函数的周期性经典例题

1、 00函数的周期性周期函数的定义：对于函数fx)，存在非0常数T,使得对于其定义域内总有f(x+T)，f(x)，则称的常数T为函数的周期。周期函数的性质：1、f(x)，f(x+a)，则y，f(x)是以T，a为周期的周期函数；2、若函数y=fx)满足fx+a)=fx)(a0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。3、若函数f(x+a)，f(xa)，则f(x)是以T，2a为周期的周期函数4、y=f(x)满足f(x+a)=_(a0),则fx)为周期函数且2a是它的一个周期。5、若函数y=fx)满足f(x+a)=_(a0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。6、7、8、f(x+a)，】f

2、(x)，则f(x)是以T，2a为周期的周期函数.1+f(x)f(x+a)_1+f(x)，则f(x)是以T，4a为周期的周期函数.1-f(x)若函数y=fx)的图像关于直线x=a,x=b(ba丿都对称，则f(x)为周期函数且2(b-a)是它的一个周期。9、函数y,f(x)(xR)的图象关于两点A(a,y)、B(b,y)(ab)都对称,00贝U函数f(x)是以2(b-a)为周期的周期函数；10、函数y,f(x)(xR)的图象关于A(a,y)和直线x二b(a0),则fx)为周期函数，6a是它的一个周期。14、若奇函数y=fx)满足fx+T)=fx)(xWR,与0),则f(T)=0.2【试题举例】例1

3、、(2006年山东卷)已知定义在R上的奇函数fx)满足f(x+2)=一fx),则f(6)的值为(B)(A)1(B)0(C)1(D)2【考点分析】本题考查函数的周期性和奇偶性，基础题。解析：由f(x2)=-f(x)f(x4)=-f(x2)=f(x)由f(x)是定义在R上的奇函数得f(o)=0,f(6)=f(42)=f(2)=，f(0)=0，故选择Bo【窥管之见】本题用到两重要性质：f(xa)=，f(x)f(x)的周期为2a；如f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)=0o例2、(2005天津卷)设fx)是定义在R上的奇函数，且y=f(x)的图象关于直线x1对称，则f(1)+f(2)+f(3)+f

4、(4)+f2(5)=_0.【考点分析】本题考查函数的周期性解析：f(0)f(o)得f(o,0，假设f(n,0因为点(n，0)和点(n1,0)2f(n1Lf(_n)f(n)0因此，对一切正整数n都有：f(n,0从而：f(1,f(2)+f(3)+f(4)+f(5,0。本题答案填写:0例列、(2006福建卷)已知f(x)是周期为2的奇函数，当0 x1时,f(x)lgx.设af(5)，bf(|)，cf(2)，则A)abcB)bacC)cbaD) # # cab解：已知f(x)是周期为2的奇函数，当0 x1时，f(x)lgx.，Cf(|)0，4)_f(4)，bf(I)f(2)cab，选D.例冲、(200

5、6年安徽卷理)函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2Lfj-,，若f(1)=-5,则f(f(5)=考点分析】本题考查函数的周期性与求函数值，中档题。解析：由f(x,2)=4得f(x,4)=丄严f(x)，所以f=f(1)=5，则f(f(5)二f(5)二f(-1)二1一1。f(-1，2)5【窥管之见】函数的周期性在高考考查中除了在三角函数中较为直接考查外，一般都比较灵活。本题应直观理解f(x,2)=“只要f(x丿加2，则变倒数，加两次则回原位”则一通尽通也。例5、(1996全国，15)设f(x)是(-，收)上的奇函数，f(x,2)=-f(x)，当02口时，f(x)=x，则f(7.5)等于()

6、A.0.5B.0.5C.1.5D.1.5解析：由f(x+2)=-f(x)nf(7.5)=-f(5.5)=f(3.5)=-f(1.5)=f(-0.5)，又f(x)是奇函数，故f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5，故选择Bo例6、(2005福建卷f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)=0，则方程f(x)=0在区间(0，6)内解的个数的最小值是(B)A5B4C3D2解析：由f(x)的周期性知，f=f(5)=f(-1)=-fG)=-f(4)=0即至少有根1，2，4，5。故选择Bo例(05广东卷)设函数f(x)在(-,+)上满足f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7,x)，且

7、在闭区间0，7上，只有f(1)=f=0.试判断函数yf(x)的奇偶性；试求方程f(x)=0在闭区间-2005,2005上的根的个数，并证明你的结论.解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数yf(x)的对称轴为x2和x7,从而知函数yf(x)不是奇函数,，f(4-x)f(14-x)f(2-x)f(2+x),f(x)f(4-x)f(7-x)f(7+x)=f(x)f(14-x),f(x)f(x+10),从而知函数yf(x)的周期为T10又ff(0)0,而/(7)H0，故函数yf(x)是非奇非偶函数;，f(4-x)f(14-x)(II)由f(2-x)f(2+x),f(x)f(4-x)If(7-x)f(7+x)，If(x)f(14-x)，f(x)f(x+10)(II)又ff(0)0,f(1