案选择题（本大题共小题，每小题分，共分）二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分）三、计算题（本大题共小题，每小题分，共分）求微分方程的通解解：（分）（分），即（分）设，求及解：设，（分）（分）（分）判断级数的敛散性解：（分）（分）所以级数发散（分）设一矩形的周长为，现让它绕其一边旋转，求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及圆柱体的体积解：设矩形两边长分别为则，假设绕长度为的一边旋转，则圆柱体体积为（分）作拉氏函数（分）解方程组（分）得可能的极值点（分）由题意知道其一定是所求的最值点，所以最大体积为，对应面积为（分

11、）将函数展开成的幂级数，并确定其收敛域解：因为（分）所以（分）（分）收敛域为（分）设是由方程确定的隐函数，求全微分.解：（分）（分）所以（分）故（分）计算二重积分，其中是由及围成的区域解：积分区域为：（分）（分）（分）（分）1.5CM四、解答题（本大题共小题，每小题分，共分）计算曲线积分，其中是由曲线和所围成的区域的正向边界曲线解：（分）（分）（分）（分）计算二重积分，其中区域由，及所确定解：（分）（分）（分）（分）设，且，试求的表达式解：（分）因为，所以令，得（分）解之得（分）解得（分）即（分）计算曲面积分，其中为上半球面的上侧解：因为在曲面上，所以（分）补曲面，取下侧（分）由高斯公式得（分

12、）而（分）故（分）华南农业大学期末考试试卷（A卷）20112012学年第2 学期 考试科目：高等数学A考试类型：（闭卷）考试 考试时间：120 分钟学号 姓名 年级专业 题号一二三四总分得分评阅人得分一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1设有向量，则数量积 。2.曲面在点处的切平面方程是 。3设，则 。4幂级数的收敛半径 。 5微分方程的通解是 。（今年不作要求）得分二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1已知，则与的夹角是（B ）A B C D2函数在点处的全微分是 （ D ） A B C D 3设为圆周，取逆时针方向，则（ B ）A B C D4下列级数中收敛

13、的是 （ C ）A B C D5微分方程的通解是 （ C ）A BC D 得分1.5CM三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1.设，且具有一阶连续偏导数，求，.2. 设由方程确定隐函数，求全微分。 3计算，其中是由直线，及曲线所围成的区域。4.计算，其中是由曲面与平面所围成的闭区域。（今年不作要求）5. 计算，其中是上从点到点的一段弧。6判定级数的收敛性。7试用间接法将函数展开成的幂级数，并确定展开式成立的区间。得分1.5CM四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）1从斜边之长为的一切直角三角形中求有最大周长的直角三角形。2计算，其中是由曲线绕轴旋转而成的曲

14、面，取左侧。（今年不作要求）3设对于半空间内任意的光滑有向封闭曲面，都有，其中函数在内具有连续的一阶导数，且，求。（今年不作要求） 华南农业大学期末考试试卷（A卷）20112012学年第2 学期 考试科目：高等数学A参考答案一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1 2 3或者 4 5二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1B 2D 3B 4C 5C 1.5CM三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1.设，且具有一阶连续偏导数，求，。解：令，1分3分5分7分2. 设由方程确定隐函数，求全微分。 解：令 3分 6分7分3计算二重积分，其中是由直线，及曲线所围成的区域。解：原式4分 6分 7分4.计算，其中是由曲面与平面所围成的闭区域。解1：把闭区域投影到面上，得半径为的圆形闭区域.1分在内任取一点，过该点作平行于轴的直线，此直线通过曲面穿入内，然后通过平面穿出外因此闭区域可用不等式3分来表示于是5分7分解2：可用先一后二，或者先二后一也可。5. 计算曲线积分，其中是抛物线上从点到点的一段弧。解：原式5分 6分 7分6判定级数的收敛性。解：4分 5分 6分 原级数发散。7分7试用间接法将函数展开成的幂级数，并确定展开式成立的区间。解：1分 3分 6分 ，即