2010高考数学复习教案：直线与圆锥曲线的位置关系

1、PAGE 用心 爱心 专心直线与圆锥曲线的位置关系【考试大纲要求】1掌握直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用解决这些问题经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题.2会运用“设而不求”解决相交弦长问题及中点弦问题.3会利用圆锥曲线的焦半径公式解决焦点弦的问题掌握求焦半径以及利用焦半径解题的方法.4会用弦长公式|AB|=|x2x1|求弦的长；5会利用“设点代点、设而不求”的方法求弦所在直线的方程（如中点弦、相交弦等）、弦的中点的轨迹等【高考命题走向】近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压轴题的位置，且选择、填空也有涉及，有关直线与圆锥曲线的位

2、置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等。分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法，对称的方法及韦达定理等预测2010年高考：1会出现1道关于直线与圆锥曲线的位置关系的解答题；2与直线、圆锥曲线相结合的综合型考题，等轴双曲线基本不出题，坐标轴平移或平移化简方程一般不出解答题，大多是以选择题形式出现【基础知识归纳】1点与圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系（如表1）2直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究因为方程组解的个数与交点的个数是

3、一样的直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切这三种位置关系的判定条件可归纳为：(1)相交；(2)相切；(3)相离.注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件曲线条件结论椭圆点在曲线上点在曲线外点在曲线内双曲线点在曲线上点在曲线外点在曲线内抛物线点在曲线上点在曲线外点在曲线内 （ 表1）3直线与圆锥曲线相交的弦长公式设直线l:y=kx+n，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P1 (x1,y1)，P2

4、(x2,y2)，且由，消去yax2+bx+c=0（a0），=b2 4ac.则弦长公式为：d=.焦点弦长：（点是圆锥曲线上的任意一点，是焦点，是到相应于焦点的准线的距离，是离心率）.【典型例题解析】题型1：向量与点的轨迹问题【例1】（06江苏）已知两点M（2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足0，则动点P（x，y）的轨迹方程为 （）A B C D【答案】B.【解析】设，,则,由，则，化简整理得题型2 ：直线与圆锥曲线相结合问题【例2】（06辽宁）直线与曲线 且的公共点的个数为 （）A 1 B 2 C 3 D 4【答案】D【解析】将代入，显然该关于的方程有两正解，即x有四解，所以交点

5、有4个【例】（06四川）直线与抛物线交于两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，则梯形的面积为 （ ）A56 B64 C48 D72【答案】C【解析】直线与抛物线交于两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，联立方程组得，消元得，解得，和， |AP|=10，|BQ|=2，|PQ|=8，梯形的面积为48，选.【例4】（07全国） 若直线与圆有公共点，则 （ ）A BC D【答案】D【解析】将联立消y得,由题型3：圆锥曲线中的最值问题【例5】（06全国）设P是椭圆短轴的一个端点，为椭圆上的一个动点，求的最大值.【解析】依题意可设P(0,1),Q(x,y),则 |PQ|= eq r(x2+

6、(y1)2) ,又因为Q在椭圆上,所以,x2=a2(1y2) , |PQ|2=a2(1y2)+y22y+1=(1a2)y22y+1+a2=(1a2)(y eq f(1,1a2) )2 eq f(1,1a2)+1+a2 .因为|y|1,a1, 若a eq r(2), 则| eq f(1,1a2)|1.题型4：变量取值范围问题【例6】（07年江苏）已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点。() 求双曲线C2的方程；() 若直线l：与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足(其中O为原点)，求k的取值范

7、围.【解析】（）设双曲线C2的方程为，则再由故C2的方程为 （II）将代入得：，由l与椭圆C1恒有两个不同的交点得即 将代入，得.由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点 设则由而 于是即解此不等式得或 由、得或故k的取值范围为题型5：定值问题【例7】（07山东）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为（）求椭圆的标准方程；（）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标【解析】()由题意设椭圆的标准方程为， ()设，由得，.以AB为直径的圆过椭圆的右顶点， ，解得，且满足.当时，直线过定点与已

8、知矛盾；当时，直线过定点综上可知，直线过定点，定点坐标为题型6：向量与圆锥曲线相结合的问题【例8】（06全国）设分别是双曲线的左、右焦点若点在双曲线上，且，则 （ ）A BCD【答案】B【解析】设分别是双曲线的左、右焦点若点在双曲线上，且，则=【例9】（07辽宁）设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为 （ ）A B C D【答案】B【解析】因为，设，根据双曲线定义得，所以，又为直角三角形，其面积为题型7： 存在性问题【例10】（08江西）椭圆的离心率，A、B是椭圆上关于轴均不对称的两点，线段AB的垂直平分线与轴交于，点 F是椭圆的右焦点（）设AB的中点为，求的值；（）若，求椭

9、圆的方程；（）过的直线交（2）中的椭圆于两点，在轴上是否存在定点，使得总被轴平分，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【解析】（）由，椭圆方程是设A（x1,y1）,B(x2,y2),AB的中点为C（x0，y0），则由得 点A、B是关于x、y轴均不对称的两点,即 （）过A、B分别作右准线的垂线，垂足分别为A1、B1.得即椭圆的方程为（）当轴时，显然存在点E满足条件; 当与x轴不垂直时，设CD:y=k(x-1)与椭圆方程联立，并消去y得，设，则设存在，则对任意的k恒成立，即， 将式代入得.题型8：对称性问题【例11】（07安徽）已知双曲线上存在关于直线的对称点，求实数的取值范围.【解析】设，

