备战高考数学(精讲+精练+精析)专题5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理试题文含解析

1、专题1平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理,(文科)【三年高考】1.12016高考新课标2文数】已知向量 a=(m,4) , b=(3,-2),且a/b,则m=.【答案】6【解析】因为a/b,所以2m 4 3 0,解得m 6 .2.12016高考天津文数】 已知 ABB边长为1的等边三角形，点D, E分别是边AB, BC的中点，连接DE并延长到点F ,使得DE 2EF，则AF BC的值为()(A)(B) 1(C) 184(D)118urn r uur【解析】设BA a, BCruuurb,DEuuiruuuruuir r3 rrAFADDF-a- (ba)24r3.12016高考山东文

2、数】已知向量 a1 uuur 1 r r uuur -AC -(b a), DF 225 r 3 ruuir uuur-a -b, AF BC44 HYPERLINK l bookmark52 o Current Document rrr(1,-1) ,b (6,-4).若 ata3 uuir3 r r产-(b a),5r a4【答案】5r r【解析】ta brrr6 t, 4 t , taba6 t, 4 t 1, 12t 10 0,解得 t 54.12015 (Wj考新课标1,文2已知点 A(0,1), B(3,2),向量uuurACuuir(4, 3),则向量 BC ()(A) ( 7,

3、 4)(B) (7,4)(C) ( 1,4)(D) (1,4)uur uuu uuuAB OB OA=(3,1),uiur uuur uuuBC AC AB =(-7,-4),故选 A.5.12015高考北京，文6】设a, b是非零向量,a b ” 是“ ab ”的(A,充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D.既不充分也不必要条件r r r r r r【解析】a ?b | a | ? | b | cos a,br r,由已知得cos a, br r1,即 a,br r r r0 , a/b .而当 a/b 时,A.r rr ra,b 还可能是，此时a?br r r r|a|

4、b|,故 a b的充分而不必要条件，故选6.12015高考安徽，文15】ABC是边长为2的一等边三角形，已知向量a、b满足AB 2a , AC 2a b则下列结论中正确的是(写出所有正确结论得序号)a为单位向量；b为单位向量；a b；bBC;(4a b) BC。【答案】【解析】:等边三角形d4的边长为Z与二方二回|二，二2 0目二L故正确f：AC=AB-BC = 2iBC ，祝7 = $np =2 ,敌错误,正确5由于4豆=2口出= 5=环8夹角为 120故错误；y.,(4a+6) BC+ ft)*&=4-S + |S* =4xlxix (-1)+4 = 0(4x3 4-t；) -BC j故正

5、确 因此正石街的编号是7.12015高考天津，文13】在等腰梯形 ABC珅，已知ABPDC,AB 2,BC 1, ABC 60o,点E和点uuir 2 uuir uur 1 uuuruuur uuurF分别在线段BC和CD上，且BE -BC,DF 1DC,则AE AF的值为 36【答案】2918【解析】在等腰梯形 ABC珅,由AB PDC , AB 2, BC 1, ABC 60o,得uuur uur 1 uuu uur uuurAD BC -, AB AD 1, DC 2uuu uuu unr uur AB BE AD DFuur 2 uurAB -BC3uuur 1 uurAD AB12u

6、uu uur 2 uur uur AB AD -BC AD 31 uur 21 uur uuuAB BC AB1218.1 1 1291 -3 3 18 18 .8.12015高考上海，文13】已知平面向量a、b、c满足a b,且卷|,而,向 1,2,3,则ia b ci的最大值是解析1因为口设口二。=(ON),二(父。第4加为,d曰02口,所以a+工 + C=口 + 3cos+3sin 所以|口+各+汇 1 2 (1 +3cos)_ +(2 + 3 sin6) 14 + 6 sin( 8, H中专in 0 二所以兰啊8+砌=1时3 M +各取得最大值1即J14+6JJ = 3 +在9.120

7、14福建，文10】设M为平行四边形 ABCD寸角线的交点，O为平行四边形 ABC所在平面内任意一点,uur uur uurOB OC OD等于uuurAOMuuuuB.2OMuuuuC.3OMuuurD.4OM【解析】由已知得，uuuOAuuuu 1 uuu OM -CA, 2uuuOBuuur OM1 uuur -DB , 2uuurOCuuuinOM1 uuurAC 2uuruur uuuruuuruuuuuuuuuruuuruuurCAAC, DBBD,所以OAOBOCOD4OM ,选D.D【2014全国课标1,文6】设D,E,F分别为 ABC的三边BC,CA,AB的中点,10.uuur

