知识点 因式分解的应用(解答)

1、1计算：考点：因式分解的应用。分析：先把括号里的式子通分，再把分子分解因式，利用乘法约分即可剩下，所以求出答案为解答：解：=点评：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，解题的关键是正确运算和分解2有现有四个整式：x2，2xy，4，y2，请用他们若干个构成能分解因式的多项式，并将他们分解因式，要求写出三个多项式，并对它们进行因式分解考点：因式分解的应用。分析：分别组成完全平方式，平方差，或提公因式法分解因式等解答：解：x22xy+y2=（xy）2x24=（x+2）（x2）x22xy=x（x2）y24=（y+2）（y2）等（每个等式得2分，答对3个得满分）点评：主要考查了因式

2、分解的实际应用，此类题目的关键是要掌握各类多项式分解因式的特点如分解因式的方法和规律：多项式有2项时考虑提公因式法和平方差公式；多项式有3项时考虑提公因式法和完全平方公式（个别的需要十字相乘或求根公式法）；多项式有3项以上时，考虑分组分解法，再根据2项式和3项式的分解方法进行分解3现有三个多项式，请你选择其中两个进行加（或减）法计算，并把结果因式分解（1）我选择进行加法运算；（2）解答过程：考点：因式分解的应用；整式的加减。分析：此题是开放性试题，答案不唯一，在操作时，可以选择尽量简单的式子，是运算简便，且不容易出错解答：解：（1）我选择进行加法运算；（2）解答过程：（m2+m4）+（m2m）

3、=m24=（m+2）（m2）点评：此题比较灵活的考查了整式的运算和因式分解，题目比较新颖4已知x2+x1=0，求x3+2x2+3的值考点：因式分解的应用。专题：整体思想。分析：观察题意可知x2+x=1，将原式化简可得出答案解答：解：依题意得：x2+x=1，x3+2x2+3=x（x2+x）+x2+3=x+x2+3=4点评：此题考查的是代数式的转化，通过观察可知已知与所求的式子的关系，然后将变形的式子代入即可求出答案5已知：x+y=1，求：x（x+y）（xy）x（x+y）2的值（可以利用因式分解求）考点：因式分解的应用。专题：整体思想。分析：可以利用因式分解将原式化简，再将x+y=1，xy=整体代

4、入解答：解：x（x+y）（xy）x（x+y）2=xy（x+y），=x（x+y）（xyxy），=x（x+y）（2y），=2xy（x+y），当x+y=1，xy=时，原式=2（）1=1点评：本题不仅考查了因式分解合并同类项，还考查了整体思想的应用6已知x+2y=5，xy=1求下列各式的值：（1）2x2y+4xy2（2）（x22）（2y21）考点：因式分解的应用。分析：（1）题是提取公因式，（2）是因式分解解答：（每小题（3分），共6分）（1）解：原式=2xy（x+2y）x+2y=5，xy=1，2xy（x+2y）=215，=10；（2）解：xy=1，x+2y=5，原式=2x2y2x24y2+2=4x2

5、y2x24y2+2+6x2y2，=（4x2y2+x2+4y2）+2+6x2y2，=（x+2y）2+2+6x2y2，=25+8，=17点评：本题考查根据已知条件，有题目中向已知条件靠拢7三个多项式：x2+2x；x22x2；x26x+2请你从中任意选择其中两个，分别写成两个不同的多项式和的形式，进行加法运算，并把结果因式分解你选择的是：（1）+；（2）+考点：因式分解的应用。分析：多项式的和即为两多项式相加然后进行合并同类项，最后进行因式分解得到结果解答：解：（1）+，（x2+x）+（x22x2）合并同类项得：2x22，因式分解得2（x+1）（x1）；（2）+，（x2+2x）+（x26x+2）合并

6、同类项得：2（x22x+1），因式分解得：2（x1）2点评：本题考点：多项式的求和以及因式分解多项式求和是将同类项合并因式分解是提前公因式8利用因式分解计算：考点：因式分解的应用。分析：为了表示方便和思路清晰所以设2007=x，分子和分母分别分解因式后再约分解答：解：设2007=x，则原式=点评：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力9（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；由此，你可以得出的一个等式为：a2+2a+1=（a+1）2（2）

7、有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图考点：因式分解的应用。分析：（1）要能根据所给拼图运用不同的计算面积的方法，来推导公式；（2）要能根据等式画出合适的拼图解答：解：（1）长方形的面积=a2+2a+1；长方形的面积=（a+1）2；a2+2a+1=（a+1）2；（2）如图，可推导出（a+b）2=a2+2ab+b2；2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b）点评：本题考查运用正方形或长方形的面积计算推导相关的一些等式；运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解10

8、用简便方法计算：（1）2012201；（2）57224282；（3）考点：因式分解的应用。分析：（1）直接提公因式；（2）利用平方差公式；（3）利用完全平方公式解答：解：（1）2012201=201（2011）=201200=40200；（2）57224282=（572428）（572+428）=1441000=144000；（3）（）22+（）2=（）2=25点评：本题既考查了对因式分解方法的掌握，并会灵活运用，解题的关键是正确运算和分解11（1）已知39m27m=316，求m的值；（2）已知xy=1，xy=2，求x3y2x2y2+xy3的值考点：因式分解的应用；同底数幂的乘法。分析：（1）

