电动力学习题第一章电磁现象普遍规律

1、电动力学习题答案第一章电磁现象的普遍规律电动力学习题答案第一章电磁现象的普遍规律电动力学习题答案第一章电磁现象的普遍规律第一章电磁现象的普遍规律1.根据算符uv的微分性与矢量性，推导下列公式：uvuuvuvuvuvuvuvuvuv(AB)B(A)(B)AA(B)(A)Buv(uv1A2uuvuvAA)(A)A解：矢量性为2vvvvvvvvva(bc)b(ca)c(ab)vvvvvvvvvc(ab)(bc)a(ca)bvvvvvvvvv(ab)c(ca)b(cb)a微商性vvdvvvvdadbdt(ab)dtbadtvdvvvvvdadbdt(ab)dtbadt由得uvuvuvuvuvuuvBc

2、(A)(BcA)(Bc)AuuvuvuvuvuvuvAc(B)(AB)(A)Bcc+得uuvuvuuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvBc(A)Ac(B)(BcA)(AcB)(Bc)A(Ac)Buvuvuvuvuvuuv因为(AB)(AcB)(ABc)上式得uvuvuuvuvuuvuvuvuvuvuvuvuv(AB)Bc(A)Ac(B)(Bc)A(Ac)B令BA得uvuvuuvuvA2(2AA)2(A)Auv(uv1A2uuvuvAA)(A)A22.设是空间坐标x，y，z的函数，证明：f(u)dfudxuuvuvudAA(u)duuvuvdAA(u)udu解：uuvuuvuvf(u)xf(

3、u)exf(u)eyf(u)ezyzf(u)uuuvf(u)uuuvf(u)uuvuexuyeyuezxzf(u)uuuvuuuvuuvx(xeyee)xyzzdf(u)uduuvxAxyAyzAzA(u)dAxudAyudAzuduxduyduzuvudAduuuvuuvuvexeyezuvA(u)xyzAxAyAzAAyuuvAxAuuvAAxuv()ex(y)ezzzzz)ey(yyxx(dAzudAyuuuv(dAxudAzuuuvdAyudAxuuvduydu)exduzdux)ey(xduy)ezzduuvudAdu3.设r222vvv(xx)(yy)(zz)为原点x出席点x的距离

4、，r的方向规定为从原点指向场点。证明下列结果，并意会对原变数求微商exeyez（xyz）与对场变数求微商（exxeyyezz）的关系vvvrrr,11r,r0,rrrr3r3（最后一式在r=0点不建立，见第二章第五节）vvvvvvuuvuuvv求r,r,(a)r,(ar),E。sin(kr)及vvrr0,(r0)r3r3uuvuuvvvvuv。a,kEsin(kr)，其中。及E均为常矢量。解：ruuvruuvruvrexxeyyezzuuvxxuuvyyex(xx)2(yy)2(zz)2ey(xx)2(yy)2(zz)2uvzzez(xx)2(yy)2(zz)2vrruvruuvruvrrex

5、xeyezzyuuv(xx)uuv(yy)uv(zz)ex(xx)2(yy)2(zz)2ey(xx)2(yy)2ez(xx)2(yy)2(zz)2v(zz)2rrruuvuuvuv1(111)e()e()erxrxyryzrz1ruuvruuvruvr2(xeyeze)vxyzrr3uuvuuvuv1111rx()exy()eyz()ezrrr1ruuvruuvruvr2(xexyeyez)zvrr31vrvvr1(1)rrr3r3vr3103rr3r4rvv3rr4rr0v1vr(r3r2r)vv11r3rr3r3v1r4rrr33vv1rr4(rr)r3vrr3(1vr3r)v11r3rr

6、3vv3(r1r4rr)r30vrr3vrr30(r0)r(xx)xvr3vr(3)(yy)(zz)yz3uuvuuvuvexeyezv0rxyzuuvvxxyyzz(a)rv(axxayyazz)rvvvaxrayrazrxyzuuvuuvuvaxexayeyazezvav(ar)vvvvvvvva(r)(a)rr(a)(r)avvvva00(rxryyrz)a(a)rvxvzvrayrraxazvxyzauuvuuvv。Esin(kr)uuvvuuvuuvvuuvsin(kr)E。sin(kr)E。uuvsin(kx(xx)ky(yy)kz(zz)E。Eoxkxcoskx(xx)ky(yy

