人教培优 易错 难题一元二次方程辅导专题训练附答案

1、a(a+1)2一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1解下列方程：X2-3x=1.12(y+2)2-6=0.【答案】x二出13,x二3；(2)y=2+2再,y=2-2勇122212【解析】试题分析：(1)利用公式法求解即可；(2)利用直接开方法解即可；试题解析：解：(1)将原方程化为一般式，得x2-3x-1=0，tb2-4ac=130.K2X1TOC o 1-5 h z3+7133-屈x二,x二1222(2)(y+2)2=12,或-f-.,-y2+2：3,y22空3122.(问题)如图，在axbxc(长x宽x高，其中a,b,c为正整数)个小立方块组成的长方体中，长方体的个数是多少？

2、探究)探究一：(1)如图，在2x1x1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2=223=3条线段,棱AC,AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为3x1x1=3.(2)如图，在3x1x1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2+3=3=6条线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为6x1x1=6.(3)依此类推，如图，在ax1x1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2+.+a=线段，棱AC,AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为探究二：a(a+1)(4)如图，在ax2x1个小立方块组成的长方体中，棱AB上有一-一条线段，棱AC2x3上有1+2=3条线段，

3、棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为a(a+1)3a(a+1)x3xi=一22a(a+1)(5)如图，在ax3x1个小立方块组成的长方体中，棱AB上有一-一条线段，棱AC3x4上有1+2+3=厂=6条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为(6)依此类推，如图，在axbx1个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为图探究三：(7)如图，在以axbx2个小立方块组成的长方体中，棱AB上有a(a+1)_2条线段，AC上有b(b+1)22x3条线段，棱AD上有1+2=3条线段，则图中长方体的个数为3a(a+1)b(b+1)3ab(a+1)(b+1)TOC o 1-5 h zxx3=224

4、a(a+1)(8)如图，在axbx3个小立方块组成的长方体中，棱AB上有一-一条线段，棱ACb(b+1)3x4上有条线段，棱AD上有1+2+3=6条线段，则图中长方体的个数为22SABA15（结论）如图，在axbxc个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为（应用）在2x3x4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为.拓展）如果在若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论a（a+1）【答案】探究一：（3）；探究二：23ab（a+1）（b+1）探究三：（8）；【结论】2ab(a+1)(b+1)(5)3a(a+1)；(6)4ab

5、c(a+1)(b+1)(c+1)；【应用】：180；【拓展】：组成这个正方体的小立方块的个数是64，见解析.【解析】【分析】（3）根据规律，求出棱AB,AC,AD上的线段条数，即可得出结论;（5）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论;（6）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论;（8）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论;（结论）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论;即可得出结论；即可得出结论棱AC，AD上分别只有1条线段,（应用）a=2,b=3，c=4代入（结论）中得出的结果，（拓展）根据（结论）中得出的结

6、果，建立方程求解【详解】a（a+1）解：探究一、（3）棱AB上共有线段,2a（a+1）a（a+1）则图中长方体的个数为x1x1=22故答案为生也2探究二：（5）棱AB上有a条线段，棱AC上有6条线段，棱AD上只有1条线2段，则图中长方体的个数为x6x1=3a(a+1),故答案为3a(a+1)；a(a+1)b(b+1)(6)棱AB上有条线段，棱AC上有条线段，棱AD上只有1条线段,22a(a+1)b(b+1)ab(a+1)(b+1)则图中长方体的个数为xx1=224故答案为ab(a+1)(b+1)4探究三：8)棱AB上有a(a+1)2条线段，棱AC上有b(b+1)2条线段，棱AD上有6条线段，a

7、(a+1)b(b+1)3ab(a+1)(b+1)则图中长方体的个数为xx6=-222故答案为3ab(a+1)(b+1)2(结论)棱AB上有a(a+1)_2条线段，棱AC上有b(b.+1)条线段，棱AD上有2c(c+1)2条线段，则图中长方体的个数为a(a+1)x2b(b+1)c(c+1)x22abc(a+1)(b+1)(c+1)8故答案为abc(a+1)(b+1)(c+1)8(应用)由(结论)知，abc(a+1)(b+1)(c+1)在2x3x4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为2x3x4x(2+1)x(3+1)x(4+1)=180，8故答案为为180；拓展：设正方体的每条棱上都有x个小立

8、方体，即a=b=c=x,由题意得x3(x+1)3=1000,8x(x+1)3=203x(x+1)=20，X=4,x2=-5(不合题意，舍去)4x4x4=64所以组成这个正方体的小立方块的个数是64【点睛】解此题的关键在于根据已知得出规律，题目较好，但有一定的难度，是一道比较容易出错的题目已知x=-1是关于x的方程x2+2ax+a2=0的一个根，求a的值.【答案】1【解析】试题分析：根据一元二次方程解的定义，把x=-1代入x2+2ax+a2=0得到关于a的一元二次方程1-2a+a2=0,然后解此一元二次方程即可.试题解析：把x=-1代入x2+2ax+a2=0得1-2a+a2=0，解得a1=a2=

9、1，所以a的值为1.已知关于x的方程X2-2x+m-2=0有两个不相等的实数根.求m的取值范围；如果m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值.【答案】(1)mV3；(2)m=2.【解析】【分析】根据题意得出0,代入求出即可；求出m=1或2，代入后求出方程的解，即可得出答案.【详解】v方程有两个不相等的实数根.=4-4(m-2)0.二m3；vm0，方程总有两个实数根.i由；：一.：-：ii可化为：=-1+?|-得I方程的两个实数根都是正整数，丨I7的最小值为-【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方程，熟知根的判别式大于零方程有两个不相等的实数根，