9、把各个因式写成底数为3的形式，再按积的乘方的逆运算计算；（2）先把代数式因式分解，再整体代入已知条件计算解答：解：（1）39m27m=316，332m33m=316，3（1+2m+3m）=316，1+2m+3m=16，m=3（3分）（2）x3y2x2y2+y3=xy（xy）2（4分）当xy=1，xy=2时，原式=2 （6分）点评：（1）关键在于把各个因式写成底数为3的形式；（2）主要考查了分解因式的实际运用，解此类题目的关键是分解因式即可12在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如x4y4=（xy）（x+y）（x2+y2），当x=9，y=9时，xy=0，x+y=18，

10、x2+y2=162，则密码018162对于多项式4x3xy2，取x=10，y=10，用上述方法产生密码是什么？考点：因式分解的应用。分析：首先将多项式4x3xy2进行因式分解，得到4x3xy2=x（2x+y）（2xy），然后把x=10，y=10代入，分别计算出2x+y=及2xy的值，从而得出密码解答：解：原式=x（4x2y2）=x（2x+y）（2xy），当x=10，y=10时，x=10，2x+y=30，2xy=10，故密码为103010或101030或301010点评：本题是中考中的新题型考查了学生的阅读能力及分析解决问题的能力，读懂密码产生的方法是关键13如图，大正方形是由两个小正方形和两个

11、长方形拼成的（1）请你用两个不同形式的代数式（需简化）表示这个大转关系的面积；（2）由（1）可得到关于a、b的关系，利用得到的这个等式关系计算：4.3212+24.3210.679+0.6792的值考点：因式分解的应用；列代数式；代数式求值。分析：（1）大正方形的边长等于a+b，所以面积为（a+b）2另外这个大正方形的面积正好等于两个小正方形和两个长方形的面积之和因为两个长方形是相同的，所以两个长方形的面积之和=ab2=2ab两个小正方形面积=a2+b2；（2）代数式“4.3212+24.3210.679+0.6792”正好为一完全平方式，所以应先化简再求值解答：解：（1）由图形可知：大正方形

12、的边长等于a+b，所以面积为（a+b）2两个长方形的面积之和=2ab两个正方形面积=a2+b2，大正方形的面积=a2+2ab+b2=（a+b）2；（2）4.3212+24.3210.679+0.6792=（4.321+0.679）2=25点评：解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系14已知长方形周长为300厘米，两邻边分别为x厘米、y厘米，且x3+x2y4xy24y3=0，求长方形的面积考点：因式分解的应用。分析：把x3+x2y4xy24y3=0化简成（x+y）（x+2y）（x2y），可得x=2y，由题意可得x+y=150，解方程组即可解答：解：x3+x2y4xy

13、24y3=0 x2（x+y）4y2（x+y）=0（x+y）（x+2y）（x2y）=0 x=2y，x=y，x=2y（不合题意，舍去）又由题意可得x+y=150解方程组解之得，x=100，y=50长方形的面积=10050=5000平方厘米点评：本题是因式分解在学科内的综合运用，主要考查了分组分解法，提取公因式法和运用平方差公式法15求证：817279913能被45整除考点：因式分解的应用。专题：证明题。分析：观察817、279、913这三个数，都可以写成底数为3的数：328、327、326，提取公因式326，整理求证解答：证明：原式=9149939913=328327326=326（3231）=3

14、265=324325=45324所以能被45整除点评：本题是因式分解在学科内的综合运用，难点是整理为底数为3的幂的形式，主要考查了提取公因式法16如图，把R1，R2，R3三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U=IR1+IR2+IR3，当R1=19.7，R2=32.4，R3=35.9，I=2.5时，求U的值考点：因式分解的应用；因式分解-提公因式法。专题：跨学科。分析：用提公因式法把U=IR1+IR2+IR3因式分解为U=I（R1+R2R3），再进行计算求值解答：解：U=IR1+IR2+IR3=I（R1+R2+R3）=2.5（19.7+32.4+35.9）=2.588=220点评

15、：根据题目特点可用提公因式的方法进行因式分解17在下列三个不为零的式子：x24x，x2+2x，x24x+4中，（1）请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解；（2）请你选择其中两个并用不等号连接成不等式，并求其解集考点：因式分解的应用；整式的加减；不等式的解集。专题：开放型。分析：可以选择x24x和x2+2x进行相加，然后合并同类项，进行因式分解；可以选择x24x与x2+2x用“”连接，然后求其解集答案不唯一解答：解：（x24x）+（x2+2x）=2x22x=2x（x1）x24xx2+2x，合并同类项得6x0，解得x0点评：主要考查了因式分解的方法以及一元一次不等式解集的求法18利用因式