8、 uuur 1 uuurOD OM BD,而2EB FC ()A. AD B.1AD21-C. BC D.2BC【解析】根据平面向量基本定理和向量的加减运算可得：在BEF 中,uuuEBuurEFuuu FBuurEF1 uuu AB,同2uuur uuu uuir 理 FC FE ECuuuFEuur EBuur uurFC (EF1 uuu2 AB)1 uuur1 AC2uuu(FE1 uuur AC)21 uuu 1 uuur (-AB -AC) 221 uuu2(ABuuurAC)uurAD11.【2014上海,文14】已知曲线C： x.4 y2,直线l : x=6.若对于点A (m1

9、 0)C上的点Puuir上的点Q使得APuuur rAQ 0 ,则m的取值范围为【答案】2,3uur uur【解析】由AP AQr0知A是PQ的中点，设P(x,y),则Q(2m x, y),由题意 2 x0,2mx 6,解得212.12014陕西，文18】在直角坐标系xOy 中,已知点 A(1,1),B(2,3), C(3,2),点 P(x,y)在 ABC边围成的区域(含边界)uuur上，且 OPuuu uuurmAB nAC (m, n R).uuu求 |OP|;(2)用x, y表示mn ,并求m n的最大值.【解析】二a=(L2h1 而=m方”元,又 =n = -f :.0P = ASAC

10、 = (2iy), ：.OPly/l f x= w + 2 w_(2)OF 二陶,15十心IC,二工1=(陶+ 2仪叨十8b即彳,两式相湎得：m -?z= v-x y = 2耀+ n令了一H=r,由图可知，当直线y = x+f过点3Q$)时j，取得最大值L故加一盯的最大值为1.IF 一 【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题，对平面向量概念及线性运算、平面向量基本定理的考查重点为平面向量的相等的概念、平面向量平行的概念及充要条件、平面向量加减法及其几何意义、实数与向量积的运算概念及运算性质、平面向量基本定理、平面向量的坐标运算，特别是平面向量平行的充要条件、运用平面向量的加减法、实数与向量

11、数量积及平面向量基本定理将未知向量用已知向量表示出来是考查的重点中的重点，题型既有选择题、填空题，有时也涉及解答题，往往和解析几何结合出题，函数等结合出题，与三角结合出大题在新课标卷中还没涉及，向量作为工具在考查三角函数、立体几何、平面解析几何等内容时经常用到.整个命题过程紧扣课本，重点突出，有时考查单一知识点；有时通过知识的交汇与链接，全面考查向量的运算律等内容.【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出，高考对平面向量概念及线性运算、平面向量基本定理的考查重点仍为平面向量的相等的概念、平面向量平行的概念及充要条件、平面向量加减法及其几何意义、实数与向量积的运算概

12、念及运算性质、平面向量基本定理、平面向量的坐标运算，特别是平面向量平行的充要条件、运用平面向量的加减法、实数与向量数量积及平面向量基本定理将未知向量用已知向量表示出来是考查的重点中的重点，向量作为工具与其他知识交L会处命题会增加，应予以关注，单独考查形式为选择题或填空题，分值为5分，难度为多为容易题或中档题 .故2017高考复习，要熟记平面向量的有关概念，熟练掌握平面向量共线的充要条件的两种形式，并会应用之解决三点共线问题，掌握平面向量加法与减法的三角形法则与平行四边形法则，会结合图形运用通过构造三角形、平行四边形、多边形运用平面向量实数与向量积、平面向量基本定理用待定系数法将未知向量用已知向

13、量表示出来从2016年高考试题来看，特别是新课标1卷考查向量的线性运算几乎没涉及，故预测2017年高考可能以向量的坐标运算、向量共线的坐标表示，向量的平行为主要考点，出一道小题 【2017年高考考点定位】高考对向量的概念及线性运算、平面向量基本定理的考查主要有三种形式：一是直接考查平面向量的概念与线性运算，二是考查平面向量共线的充要条件，三是考查平面向量基本定理，题型为选择题，难度容易题或中档题，有时与线性规划、平面解析几何知识结合，以向量形式给出题中的条件或利用向量共线的充要条件处理涉及的共线问题 .【考点1】向量的概念【备考知识梳理】.向量：既有大小又有方向的量，两个向量不能比较大小.零向

14、量：模为0的向量，记作0,其方向为任意的，所以0与任意向量平行，其性质有：0?a=0, 0+a=a.单位向量：模为1个长度单位的向量，与 a方向相同的单位向量为 .|a|.相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作a=b.相反向量：长度相等且方向相反的两个向量，a的相反向量为-a ,有-(-a尸a.【规律方法技巧】.判定两向量的关系式时，特别注意以下两种情况： TOC o 1-5 h z (1)零向量的方向及与其他向量的关系.(2)单位向量的长度与方向.对任意向量可以自由移动，且任意一组平行向量都可平移到一条直线上.向量不能比较大小，但它的模可以比较大小【考点针对训练】.设向量-a (x,1),