10、判别式等于零有两个相等的实数根或只有一个实数根，判别式小于零无根和十字相乘法的法则是解题关键.工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形.（厚度不计）求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？【答案】裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.【解析】试题分析：设裁掉的正方形的边长为xdm，则制作无盖的长方体容器的长为（10-2x）dm,宽为（6-2x）dm,根据长方体底面面积为12dm2列出方程，解方程即可求得裁掉的正方形边长.试题解析：设裁掉的正方形的边长为xdm，由题意可得(10-2x)(6-2x)=12,即x2-

11、8x+12=0，解得x=2或x=6(舍去)，答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.7山西特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：(1)每千克核桃应降价多少元？(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【答案】(1)4元或6元；(2)九折.【解析】【详解】解：(1)设每千克核桃应降价x元.x根据题意，得(60-x-40)(100+-x20)=2240,化简，得x

12、2-10 x+24=0,解得X=4,x2=6.答：每千克核桃应降价4元或6元.(2)由(1)可知每千克核桃可降价4元或6元.要尽可能让利于顾客，.每千克核桃应降价6元.54此时，售价为：60-6=54(元),xl00%=90%.60答：该店应按原售价的九折出售.8阅读下面内容：我们已经学习了二次根式和乘法公式，聪明的你可以发现：当a0,b0时：t(-a-3)2=a-2ab+b0a+b2jab，当且仅当a=b时取等号.请利用上述结论解决以下问题：ll请直接写出答案：当x0时，x+的最小值为当x-1)，求y的最小值；x+1如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AOB、COD的面积分别为

13、4和9,求四边形ABCD面积的最小值.【答案】(1)2；-2.(2)y的最小值为9；(3)四边形ABCD面积的最小值为25.解析】分析】(1)当x0时，按照公式a+b2ab(当且仅当a=b时取等号)来计算即可；当xVO时，-x0,0,则也可以按公式a+b2ab(当且仅当a=b时取等号)来计算;xx2+7x+10(2)将y=-一的分子变形，分别除以分母，展开，将含x的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；(3)设boc=x，已知Saob=4，Scod=9,由二角形面积公式可知：sBOC：sCOSaob：AOD，用含x的式子表示出S、AOD，再表示出四边形的面积，根据题中所给公式求得最小值，

14、加上常数即可.=2；-X-2j-x-x二2,1贝yx+二一x11(-x-)0时，x+的最xx1小值为2.当xV0时，x+的最大值为-2.x二(x+1)2+5(x+1)+4=(x+1)故答案为：2,-2.x2+7x+104+1+1+52(2)vx-1,x+10,y=(x+1)+5=4+5=9,y的最小值为9.x+136则由等高三角形可知：S、BOC：S=S:S,x：9=4：S,S=-,CODAOBAODAODAODx36、136四边形ABCD面积=4+9+x+-13+2,：x-=25.xx当且仅当x=6时，取等号，四边形ABCD面积的最小值为25.【点睛】设沐boc=x，已知s、aob=4，S、

15、COD=9本题考查了配方法在最值问题中的应用对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用9重庆市旅游文化商店自制了一款文化衫，每件成本价为20元，每天销售150件：(1)若要每天的利润不低于2250元，则销售单价至少为多少元？(2)为了回馈广大游客，同时也为了提高这种文化衫的认知度，商店决定在“五一节当天5开展促销活动，若销售单价在(1)中的最低销售价的基础上再降低m%,则日销售量可15以在150件基础上增加；m件，结果当天的销售额达到5670元；要使销售量尽可能大，求出m的值【答案】(1)销售单价至少为35元；(2)m=16【解析】试题分析：(1)根据利润的公式列出方程，再求解即可；15(2

16、)销售价为原销售价x(1-m%)，销售量为(150+；m)，列出方程求解即可.试题解析：(1)设销售单价至少为x元，根据题意列方程得，150(x-20)=2250，解得x=35，答：销售单价至少为35元；TOC o 1-5 h z515(2)由题意得：35x(1-f%)(150+F)=5670，155515150+m-150Xm%-m%xm=162,153:m-Im2=12，60m-3m2=192，m2-20m+64=0，m1=4，m2=16，要使销售量尽可能大，m=16.【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用10.若两个一次函数的图象与x轴交于同一点，则称这两个函数为一对“x牵手函

17、数”，这个交点为X牵手点一次函数y=x-1与X轴的交点坐标为；一次函数y=ax+2与一次函数y=x-1为一对“x牵手函数，则a=；已知一对“x牵手函数”：y=ax+1与y=x-1，其中a，b为一元二次方程X2-kx+k-4=0的两根，求它们的“x牵手点11【答案】（1）（1,0）,a=-2；（2）x牵手点为（一2，0）或（-，0）.【解析】【分析】（1）根据x轴上点的坐标特征可求一次函数y=x-1与x轴的交点坐标；把一次函数y=x-1与x轴的交点坐标代入一次函数y=ax+2可求a的值；（2）根据“X牵手函数的定义得到a+b=O,根据根与系数的关系求得k=0,可得方程X2-4=0,解得X=2,x2=-2,再分两种情况：若a=2，b=-2，若a=-2，b=2，进行讨论可求它们的X牵手点【详解】解：（1）当y=0时，即x-1=0,所以x=1,即一次函数y=x-1与x轴的交点坐标为（1,0）,由于一次函数y=