16、分解说明367612能被140整除考点：因式分解的应用。分析：将两数分解，如果140包含在367612的分解项中，则证明能整除140解答：解：将367612分解：原式=614612=612（621）=61235=6103635=6104935=6109140；分解结果为6109140，含有140，所以能整除140点评：本题考点：判断一个数能不能整除另一个数就看这个数的分解式中含不含有另一个数，如果含有则能整除，否则不能整除19先分解因式，再求值（2x+1）2（3x2）（2x+1）（3x2）2x（2x+1）（23x），其中x=考点：因式分解的应用。分析：首先把（23x）变为（3x2），然后提取公

17、因式即可将多项式分解因式，然后代入数值计算即可求出结果解答：解：（2x+1）2（3x2）（2x+1）（3x2）2x（2x+1）（23x）=（2x+1）2（3x2）（2x+1）（3x2）2+x（2x+1）（3x2）=（2x+1）（3x2）（2x+13x+2+x）=3（2x+1）（3x2），当x=时，原式=3（2x+1）（3x2）=3（3+1）（2）=30点评：此题考查的是整式的化简求值，化简是利用了因式分解，这样计算比较简便，遇到这类题目时要主要利用因式分解简化计算20设3x3x=1，求9x4+12x33x27x+2001的值考点：因式分解的应用；代数式求值。专题：整体思想。分析：观察已知3x3

18、x=1可转化为3x3=x+1，再把9x4+12x33x27x+2001转化为3x33x+3x343x27x+2001此时将3x3作为一个整体代入x+1，并且代入后通过合并同类项，可将x的各次项系数变为0，最终剩余常数项，使问题得以解决解答：解：由3x3x=1得：3x3=x+1所以，原式=3x33x+3x343x27x+2001=3x（x+1）+4（x+1）3x27x+2001=3x2+3x+4x+43x27x+2001=2005点评：本题考查的是因式分解解决本题的关键是将3x3作为一个整体出现21已知一个长方形的面积是6m2+60m+150（m0），长与宽的比是3：2，求：这个长方形的周长考点

19、：因式分解的应用。分析：对面积表达式进行变形，根据面积=长宽，再根据长与宽的比是3：2，判断出长宽的表达式，继而得出周长解答：解：6m2+60m+150=6（m2+10m+25）=6（m+5）2=3（m+5）2（m+5）且长：宽=3：2长为3（m+5），宽为2（m+5）周长为10m+50点评：本题考查因式分解的应用，有一定难度，关键在于根据题意对面积表达式进行变形22如图，长方体的每一个面上都写有一个自然数，并且相对两个面上所写的两个数之和相等若将数8所在面的对面所写的数记为a，数4所在面的对面所写的数记为b，数25所在面的对面所写的数记为c，求a2+b2+c2abbcca的值考点：因式分解的

20、应用；专题：正方体相对两个面上的文字。专题：因式分解。分析：由已知条件相对两个面上所写的两个数之和相等得到：8+a=4+b=25+c，进一步得到ab，bc，ac的值，用这些式子表示a2+b2+c2abbcca即可得到答案解答：解：由题意得：8+a=4+b=25+cab=4，bc=21，ac=17原式a2+b2+c2abbcca=373点评：本题考查了因式分解的应用；解答本题的关键是得到ab，bc，ac的值后用这些式子表示出要求的原式23求证：存在无穷多个自然数k，使得n4+k不是质数考点：因式分解的应用；质数与合数。专题：证明题。分析：取k=4a2（a是自然数），分解整理n4+k，得到两个因式

21、，进行判断，即可证明解答：解：取k=4a2（a是自然数），n4+k=n4+4a2=n4+4a2n2+4a24n2a2=（n2+2an+2a2）（n22an+2a2）当a2时，这是两个大于1的自然数的乘积，因为a有无穷多个，所以k也有无穷多个即存在无穷多个自然数k，使得n4+k不是质数点评：本题考查因式分解的运用24在边长为179米的正方形农田里，修建一个边长为21米的正方形养鱼池，问所剩余农田为多少平方米？考点：因式分解的应用。分析：所剩余农田为1792212，用平方差公式因式分解求解即可解答：解：1792212=（179+21）（17921）=31600（平方米）答：所剩余农田31600平方

22、米点评：此题主要考查用平方差公式分解在实际生活中的应用25分解因式（1）x34x（2）4a236ab+81b2（3）（a2+ab+b2）29a2b2（4）已知，求4x3y4x2y2+xy3的值考点：因式分解的应用；提公因式法与公式法的综合运用。分析：（1）有公因式x，先提取x，再运用平方差公式进行分解即可；（2）采用完全平方公式分解即可；（3）先用平方差公式进行因式分解，进而能用完全平方公式分解的式子用完全平方公式继续分解；（4）先提取公因式xy，再把相关值代入求解解答：（54）解：（1）原式=x（x24）（2分）=x（x2）（x+2）；（3分）（2）原式=（2a）222a9b+（9b）2（2