15、 b (4,x),若a, b方向相反，则实数x的值是()A. 0 B .2 C . 2 D.2【解析由题意得：X2-4 = 0,解得：耳=12,当工=2时，a =(2,1) B=(42)j也寸B方向 相同，不符合题意，舍去-当=-2e尢3=(2J5 = (4.-2),此时3B方向相反，符合题意.所 以实数工的值是一？，故选1. TOC o 1-5 h z .已知向量a= 3,4 ,若| a 5,则实数 的值为()A. 1 B . 1 C .1D .155【答案】D【解析】因为a= 3,4 ,所以aJ32 42 5,因为 aa 5,所以55,解得:1,故选D.【考点2】向量的线性运算【备考知识梳

16、理】.向量加法：平行四边形法则：平移 a, b使其由公共的起点，以 a、b为领边做平行四边形，则以共同起点为起点的 对角线对应的向量就是 a与b的和向量.三角形法则：要注意“首尾相连”两个向量的和向量仍为向量当两个向量共线时，三角形法则适合，平行四边形法则不适合.向量减法应注意：向量减法实质是加法的逆运算，其差仍是向量；用三角形法则作向量减法时，牢记“起点相同，连结两个向量的终点，箭头指向被减向量终点”.向量数乘运算实数 与a的积仍是向量，| a|二| |a|,当 0时，a与a方向相同，当 0时，a与a方向相反，当 =0时，a = 0.向量数乘的特殊情况：a = 0充要条件是a = 0或 =0

17、.实数与向量可以求积，但可以求和、差 熟练掌握向量的线性运算的运算律是正确化简向量式的关键，要正确区分向量数量积与实数向量积的运算律.平面向量基本定理平面向量基本定理：若 a、b是平面内不共线的向量，向量 c是平面内任意一个向量，则存在唯一实数对x, y ,使 c = xa + yb .平面向量基本定理作用，平面向量基本定理是定义向量坐标的基础，是将平面内任意向量用不共线的平面向量即基底表示出来的基础5.平面向量的基本运算若 a=(x，y)，b=(X2，y2),则 a b=( X1 X2,y1y2), a= (x，y1)，若 A ( X1, y1)，B ( X2,uuuy2),则 AB = (

18、 X2- X1, y2- y1).【规律方法技巧】.在进行向量的线性运算要能L的转化到三角形法、多边形或平行四边形中，运用三角形法则构成“首尾相连”回路，或平行四边形法则,利用三角形中的中位线，相似三角形对应边成比例等平面几何知识，结合实数与向量的积，逐步将未知向量转化为与已知向量有直接关系的斜率求解uuuu 1 uuu uuu.当M是线段AB的中点时，则OM =1(OA OB)是中点公式的向量形式，应当做公式记忆.2.当已知向量的坐标或易建立坐标系时，常用向量的坐标运算解向量的线性运算问题【考点针对训练】1.【2016届河南省禹州市名校高三三模】如图所示，已知uuriL uuu uur1,O

19、B V3,OAgOB 0,点C在线段 AB上,AOC 30uLLT,设OCuuur mOAuuu uuruurnOB m,n R ,则 m n 等于()9A.【解析】依题意可知OC AB ,且 ACuuu 1 uuur uuuOA OB OA43 uuu 1 uuu-OA OB , m2，BC1n 一.2uuur3的一,故 OCuuuOAuuur uuuAC OA1 uuu AB32.12016届天津市和平区高三三模】在平行四边形ABCD 中,E为BC的中点,F为DC的中点，若的值为uuuruuuruuurACAEBF ,则 E解析】AC = AB + AD ,由题设可知 AE = AB +3

20、E = AB + -AD, BF = BC - FC = AD -ABAC=+ - AD) +AB) = (z -，而工=石+石，尸似A 一一 口 =12,解之得1 J【考点3】平面向量共线问题【备考知识梳理】1.共线向量的概念：若两个非零向量a、b的方向相同或相反，则称 a与b共线，也叫a与b平行，规定零向量与任意向量共线.两个向量共线其所在的直线可能重合也可能平行向量共线的充要条件:一共线向量定理：a/b（bw。） 存在唯一实数 ，使得a= b.若 a = ( x1, y1)b = (X2,y2),贝Ua / bxy2-x2y二0.【规律方法技巧】.向量共线的充要条件中，要注意当两个向量共

21、线时，通常只有非零向量才可以表示与之共线的其它向量,要注意待定系数法和方程思想的应用.对三点共线问题，可以用向量共线来解决,但要注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两个向量共线且有公共点时，才能得出三点共线uuu uur.若A、R C三点共线且OA OBuuurOC ,则=1.【考点针对训练】1.12016届淮南市高三第二模】在ABC中，点-D在线段BC的延长线上，且uuurBCuuur3CD，点O在线段uurCD上（与点C, D不重合），若AOuuur xAB(1uurx）AC ,则x的取值范围是（1A。,3)1(0,2)1(3，0)1丁【答案】C【解析】由题意得AO=AC + CO,。在