7、)kz(zz)Eoykycoskx(xx)ky(yy)kz(zz)Eozkzcoskx(xx)ky(yy)kz(zz)(EoxkxEoykyEozkz)coskx(xx)ky(yy)kz(zz)uuvvuuvvcos(kr)E。kuuvuuvv。Esin(kr)uuvvuuvuuvvuuvsin(kr)。sin(kr)。EEuuvvuvuuvuuvvuuvuuvvuuvkxcos(kr)exkycos(kr)eykzcos(kr)ez。Euuvvuuvuuvuvuuvcos(kr)(kxexkyeykzez)。Euuvvuuvcos(kr)(k。E)4.4.应用高斯定理证明uvuv?SdSVd

8、Vff应用斯托克斯（Stokes）定理证明uvuv解：SdS?LdLuvv?SdSfvcuvuv(fc)dSS?uvvV(fc)dVuvvdV(f)cVuvuv?SdSfVdVfuvv?dLcLvuv?cdLLuv(c)dSSvuvScdSvSdScuvdS?dLSL5.已知一个电荷系统的偶极矩定义为uvvvP(t)(x,t)xdVV利用电荷守恒定律uv0Juvt证明P的变化率为uvuvvdPJ(x,t)dVdtV解：uvPdtvuvvvVtxdVJ(x,t)xdVVuvvuvvV(Jx)dV(J)xdVuvvuvVvuv?SJxdSVJ(x)dVuvvuvuvSJxdSVJdVuvv?0，则

9、取被积地区大于电荷系统的地区，即V的边界S上的J(x,t)uvvuv0.?JxdSSuvuvvdPJ(x,t)dVdtV。uvuvuvuvuvuvmRmRR=0点以外矢量AR3R36.若m是常矢量，证明除的旋度等于标量的梯uv0),其中R为坐标原点出席点的距离，度的负值，即A(R方向由原点指向场点。解：uvuvR(m3)RuvuvuvuvuvuvuvRRR(Rm(3)(m)3R3m)(3RRRuvuvuvuv(R)Rm3)(m3uvRRQR0R3uvuv)R上式(mR37.有一内外半径分别为r1和r2的空心介质球，介质的电容率为止自由电荷f，求空间各点的电场；极化体电荷和极化面电荷散布。解：对

10、空间做高斯面，由：uvuvQ?EdSQ4r2EI1(4r234r13)f33EI(r23r13)f3r2uuv(r23r13)fvEI3r2ruvuv对空间：做高斯面，由?DdS4r2D(4r34r3)fuvuv331QDEuv(r3r13)fvE3r2r对空间:做高斯面，由4r2E0E0由uvuvuvD0EPuvuvuvPD0Euv(r3r13)f0(r3r13)fvP3r23r2ruv)m，使介质内平均带静uv(0)fv3vr13r)P(rP3uvrPuvvv(0)f(r13r)3rr3(0)f(30)(10)f3r2时,由边值条件:P2nP1nuvP(P由1指向2)PP1nP2n(0)f

11、(r24r13r23r23)(r23r13)(0)f3r22r23r13(10)f,(rr)3r222PP1nP2nuv0(0)fuvr13r1)3(r13r20(rr1)8.内外半径分别为和的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定平均自由电流，导体的磁导率为，求磁感觉强度和磁化电流。Bdl0I解：由L所以2rBI0r22r12Jf所以BI0r22r12Jf2r方向为?JrBI2r02r22r12Jfrrr2对地区由HdlIL2rHr2r12JH1r2r12J2r方向为对地区有:(2)由由JM00000由?JrB1H2r2r22r12Jfr2rB0B0BMH0MBH0H00M012r2r12JZr

12、02rJMM0JZrr12JZr11r12JZr22r222r20011r12JZr1r12JZr22r222r21r12rJZr1r12rJZJZrr3r22r21r12rJZr1r123JZJZr422r21r12JZr21r122JZr402r22221r12JZJZr12JZ1JZrr0DHJZt同理fnH2H1JMMMnM2M1由vvBvHM0BH得M11B0vv11v11vBMr2nB00v1122vvn2r2r1Jfr02r20r22r12vvv02r22nJfrr22r12vvvvvv12r2JfnrrJfn02r2r2v1221r2Jf02r2r22r12vr2)12r2Jf