23、分）=（2a9b）2（3分）；（3）原式=（a2+ab+b2）2（3ab）2=（a2+ab+b2+3ab）（a2+ab+b23ab）=（a2+4ab+b2）（a22ab+b2）=（a2+4ab+b2）（ab）2；（4）原式=xy（4x24xy+y2）（1分）=xy（2xy）2（2分）当xy=5，2xy=时，原式=5（2分）点评：分解因式的方法和规律：多项式有2项时考虑提公因式法和平方差公式；多项式有3项时考虑提公因式法和完全平方公式；注意分解因式的结果一定要分解到底26已知多项式（a2+ka+25）b2，在给定k的值的条件下可以因式分解（1）写出常数k可能给定的值；（2）针对其中一个给定的k值

24、，写出因式分解的过程考点：因式分解的应用。分析：此多项式只有在（a2+ka+25）是一个平方项是才能进行因式分解根据此条件可求出k可能取的值可根据a2b2=（ab）（a+b）进行因式分解解答：解：（1）由分析得（a2+ka+25）为一个平方项则k可能取的值有10（2）令k=10，则原多项式可化为（a+5）2b2，则因式分解得：（a+5+b）（a+5b）点评：本题难点：确定（a2+ka+25）为一个平方项，很明显它和b2没有同类项，但又可以进行因式分解，所以一定满足a2b2=（a+b）（ab）的条件，所以（a2+ka+25）必定是一个平方项对于第二问可以应用a2b2=（a+b）（ab）的性质进行

25、因式分解27用简便方法计算（1） 19982002（2） 1982（3） 2009220082010考点：因式分解的应用。分析：（1）可写成（20002）（2000+2），用平方差公式展开计算；（2）可写成（2002）2，用完全平方公式展开计算；（3）减数可写成（20091）（2009+1），用平方差公式展开计算解答：解：（1）原式=（20002）（2000+2）=2000222=3999996；（2）原式=（2002）2=200222002+22=39204；（3）原式=20092（20091）（2009+1）=2009220092+1=1点评：把接近整数的数用整数表示，整理为完全平方公式或

26、平方差公式的形式可使计算简便28计算：（1）2010168201069+2010；（2）（x3y+4x2y2xy3）（）考点：因式分解的应用；整式的除法。分析：（1）可用提公因式法进行计算（2）先将前面括号内的三项提取公因式，然后再和最后一项相除解答：解：（1）原式=2010（16869+1）=2010100=201000；（2）原式=xy（x2+4xyy2）（）=点评：各项有公因式时，要先考虑提取公因式，可使运算更简便29计算：2x（x2y2xy）y（x2x3y）3x2y3已知：xm=3，xn=25，求x3m+2n6的值考点：因式分解的应用；整式的除法。分析：此小题为整式的混合运算，要先算括

27、号里面的，再运用分配律即可；此小题可以变形为（100+）（100），再运用平方差公式即可；此小题可以将x3m+2n6变形为（xm）3（xn）26即可求解解答：解：原式=2x（x2y2xy）y（x2x3y）3x2y3=2（x3y2x2yx2y+x3y2）3x2y3=；原式=（100+）（100）=1002=9999；原式=（xm）3（xn）26=332526=101250点评：本题考查了因式分解的应用，要学会正确地通过变形运用因式分解30利用因式分解计算（1） 9992+999（2） 78522152考点：因式分解的应用。分析：（1）可利用提取公因式法来解；（2）利用平方差公式求解即可解答：解：

28、（1）9992+999=999（999+1）=9991000=999000（2）78522152=（785215）（785+215）=5701000=570000点评：本题考查的是对因式分解的应用，结合拆分后都较为简单31在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2（x1）（x9），而乙同学看错了常数项，而将其分解为2（x2）（x4），请你判断正确的二次三项式并进行正确的因式分解考点：因式分解的应用。分析：此题可以先将两个分解过的式子还原，再根据两个同学的错误得出正确的二次三项式，最后进行因式分解即可解答：解：2（x1）（x9）=2x220 x+18，2（x2）（x4

29、）=2x212x+16；由于甲同学因看错了一次项系数，乙同学看错了常数项，则正确的二次三项式为：2x212x+18；再对其进行因式分解：2x212x+18=2（x3）2点评：本题考查了因式分解的应用，题目较为新颖，同学们要细心对待32已知一个长方形的面积是6m2+60m+150（m0），长与宽的比是3：2，求：这个长方形的周长考点：因式分解的应用。分析：对面积表达式进行变形，根据面积=长宽，再根据长与宽的比是3：2，判断出长宽的表达式，继而得出周长解答：解：6m2+60m+150=6（m2+10m+25）=6（m+5）2=3（m+5）2（m+5）且长：宽=3：2长为3（m+5），宽为2（m+5

30、）周长为10m+50点评：本题考查因式分解的应用，有一定难度，关键在于根据题意对面积表达式进行变形33如图，在一块边长为a厘米的正方形纸板上，在正中央剪去一个边长为b厘米的正方形，当a=6.25，b=3.75时，请利用因式分解的知识计算阴影部分的面积考点：因式分解的应用。分析：根据题意可知阴影部分的面积=边长为a厘米的正方形的面积边长为b厘米的正方形的面积，根据平方差公式分解因式，再代入求值即可解答：解：设阴影部分的面积为s，依题意得：s=a2b2=（a+b）（ab），当a=6.25，b=3.75时s=（6.25+3.75）（6.253.75）=102.5=25（平方厘米）；答：阴影部分的面积

