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文档简介

1、近世代数第二章 群论 5 变换群 9/3/2021研究一种代数体系就是要解决这种代数体系的下面三个问题：存在问题；数量问题以及结构问题。关于数量问题，指的是彼此不同构的代数体系的数量，因为同构的代数体系抽象地看可以认为是相同的代数体系。 本讲的凯莱定理将告诉我们，如果将所有变换群都研究清楚了，也就等于把所有群都研究清楚了，无论是否如此简单，但至少从理论上知道凯莱定理的重要性。 9/3/2021一、集合的变换和变换乘法 1 变换：设是一个非空集合，若是就称是的一个变换.到上的映射2 变换集合：由的全体变换做成的集合，由的全体一一变换做成.记为的集合记为 9/3/20214 变换乘法是的代数运算，

2、也是的代数运算.5 恒等变换：，3 变换乘法：，规定，称为的乘法. 9/3/2021二、变换群的概念 例1 设的全部变换如下问：（1）关于变换乘法是否做成群？关于变换乘法是否做成群？（2） 9/3/2021解：（1）非空、代数运算、结合律都满足，事实上，就没有逆元.因为如果有逆元.那么必有且.但是而 导致矛盾，故没有逆元.不能成为群.有单位元. 那么“逆元”问题能解决吗？因此 9/3/2021（2）非空、代数运算、结合律都满足，的逆元是的逆元是自身. 因此例2 设，并取定，则易知是的一个非一一变换，从而关于变换乘法做成群.有单位元成为群. 9/3/2021定义1设的若干一一变换关于变换的乘法做

3、成的一个一一变换群；的若干非一一变换关于变换的乘法做的一个非一一变换群.是一个非空集合，则的若干变换关于变换的乘法做成的群，的一个变换群；由称为由的群，称为由成的群，称为 9/3/2021定理1设为非空集合，构成的一个变换群.关于变换的乘法证明：乘法封闭性、结合律都满足，单位元为恒等变换，每个一一映射都有个与之对应的互逆的一一映射. 9/3/2021定义2称集合上的一一变换群为上的对称群；时，其上的对称群用表示，称为n 次对称群.当显然：（1）上任何一一变换群都是上的对称群的一个子群，即上的对称群的最大的一一变换群；是（2）n次对称群是一个阶为的有限群. 9/3/2021定理2设是非空集合的一

4、个变换群.则证：必要性显然；下证充分性：设有的单射变换，于是，由是单射变换，因此是的恒等变换；，若，则，所以是单射变换；，所以是满射变换.是的一个一一变换群中含有的单（满）射变换.，因为是群，故有单位元得 9/3/2021推论1：是非空集合的一个变换群，则或者是一一变换群（单位元是恒等变换），则不能成为群.或者是非一一变换群，即任何一个变换群都不可能既含有一一变换又含有非一一变换.注意：如果 9/3/2021例例3. 令，则做成的一个，规定，则做成的一个上的对称群.非一一变换群.例4. 令一一变换群，但不是（单位元）（单位元） 9/3/2021定理3(凯莱定理)任何群都能同一个一一变换群同构.证：设 是任意一个群,，规定的一个变换,易知是一个一个一一变换.令 ，则，所以是同构映射.所以. 9/3/2021推论2

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