13、(r0vv11v11vMr1n0B0Bv1122vvn02r2r2r1Jfr10(rr1)(10)9.证明平均介质内部的体极化电荷密度p老是等于体自由电荷密度f的倍。p(01)f即：解：由平均介质有uvuvuvP0EPuvuvPEuvuvPPuvPf由得uvuvuvD0DP两边求散度uv0uvuvPPP由得0uvffPP(10)fuv10.证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作使劲大小相等，发向相反。（但两个电流元之间的相互作使劲一般并不听从牛顿第三定律）uv解：令两个线圈中的电流分别为I1和I2。电流圈L1对另一个电流圈L2中的电流元I2dl2的作使劲为：uvuvuuvuuvdF12I2dl2

14、B(r12)其中vuuvuvuuv0I1dl1r12B(r12)?34L1r12uvuuvv是电流圈在电流元I处激发的磁感觉强度，是从中的电流元到电流元L12dl2rL1Idl1211uuvuvr120L2r123I2dl2的矢径。将式代入式，并对积分，利用斯托克斯定理,同时注意到,即获得电流圈L1对L2的作使劲：vuuvuvuv0?L1I1dl1r12dF12I2dl24r123uvuvvuuv0蜒LI1dl13r12F12I2dl2L214uvvuuvr120蜒LI1I2dl2dl1r124L321r120蜒LI1I2vuvvvuvv4L3dl1(dl2r12)r12(dl2dl1)21r

15、12uuvuvuvvvvQ40蜒L2I1I20I1I2r12dl2L1r123(dl2r12)dl14蜒L1dl1L1r123vuuv0r124蜒L1I1dl1S2I2(r123)dS2uuv因为r120(r123)0vuvuvv0蜒L2I1I2r12dF124L1r123(dl2dl1)v同样，电流圈L2对L1中的电流元I1dl1的作使劲为:uvvuvvdF21I1dl1B(r21)其中uvvuvv0?L2I2dl2r21B(r21)4r213vvuvuvuuvB(r21)是电流圈L2在电流元I1dl1处激发的磁感觉强度,r21是从电流元I2dl2到电流元vI1dl1的矢径。L2对L1的作使

16、劲为vuv0I1I2蜒L1L2r21vuvdF214r213dl1dl2注意到vvr21r12于是有uvuvF21F1211.平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为和，电容率为和，令在两板接上电动势为的电势，求：电容器两板上的自由电荷面密度介质分界面上的自由电荷面密度；若介质是漏电的，电导率分别为和，当电流达到恒准时，上述两问题的结果怎样解：由E1wfE2wfE1l1E2l212wfl1wfl2wfl1l21212nD2D1wf2得wf1E12E20当介质漏电时由得JEJE有Jl1Jl2Jl1l21212wfJwf11J21E12l11l2111同理wf22J2122l11l2wf2nE2

17、E11E22E11222l11l212l11l212212l11l2tg12.证明：当两种绝缘介质的分界面上不带自由电荷时，电场线的波折知足：tg211其中1和2分别为两种介质的介电常数，1和2分别为界面两侧电场线与法线的夹角。tg当两种导电介质内流有恒电流时，分界面上电场线波折知足tg分别为两种介质的电导率。解：2211，其中1和2nE2E10切向分量连续有E2E1E1E1ntg1E2E2ntg2tg2E1ntg1E2nnD2D1f0D2nD1n2E2n1E1n代入上式得：tgtg2E1n211E1n12nE2E10，切向分量连续，JEJE有E2E1E1E1ntg1E2E2ntg2tg2E1

18、ntg1E2nnJ2J1n2E21E1ft02E2n1E1n代入上式得tgtg2E1n2111E1n213.试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线老是垂直于导体表面；在恒定电流情况下，导体的电场线老是平行于导体表面。解：由边值关系：n2E21E1f01E1nffE1n1又由边值关系nE2E10即E2E1因为假定为静电情况JE0JE0E2E10E1tg10E1/0即导体外的电场线老是垂直于导体表面。在恒定电流情况下：由nJ2J10n2E21E102E2n1E1n因为10所以E2n0即导体内电场线老是平行于导体表面。14.内外半径分别为和的无限长圆柱形电容器，单位长度荷电为，极间填充电导率为的非磁性物质1）证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消，因此内部无磁场。2）求f随时间的衰减规律3）求与轴相距为r的地方的能量耗散功率密度4)求长度为L的一段介质总的能量耗散功率，并证明它等于这段的静电能减少率解：（1）?Jt?EvEJ00t由（3