31、为25平方厘米点评：本题实质上考查了应用平方差公式进行因式分解，及用代入法求代数式的值34利用因式分解的方法计算：5352252考点：因式分解的应用。分析：此题可以直接采取提取公因式的方法进行分解即可解答：解：5352252=52（512）=50点评：本题考查了因式分解的应用，题目较为简单，只需注意公因式的提取即可35分解因式（1）x34x（2）4a236ab+81b2（3）（a2+ab+b2）29a2b2（4）已知，求4x3y4x2y2+xy3的值考点：因式分解的应用；提公因式法与公式法的综合运用。分析：（1）有公因式x，先提取x，再运用平方差公式进行分解即可；（2）采用完全平方公式分解即可

32、；（3）先用平方差公式进行因式分解，进而能用完全平方公式分解的式子用完全平方公式继续分解；（4）先提取公因式xy，再把相关值代入求解解答：（54）解：（1）原式=x（x24）（2分）=x（x2）（x+2）；（3分）（2）原式=（2a）222a9b+（9b）2（2分）=（2a9b）2（3分）；（3）原式=（a2+ab+b2）2（3ab）2=（a2+ab+b2+3ab）（a2+ab+b23ab）=（a2+4ab+b2）（a22ab+b2）=（a2+4ab+b2）（ab）2；（4）原式=xy（4x24xy+y2）（1分）=xy（2xy）2（2分）当xy=5，2xy=时，原式=5（2分）点评：分解因式

33、的方法和规律：多项式有2项时考虑提公因式法和平方差公式；多项式有3项时考虑提公因式法和完全平方公式；注意分解因式的结果一定要分解到底36计算：2x（x2y2xy）y（x2x3y）3x2y3已知：xm=3，xn=25，求x3m+2n6的值考点：因式分解的应用；整式的除法。分析：此小题为整式的混合运算，要先算括号里面的，再运用分配律即可；此小题可以变形为（100+）（100），再运用平方差公式即可；此小题可以将x3m+2n6变形为（xm）3（xn）26即可求解解答：解：原式=2x（x2y2xy）y（x2x3y）3x2y3=2（x3y2x2yx2y+x3y2）3x2y3=；原式=（100+）（100

34、）=1002=9999；原式=（xm）3（xn）26=332526=101250点评：本题考查了因式分解的应用，要学会正确地通过变形运用因式分解37已知二次三项式x2+px+q的常数项与（x1）（x9）的常数项相同，而它的一次项与（x2）（x4）的一次项相同，试将此多项式因式分解考点：因式分解的应用。分析：先计算（x1）（x9），确定q的值，再计算（x2）（x4），确定p的值，然后将p、q的值代入原二次三项式，再进行因式分解解答：解：（x1）（x9）=x210 x+9，所以q=9，（x2）（x4）=x26x+8，所以p=6，所以原二次三项式是x26x+9，因式分解得，x26x+9=（x3）2点

35、评：本题既考查了整式的乘法，又考查了因式分解，解题的关键是确定二次三项式中待定系数的值38如图，长方体的每一个面上都写有一个自然数，并且相对两个面上所写的两个数之和相等若将数8所在面的对面所写的数记为a，数4所在面的对面所写的数记为b，数25所在面的对面所写的数记为c，求a2+b2+c2abbcca的值考点：因式分解的应用；专题：正方体相对两个面上的文字。专题：因式分解。分析：由已知条件相对两个面上所写的两个数之和相等得到：8+a=4+b=25+c，进一步得到ab，bc，ac的值，用这些式子表示a2+b2+c2abbcca即可得到答案解答：解：由题意得：8+a=4+b=25+cab=4，bc=

36、21，ac=17原式a2+b2+c2abbcca=373点评：本题考查了因式分解的应用；解答本题的关键是得到ab，bc，ac的值后用这些式子表示出要求的原式39已知2x+5y=2，求2x2+5xy+5y的值考点：因式分解的应用。专题：整体思想。分析：本题要先考虑提取公因式，注意运用整体代入法求解解答：解：2x+5y=2，2x2+5xy+5y=x（2x+5y）+5y（3分）=2x+5y（4分）=2（5分）点评：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力40已知：xy=3，xy=2，求下列各式的值：（1）x2yxy2；（2）x2+y2考点

37、：因式分解的应用。分析：此题可以把xy与xy看做整体，利用因式分解法将所求多项式表示成有关xy与xy的式子求解即可解答：解：（1）x2yxy2=xy（xy）=23=6；（2分）（2）x2+y2=（xy）2+2xy=32+2（2）=5（6分）点评：此题考查了因式分解的应用注意整体思想在解题中的应用41如图，要设计一幅长为3xcm，宽为2ycm长方形图案，其中有两横两竖的彩条，横彩条的宽度为acm，竖彩条的宽度bcm，问空白区域的面积是多少？考点：因式分解的应用。专题：应用题。分析：此题可将彩条平移到如图所示的长方形的靠边处，则空白部分组成一个长方形，这个大长方形长（3x2b）cm，宽为（2y2a

