圆锥曲线中的一类定点问题（解析版）备战2022年高考数学必备考试技能高分领先方案

1、第PAGE 页码16页/总NUMPAGES 总页数16页Evaluation Warning: The document was created with Spire.Doc for .NET.专题17 圆锥曲线中的一类定点问题一、结论若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.(1)对于椭圆()上异于右顶点的两动点,以为直径的圆经过右顶点,则直线过定点.同理,当以为直径的圆过左顶点时,直线过定点.(2)对于双曲线上异于右顶点的两动点,以为直径的圆经过右顶点,则直线过定点.同理,对于左顶点,则定点为.(3)对于抛物线上异于顶点的两动点,若,则弦所在直线过点.

2、同理,抛物线上异于顶点的两动点,若,则直线过定点.二、典型例题1（2022安徽蚌埠高二期末）已知直线l与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若直线的斜率之积为，则直线l恒过定点（）ABCD【答案】A【详解】设直线方程为 ，联立 ，整理得： ，需满足 ，即 ，则 ，由 ，得： ，所以 ，即 ，故 ，所以直线l为：，当时，即直线l恒过定点，故选：A.另解：对于抛物线上异于顶点的两动点,若,则弦所在直线过点,本题中由于直线的斜率之积为，所以，直接使用二级结论，所在直线过点，即.【反思】圆锥曲线过定点问题，是一类重点提醒，在选择填空题中，先判断是否符合可以使用二级结论，在符合的情况下，小题可以直

3、接使用二级结论，解答题可以把二级结论当做工具试探答案，但是不可以直接使用二级结论，如确实要用，需先证后用.2（2021安徽合肥市第六中学高三开学考试（文）已知抛物线，和分别为抛物线上的两个动点，若（为坐标原点），弦恒过定点，则抛物线方程为（）ABCD【答案】B【详解】若直线与轴重合，此时直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.设点、，设直线的方程为，联立，消去可得，所以，因为，则，解得.因此，抛物线的方程为.故选：B.另解：对于抛物线上异于顶点的两动点,若,则弦所在直线过点,本题中由于,符合使用条件，由于弦恒过定点，所以.【反思】圆锥曲线过定点问题，是一类重点提醒，在选择填空题中，先判断是否符合

4、可以使用二级结论，在符合的情况下，小题可以直接使用二级结论，注意先判断，后使用.3（2022江苏高三专题练习）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2=弦2”，设直线交抛物线于，两点，若，恰好是 的“勾”“股”（为坐标原点），则此直线恒过定点（）ABCD【答案】D【详解】设直线的方程为，由 得，由根与系数的关系可得：，若，恰好是 的“勾”“股”（为坐标原点），可得，所以，即，所以，所以，即，解得或（舍）所以直线的方程为，恒过点，故选：D另解：抛物线上异于顶点的两动点,若,则直线

5、过定点,本例中，若，恰好是 的“勾”“股”（为坐标原点），可得，所以，即，所以直线过定点，即.【反思】圆锥曲线过定点问题，是一类重点提醒，在选择填空题中，先判断是否符合可以使用二级结论，在符合的情况下，小题可以直接使用二级结论，注意先判断，后使用.4（2020山东省实验中学高三阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，且满足，椭圆上的点到焦点距离的最大值为(1)求椭圆的标准方程；(2)若P是椭圆上的任意一点，求的取值范围；(3)已知直线与椭圆相交于不同的两点M，N(均不是长轴的端点)，AHMN，垂足为H且，求证：直线l恒过定点【答案】(1)(2)(3)证明见解析(1)由已知，解

6、得，则，故椭圆的标准方程为(2)设，则，又，由于在椭圆上，由在区间上单调递增，可知当时，取最小值为0；当时，取最大值为12故的取值范围是(3)由消去得：设，则， ，由得，即，可得，则，即化简得或，均适合当时，直线过，舍去；当时，直线过定点故直线l恒过定点.【反思】在本题第（3）问中，由，即，可得，符合可以使用的二级结论：对于椭圆()上异于右顶点的两动点,以为直径的圆经过右顶点,则直线过定点.同理,当以为直径的圆过左顶点时,直线过定点.即l过定点，即,注意，本题作为解答题，不可以直接使用该结论，但是可以用该二级结论试探答案，做到心中有数.三、针对训练 举一反三1已知双曲线，点，在双曲线上任取两点