22、线段CD上且不与端点重合，所以存在上(OMkvl),使CQkCD ?又就二3砺，所以西=？前二3(元一万)商以 33AO = AC+-riCJ-S) =-4 + (1 + ) JC f Ji AO = xAB + (1x) JC ,所以工三j 所以 3333-xX !-3 Jx y）当且仅当时取等号，所以选C.14.12015届山东省日照市高三校际联合检测（二模）在平面直角坐标系 xOy中,设直线y x 2与圆3 uuu-OB ,则 r= 4【答案】.10uuur2 【解析】OC5 uur 3 uur-OA -OB 44r2 巴2 + 15r2cos AOB 1689 2. 一r2 ,整理化简

23、得:16cos AOB3过点O作AB的垂线交AB于D ,525 uuu25 uuu3 uuu9 uuu2OA2OAOB OB ,即:164416则 cos AOB 2cos2 AOD 13 ,得cos2 AOD 1 ,又圆心到直线的距离为 OD -2= J2 ,55221 OD所以 cos AOD25 r刍，所以r2 10, r 府. r15.12015届四川省成都市第七中-学高考热身考试】在平面上,uuurAB1uuur uuurAB2, OB1uuuuOB2uuu uuur1,AP AB1uuuuAB2 .uuuOP1,则2uuuOA的取值范围是（A.50,一2.5 .7,22W、2【解析

24、】根据条件知A B1，P, B2构成一个矩形A, B1PB2 ,以AB1, AB2所在直线为坐标轴建立直角坐uuurOB21,得uuur标系，设| AB1|a,| AB2 |b ,点O的坐标为x,y ,则点P的坐标为a,b ,由OB1，则2,2x a 1 y uur . OP22y b 1 x2212/a y 1, y 1 x知742,1 一，一 22 auurr OA2212x a y b 1 x41 , y2 1,同理 x2 1x22,故选D.1 y2y2 2,由拓展试题以及解析uuu.已知 A(2, 1), C(0,2), AB (3,5),则 |BC| ()A. 6 B . 299 C

25、 . 8 D . 12【答案】B【解析】由已知得 bc Ac Ab ( 2,3)(3,5) ( 5, 2), |BC | v( 5)2 ( 2)2 回,故选 B.【入选理由】本题考查向量的模、向量加减法运算，以及向量的坐标运算等基础知识，意在考查学生分析问题解决问题的能力和运算求解能力.本题利用点的坐标，合理转化，难度不大，故选此题2.已知向量(1,2)r(3,x), c(x,4),若r(ar rb)/c,贝U x (A.2 或 4B.C.D.(2,2x）,由（a b）/c可得（2)4 x(2 x),即 x2 2x0,解得【入选理由】本题考查共线向量的充要条件，向量加减法运算，以及向量的坐标运

26、算等基础知识，意在考查学生分析问题解决问题的能力和运算求解能力.本题是一个常规题，难度不大，故选此题UULTUULT UUU2DC，则 AD BC =(UULT3.在 ABC 中，AB 2AC 2 , BAC 60o, BDA.1 B . 1 C .用 D .2【答案】A.【解析】由题意及向量的加、减法的运算法则得：LUTAB)uuituut uuuuuituhtuuit2 uhtuhtuut2 uuituhtuut uut 1 uut2 uut uutADBC(ABBD)BC(AB-BC)BCAB-(ACAB)(AC AB)(-AB-AC) (AC TOC o 1-5 h z HYPERLI

27、NK l bookmark82 o Current Document 3333uur2 2 uur 2 1 uuit uuit-AB-AC -AB AC 1,故选 A.333【入选理由】本题主要考查向量的加、减法的运算法则及向量数量积的定义，意在考查学生的数形结合能力和基本运算能力.本题是向量在几何中的应用，是高考常考题型，故选此题4.已知AC、CE为正六边形ABCDEF的两条对角线，点 M , N分别在线段AC、CE上，且使得uuuu uuur uurAM rAC,CNuuurCE ,如果B,M , N三点共线，则r的值为()【解析】由题意得，建立如图所示的平面直角坐标系,设正六边形的边长为 2 ,则A(0,0), B(2,0), C(3, J3),一 uuuE(0,2回 则 AB (2,0),uur - uuurBC(1, 3), AC(3_ uuu _uuuuV3), CE ( 3,v3)， 因为 AMuur uur uurrAC,CN rCE,uuuu _ uur则 AM (3r,-3r),CN (3r J3r),所以uuuruuirBN BCuuurCN(1,J3