38、），则空白部分的面积=长宽即可得出解答：解：可设想将彩条平移到如图所示的长方形的靠边处，将9个小矩形组合成“整体”，一个大的空白长方形，则该长方形的面积就是空白区域的面积而这个大长方形长（3x2b）cm，宽为（2y2a）cm所以空白区域的面积为（3x2b）（2y2a）cm2即（6xy6xa4by+4ab）cm2点评：本题考查了因式分解在实际生活中的应用，题目新颖，要学会用特殊的方法求解42如果a+b=4，ab=2，求式子4a2b+4ab24a4b的值考点：因式分解的应用；代数式求值。专题：因式分解。分析：已知给出了a+b=4，ab=2，要求式子4a2b+4ab24a4b的值，只要对要求的式子进

39、行转化，用a+b与ab表示，代入数值可得答案解答：解：a+b=4，ab=2，4a2b+4ab24a4b，=4ab（a+b）4（a+b），=42（4）4（4），=32+16=16答：式子4a2b+4ab24a4b的值为16点评：本题考查了因式分解的应用及代数式求值问题；对要求的式子进行转化，用a+b与ab表示是正确解答本题的关键43已知a+b=133，ab=100，求a2b+ab2的值考点：因式分解的应用；因式分解-提公因式法。分析：因为a2b和ab2有公因式ab，所以可用提公因式的方法因式分解解答：解：a2b+ab2=ab（a+b）=100133=13300点评：先把a2b+ab2分解为ab（

40、a+b），再把a+b和ab的值代进去44已知多项式（a2+ka+25）b2，在给定k的值的条件下可以因式分解（1）写出常数k可能给定的值；（2）针对其中一个给定的k值，写出因式分解的过程考点：因式分解的应用。分析：此多项式只有在（a2+ka+25）是一个平方项是才能进行因式分解根据此条件可求出k可能取的值可根据a2b2=（ab）（a+b）进行因式分解解答：解：（1）由分析得（a2+ka+25）为一个平方项则k可能取的值有10（2）令k=10，则原多项式可化为（a+5）2b2，则因式分解得：（a+5+b）（a+5b）点评：本题难点：确定（a2+ka+25）为一个平方项，很明显它和b2没有同类项，

41、但又可以进行因式分解，所以一定满足a2b2=（a+b）（ab）的条件，所以（a2+ka+25）必定是一个平方项对于第二问可以应用a2b2=（a+b）（ab）的性质进行因式分解45计算：（1）2010168201069+2010；（2）（x3y+4x2y2xy3）（）考点：因式分解的应用；整式的除法。分析：（1）可用提公因式法进行计算（2）先将前面括号内的三项提取公因式，然后再和最后一项相除解答：解：（1）原式=2010（16869+1）=2010100=201000；（2）原式=xy（x2+4xyy2）（）=点评：各项有公因式时，要先考虑提取公因式，可使运算更简便46在下列三个不为零的式子：x

42、24x，x2+2x，x24x+4中，（1）请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解；（2）请你选择其中两个并用不等号连接成不等式，并求其解集考点：因式分解的应用；整式的加减；不等式的解集。专题：开放型。分析：可以选择x24x和x2+2x进行相加，然后合并同类项，进行因式分解；可以选择x24x与x2+2x用“”连接，然后求其解集答案不唯一解答：解：（x24x）+（x2+2x）=2x22x=2x（x1）x24xx2+2x，合并同类项得6x0，解得x0点评：主要考查了因式分解的方法以及一元一次不等式解集的求法47利用公式计算：；3.52+71.5+1.52考点：因式分解的应用。分析：首先把变为

43、，然后利用平方差公式即可求出结果；首先把3.52+71.5+1.52变为3.52+23.51.5+1.52，然后可以利用完全平方公式即可求出结果解答：解：=402=；3.52+71.5+1.52=3.52+23.51.5+1.52=（3.5+1.5）2=25点评：此题主要考查了因式分解的应用，分别利用平方差公式和完全平方公式来简化复杂的数字计算48若|a+2|+b22b+1=0，求a2b+ab2的值考点：因式分解的应用；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方。专题：计算题；因式分解。分析：根据绝对值的定义及完全平方式的含义，确定a、b的取值，再把a2b+ab2提取公因式ab进行因式分解，再

44、将a、b代入求值解答：解：|a+2|+b22b+1=0|a+2|+（b1）2=0a=2，b=1a2b+ab2=ab（a+b）=（2）1（2+1）=2因此a2b+ab2=2点评：本题考查了利用提取公因式法因式分解、绝对值、完全平方式解决本题的关键是根据绝对值的定义即完全平方式取值，确定a、b的取值49如图，2009个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最外面一层画阴影，最里面一层画阴影，最外面的正方形的边长为2009cm，向里依次为2008cm，2007cm，1cm，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？考点：因式分解的应用；因式分解-运用公式法。专题：因式分解。分析：相邻两