10、是双曲线上关于直线的对称点，所在直线方程为，（）代入，得， 即 ， 中点在直线上，代入得或或且.【重点方法提炼】1加强直线与圆锥曲线的位置关系的复习：由于直线与圆锥曲线的位置关系一直为高考的热点.这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思想来设而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决这样就加强了对数学各种能力的考查2关于直线与圆锥曲线相交弦则结合韦达定理采用设而不求法利用引入一个参数表示动点的坐标x、y，间接把它们联系起来，减少变量、未知量采用参数法有些题目还常用它们与平面几何的关系，利用平面几何知识会化难为易，化繁为简，收到意想不

11、到的解题效果3直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法4当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化。同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍【高考实战演习】一选择题1（08湖南）若双曲线（a0,b0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是 ( )A.(1,2) B.(2

12、,+) C.(1,5) D. (5,+)2（08 山东)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为 （ ）A. B. C. D. 3（07江西）连接抛物线的焦点与点所得的线段与抛物线交于点，设点为坐标原点，则三角形的面积为 （） 4（07四川）已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点、，则等于 （ ）A3 B.4 C D5（08四川）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为 ( )AB. CD6.（08天津）设椭圆（，）的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为 （ ） A

13、B. C D7.（09全国）已知椭圆的右焦点为,右准线为，点，线段交于点，若,则=（ ）a. b. 2 C. D. 3 8.（09全国）已知直线与抛物线C:相交A、B两点，F为C的焦点。若,则k=（ ）A B C D二填空题9（08湖南）已知椭圆（ab0）的右焦点为F,右准线为,离心率e=过顶点A(0,b)作AM,垂足为M，则直线FM的斜率等于 . 10（08浙江）已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点若，则=_. 11. （09广东）巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为 12（09福建）过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线

14、交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则_ 13（09上海）已知、是椭圆（0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则=_. 14（09江苏）如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 . 三解答题15（09年海淀二模）已知抛物线C:，过定点，作直线交抛物线于（点在第一象限）. （）当点A是抛物线C的焦点，且弦长时，求直线的方程； （）设点关于轴的对称点为，直线交轴于点，且.求证：点B的坐标是并求点到直线的距离的取值范围.16（09朝阳一模）已知的三边长成等差数列，若点的坐标分别为（）求顶点的轨迹的

15、方程；（）若线段的延长线交轨迹于点，当 时，求线段的垂直平分线与轴交点的横坐标的取值范围17（09海淀一模）已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，短轴两个端点为、，且四边形是边长为2的正方形. （）求椭圆的方程； （）若、分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连结，交椭圆于点.证明：为定值；（）在（）的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点Q，使得以为直径的圆恒过直线的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由. 18（08安徽）设椭圆过点，且着焦点为（）求椭圆的方程；（）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上19（08安徽）已知平面上一定点C（4，0

16、）和一定直线为该平面上一动点，作，垂足为Q，且（）问点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程；（）设直线与（1）中的曲线交于不同的两点A、B，是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过点D（0，2）？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由.20（09浙江）已知椭圆的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为（）求椭圆的方程； （）设点在抛物线R上，在点处的切线与交于点当线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值一选择题1.【答案】B【解析】由焦半径公式可得：2.【答案】 A【解析】对于椭圆，由题目条件易得焦距是10，进而由双曲线的定义可知，曲线是双曲线，且=5，=4，又焦点在轴上，曲线的标准方程为，

17、选.3.【答案】B【解析】线段所在直线方程与抛物线交于则： .4.【答案】C【解析】设直线的方程为，由，进而可求出的中点，又由在直线上可求出，由弦长公式可求出 5【答案】B【解析】如图，作D垂直于准线，垂足为，有在tADK中， 故AKF=45，设则,解得，所以故选.6.【答案】B【解析】由抛物线焦点为F(2，0)知椭圆右焦点坐标为(2，0)，所以c=2.又故椭圆方程为7.【答案】A【解析】过点B作于M,并设右准线与x轴的交点为N，易知FN=1.由题意,故.又由椭圆的第二定义,得.8. 【答案】D 【解析】由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2，0），由及第二定义知联立方程用根与系数关系可求k=

18、.二填空题9【答案】 【解析】由已知得10【答案】 8【解析】由椭圆的定义知道，又，所以11. 【答案】【解析】，则所求椭圆方程为.12【答案】2【解析】由题意可知过焦点的直线方程为，联立有，又，解得13【答案】3【解析】依题意，有，可得4c2364a2，即a2c29，故有b3.14【答案】【解析】 直线的方程为；直线的方程为.二者联立解得， 则在椭圆上，解得.三解答题15【解析】（）由抛物线C:得抛物线的焦点坐标为，设直线的方程为：，. 由得.所以，.因为，所以. 所以.即.所以直线的方程为：或. （）设，则. 由得.因为，所以，. （）设，则. 由题意知：，.即.显然 （）由题意知：为等腰直角三角形，即，即. .，. .即的取值范围是. 16【解析】（）因为成等差数列，点的坐标分别为 ，所以且由椭圆的定义可知点的轨迹是以为焦点长轴为4的椭圆（去掉长轴的端点），所以故顶点的轨迹方程为 （）由题意可知直线的斜率存在，设直线方程为由得，设两点坐标分别为，则，所以线段中点的坐标为,故垂直平分线的方程为，令，得与轴交点的横坐标为，由得，解得，又因为，所以当时，有，此时函数递减，所以所以，故直线与轴交点的横坐标的范围是 17【解析】（）如图，由题意得，.，.所求的椭圆方程为. （）由（）知，（，0），（2，0）. 由题意可设