7、、满足，则直线恒过定点_；【答案】【解析】设的方程为,则由.设,则是该方程的两根,.又,故，,又,代入,得：整理得：,或.当时,过与题意不符,故舍去。当时,过定点.故答案为：2（2022四川巴中一模（文）已知椭圆C：（ab0）的左右焦点分别为，点满足，且的面积为.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的上顶点为P，不过点P的直线l交C于A，B两点，若，证明直线l恒过定点.【答案】(1)(2)证明见解析.(1)由,则，所以又，则点在椭圆上所以，又 联立解得 所以椭圆C的方程；(2)由题意，根据条件直线的斜率必存在设直线的方程为， 由 ，得所以 （*）由，则 所以，即，即或（舍）将代入（*）成立.所

8、以直线的方程为，所以直线恒过点3（2022全国高三专题练习）已知椭圆的左右顶点分别为A，B，点P为椭圆上异于A，B的任意一点(1)证明：直线PA与直线PB的斜率乘积为定值；(2)设，过点Q作与轴不重合的任意直线交椭圆E于M，N两点问：是否存在实数，使得以MN为直径的圆恒过定点B？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)证明见解析(2)存在；(1)；设，且，则所以(2)设，直线MN的方程为；联立及，得，所以，（*）若以MN为直径的圆过点B，则，即将带入整理得；带入（*），化简整理得5，解得，或（舍），满足，故存在，使得以MN为直径的圆过恒过定点B；4（2021天津市静海区第六中学高三

9、阶段练习）已知椭圆的离心率是，一个顶点是.（1）求椭圆C的标准方程（2）设P，Q是椭圆上异于顶点的任意两点，且，求证：直线PQ恒过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【详解】（1）椭圆焦点在轴上，所以，解得，所以椭圆方程为.（2）依题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，设，由消去并化简得，则，即.因为，且直线的斜率均存在，所以，整理得，因为，所以，代入整理得：，将代入上式并化简得，解得或（舍去），使成立.所以直线恒过定点.5（2021黑龙江鹤岗一中高二期中）已知抛物线为上一点且纵坐标为轴于点，且，其中点为拋物线的焦点.（1）求抛物线的方程；（2）已知为坐标原点，是抛物线上不同的两点，且

10、满足，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标.【答案】（1）；（2）证明见解析，定点.【详解】（1）设，根据抛物线的定义可得，又轴于点，则，则，在抛物线上，将点代入抛物线方程，解得，故抛物线的方程为.（2）依题意可知直线与轴不平行.设直线为，联立直线与抛物线，化简整理可得，由韦达定理可得，或（舍去），故直线恒过定点.6（2021全国模拟预测（理）已知为椭圆()与直线的两个交点，且，椭圆E的离心率是方程的一个根.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右顶点作斜率存在的两条射线，交椭圆于两点，且，问：直线是否恒过定点？若经过，求出这个定点坐标；若不经过，请说明理由.【答案】（1）；（2）过定点，定点的

11、坐标为.【详解】（1）解方程得或.因为椭圆E的离心率是方程的一个根，且其离心率所以,即，所以，所以，所以()可化为，整理得.联立方程消去得，整理得，则，解得，所以，所以.因为，所以，所以，所以，所以椭圆的标准方程为.（2）当直线的斜率存在时，设，联立整理得，因为，所以，所以，所以，所以，整理得，所以或，当时，恒过(3，0)，此时重合，舍去；当时，恒过点，当直线的斜率不存在时，轴，经计算可知此时直线也过点，所以直线恒过定点，该定点的坐标为.7（2021江西赣州二模（文）已知椭圆的标准方程为，椭圆上的点到其两焦点的距离之和为（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆的上顶点，、为椭圆上不同于点的两点，且

12、满足直线、的斜率之积为，证明：直线恒过定点，并求定点的坐标【答案】（1）；（2）证明见解析；定点【详解】（1）由椭圆的定义可得，将点代入椭圆方程得，解得，故椭圆的标准方程为；（2）由题意得.当直线的斜率不存在时，设、，所以，所以，又，所以，不合乎题意；当直线的斜率存在时，设直线为，设、，联立，得，所以，即，即，整理得，解得或（舍去）.所以直线的方程为，即直线过定点.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.8（2021全国高三专题练习）已知等轴双曲线的顶点，分别是椭圆的左、右焦点，且是椭圆与双曲线某个交点的横坐标（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于，两点，以线段为直径的圆过椭圆