45、正方形面积的差表示一块阴影部分的面积，而正方形的面积是边长的平方，所以能用平方差公式进行因式分解解答：解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差，而正方形的面积是其边长的平方，这样就可以逆用平方差公式计算了于是S阴影=（2009220082）+（2007220062）+（3222）+1=2009+2008+2007+2006+3+2+1=2019045（cm2）答：所有阴影部分的面积和是2019045cm2点评：首先明白每一块阴影部分面积的构成，它是相邻两正方形面积的差，然后运用平方差公式因式分解进行计算50利用因式分解计算（1）（2） 68323172考点：因式分解的应用。分析：（1

46、）对式子进行分析，将公共部分提取，结合后即可解出（2）利用平方差公式进行计算解答：解：（1）16.9+15.1=（16.9+15.1）=32=4；（2）68323172=（683+317）（683317）=1000366=366000点评：因式分解的简单应用51如图，求圆环形绿化区的面积1000m2考点：因式分解的应用。分析：绿化面积是一个环形，环形面积=大圆的面积小圆的面积解答：解：352152=（352152）=（35+15）（3515）=1000（m2）点评：此题主要考查用平方差公式分解在实际生活中的应用，也考查了环形的面积公式52计算：9992+999+100121001考点：因式分解

47、的应用。分析：此题可通过先提取公因式，一步一步因式分解，由繁入简，得出结果解答：解：9992+999+100121001=999（999+1）+1001（10011）=9991000+10011000=（999+1001）1000=20001000=2000000点评：本题考查了因式分解的应用，用因式分解去解决繁琐的计算题显得较为简单532321可以被10和20之间某两个数整除，求这两个数考点：因式分解的应用；因式分解-运用公式法。分析：运用平分差公式把2321进行因式分解，寻找10和20之间的因数解答：解：因为（216+1）（2161）=（216+1）（28+1）（281），=（216+1）

48、（28+1）（24+1）（241），又因为24+1=17，241=15，所以2321可以被10和20之间的15，17两个数整除点评：根据题目特点运用平分差公式因式分解54分别根据所标尺寸，用因式乘积的形式表示下列图形中有阴影部分的面积：考点：因式分解的应用。分析：结合图象，长方形中长为x2a，寛为y2a，即可求得面积表达公式，圆中可用大圆面积减去小圆面积即得结果解答：解：由图象可得阴影的长方形长可用x2a表示，寛为y2a，可得面积表达公式为（x2a）（y2a）；阴影部分的环形面积可用大圆面积减去小圆面积，大圆面积为R2，小圆面积为r2，可得阴影部分面积为（R+r）（Rr）点评：本题考查因式分解

49、的应用，与图象结合，观察好即可55观察下列式子：18+1=9=32；316+1=49=72；732+1=225=152；你得出了什么结论？你能证明这个结论吗？考点：因式分解的应用。专题：规律型。分析：式子可以整理为：（211）21+2+1=（221）2；（221）22+2+1=（231）2；（231）23+2+1=（241）2；得到第n个式子的结论即可解答：解：（2n1）2n+2+1=（2n+11）2（2n1）2n+2+1=22n+22n+2+1=（2n+1）222n+1+1=（2n+11）2点评：找规律的题目应从相对应的位置上的数入手，找到其相同之处和规律性56先分解因式，再求值：已知a+b

50、=2，ab=2，求a3b+a2b2+ab3的值考点：因式分解的应用。分析：先把a3b+a2b2+ab3提公因式ab，再运用完全平方和公式分解因式，最后整体代入求值解答：解：a3b+a2b2+ab3=ab（a2+2ab+b2）=ab（a+b）2当a+b=2，ab=2时，原式=24=4点评：化简求值是课程标准中所规定的一个基本内容，它涉及对运算的理解以及运算技能的掌握两个方面，也是一个常考的题材57若a=5，a+b+c=5.2，求代数式a2（bc）3.2a（c+b）的值考点：因式分解的应用。分析：由a=5，a+b+c=5.2，可得b+c=0.2，然后代入求值即可解答：解：a=5，a+b+c=5.2

51、b+c=0.2原式=（5）20.23.2（5）（0.2）=53.2=1.8点评：此题考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力58用简便方法计算：（1）1.23452+0.76552+0.4690.7655（2）1234567892123456788123456790考点：因式分解的应用。专题：因式分解。分析：（1）后2个式子可提取出0.7655，进而提取1.2345，计算即可；（2）把被减数整理为用123456789表示成平方差的形式，化简即可解答：（1）解：原式=1.23452+0.7655（0.7655+0.469）=1.23452+0.76551.2345=1.

52、2345（1.2345+0.7655）=1.23452=2.469；（2）解：原式=1234567892（123456789212）=12345678921234567892+12，=1点评：考查用简便方法进行有理数运算；注意提公因式法和整式乘法中的平方差公式的运用59已知x+y=1，xy=，求x3y2x2y2+xy3的值考点：因式分解的应用。分析：先对多项式x3y2x2y2+xy3进行因式分解，转化成x+y和xy的形式，然后把x+y=1，xy=整体代入，即可求出其值解答：解：x3y2x2y2+xy3=xy（x22xy+y2）=xy（xy）2=xy（x+y）24xy把x+y=1，xy=代入原式

53、=（14）=（1）=点评：本题考查因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解解答这类题时一些学生往往因分解因式的步骤、方法掌握不熟练，对一些乘法公式的特点记不准确而误选其它选项要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式本题应先将所求代数式x3y2x2y2+xy3转化成x+y和xy的形式，然后整体代入求出其值60证明：当x，y为实数，且x+y=1时，x3+y3xy的值是非负数考

54、点：因式分解的应用。专题：证明题。分析：根据立方和公式对所求证的代数式进行分解，整理成完全平方的形式即可证明解答：解：x+y=1x3+y3xy=（x+y）（x2+y2xy）xy=x2+y22xy=（xy）20即x+y=1时，x3+y3xy的值是非负数点评：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力6 1若a=5，a+b+c=5.2，求代数式a2（bc）3.2a（c+b）的值考点：因式分解的应用。分析：由a=5，a+b+c=5.2，可得b+c=0.2，然后代入求值即可解答：解：a=5，a+b+c=5.2b+c=0.2原式=（5）20.2

55、3.2（5）（0.2）=53.2=1.8点评：此题考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力62分解因式x2+ax+b，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x1），乙看错了b的值，分解的结果是（x2）（x+1），那么x2+ax+b分解因式的正确结果为多少？考点：因式分解的应用。分析：根据x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解特点即可得出答案甲看错了a的值，分解的结果为（x+6）（x1），而b值不错可求出b的准确值，同理求出a的准确值后再分解因式解答：解：因为甲看错了a的值，分解的结果为（x+6）（x1），所以b=6，又因为乙看错了b的值，分解的结果是（x2）（x

56、+1），所以a=1所以x2+ax+b=x2x6=（x+2）（x3）点评：主要考查了二次三项式的分解因式掌握此类式子的特点可以使计算简便64证明：当n为正整数时，n3n的值，必是6的倍数考点：因式分解的应用。专题：证明题。分析：此题首先要能对多项式进行因式分解，然后结合n为正整数进行分析解答：证明：n3n=n（n21）=n（n+1）（n1），当n为正整数时，n1，n，n+1是三个连续的自然数，其中必有一个为偶数，必有一个为3的倍数，故必是23=6的倍数点评：注意了解三个连续正整数的特点65利用因式分解计算：（1）34121592（2）2251526+132考点：因式分解的应用。分析：（1）直接利

57、用平方差公式因式分解，进行简化计算；（2）利用完全平方公式进行因式分解来简化计算解答：解：（1）34121592=（341+159）（341159）=500182=91000；（2）2251526+132=15215132+132=（1513）2=4点评：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，解题的关键是正确运算和分解66已知a2+a+1=0，求1+a+a2+a8的值考点：因式分解的应用；因式分解-分组分解法。专题：规律型。分析：应把所给式子进行因式分解，整理为与所给等式相关的式子，代入求值即可解答：解：原式=（1+a+a2）+a3（1+a+a2）+a6（1+a+a2），

58、=（1+a+a2）（1+a3+a6），a2+a+1=0，原式=0（1+a3+a6）=0故答案为：0点评：本题考查了提公因式法、分组分解法分解因式，分组后，提取公因式把原式化为含a2+a+1的式子是求解本题的关键67先分解因式，再求值：a42a3b+a2b2，其中a=4，b=1考点：因式分解的应用。分析：a42a3b+a2b2有公因式a2，提取后，再按完全平方公式分解，直至分解完为止，最后代入求值解答：解：原式=a2（a22ab+b2）=a2（ab）2，当a=4，b=1时，原式=42（4+1）2=1625=400点评：各项有公因式时，要先考虑提取公因式，使运算简便68证明：当x，y为实数，且x+

59、y=1时，x3+y3xy的值是非负数考点：因式分解的应用。专题：证明题。分析：根据立方和公式对所求证的代数式进行分解，整理成完全平方的形式即可证明解答：解：x+y=1x3+y3xy=（x+y）（x2+y2xy）xy=x2+y22xy=（xy）20即x+y=1时，x3+y3xy的值是非负数点评：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力69先分解因式，再求值：，其中，y=5考点：因式分解的应用。分析：把所求的代数式分解因式后整理成条件中所给出的代数式的形式，然后把x，y的值代入即可解答：解：=，y=5x+y=原式=5点评：本题既考查了对

60、因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力70已知m+n=3，求m3nm2n2+mn3的值考点：因式分解的应用。分析：把所求代数式提公因式mn，然后整理为与（m+n）和mn相关的式子，代入求值即可解答：解：m3nm2n2+mn3，=mn（m2mn+n2），=mn（m2+2mn+n2）3mn，=mn（m+n）23mn，当m+n=3，时，原式=点评：本题考查了提公因式法、利用完全平方公式分解因式，关键是把所求代数式整理为和所给等式相关的式子71已知a+b+c=3，a2+b2+c2=29，a3+b3+c3=45，求ab（a+b）+bc（b+c）+ca（c