全国中考数学锐角三角函数的综合中考真题汇总附答案

1、一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD,其中/BAC=45,ZACD=30,点E为CD边上的中点，连接AE，将厶ADE沿AE所在直线翻折得到ADEDZE交AC于F点.若AB=6、cm.AE的长为cm；试在线段AC上确定一点P,使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值;(3)求点D到BC的距离.【答案】(1)；(2)12cm；(3)vcm.解析】试题分析：(1)首先利用勾股定理得出AC的长，进而求出CD的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案：ZBAC=45，ZB=90,AB=BC=6icm，AC=12cm.12

2、ACCD-2TZACD=30，ZDAC=90，AC=12cm，(cm)点E为CD边上的中点，.AE=DC=*cm.首先得出厶ADE为等边三角形，进而求出点E，D关于直线AC对称，连接DD交AC于点P,根据轴对称的性质，此时DP+EP值为最小，进而得出答案.连接CD,BD,过点D作DG丄BC于点G,进而得出厶ABD仝CBD(SSS)，则ZDBG=45,DG=GB，进而利用勾股定理求出点D到BC边的距离.试题解析：解：(1)(2)TRtAADC中，ZACD=30,.ZADC=60,TE为CD边上的中点，.DE=AE.ADE为等边三角形.T将厶ADE沿AE所在直线翻折得厶ADE,.ADE为等边三角形

3、，ZAED=60.TZEAC=ZDAC-ZEAD=30,.ZEFA=90，即AC所在的直线垂直平分线段ED.点E,D关于直线AC对称.如答图1,连接DD交AC于点P,此时DP+EP值为最小，且DP+EP=DD.TADE是等边三角形，AD=AE=WDD=；，即DP+EP最小值为12cm.(3)如答图2,连接CD，,BDZ,过点D作DZG丄BC于点G,TAC垂直平分线ED,AE=AD,CE=CDZ,TAE=EC,.AD=CD=Z：.AB=BCBD-BDl-CD在厶ABD和厶CBD中，T,ABD仝CBD(SSS).ZDBG=ZDBC=45.DG=GB.设DG长为xcm，则CG长为:cm,在RtAGD

4、C中，由勾股定理得1：l，y.,解得：(不合题意舍去).点D到BC边的距离为*二汀cm.CED3GA答團2考点：1.翻折和单动点问题；2.勾股定理；3.直角三角形斜边上的中线性质；4.等边三角形三角形的判定和性质；5.轴对称的应用（最短线路问题）；6.全等三角形的判定和性质；7.方程思想的应用.2018年12月10日，郑州市城乡规划局网站挂出郑州都市区主城区停车场专项规划，将停车纳入城市综合交通体系，计划到2030年，在主城区新建停车泊位33.04万个，2019年初，某小区拟修建地下停车库，如图是停车库坡道入口的设计图，其中MN是水平线，MNIIAD,AD丄DE,CF丄AB,垂足分别为D,F,

5、坡道AB的坡度为1：”3,DE=3米，点C在DE上,CD=0.5米，CD是限高标志屏的高度（标志牌上写有：限高米），如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长，则该停车库限高多少米？（结果精确到0.1米，参考数据=1.41,朽=1.73）答案】该停车库限高约为2.2米解析】分析】据题意得出tanB，即可得出闷在RfADE中根据勾股定理可求得DE，即可得出/1的正切值，再在RtACEF中，设EF=x,即可求出x,从而得出CF=j3x的长.详解】解：由题意得，tanB卫3TMNIIAD,.tanA=、*,3TDEAD,在RtAADE中,tanA=DEADTDE=3,又TDC=0.5,.CE=2.

6、5，TCF丄AB,.ZFCE+ZCEF=90,TDE丄AD,.ZA+ZCEF=90,.ZA=ZFCE,J3.tanZFCE=3在RtACEF中，设EF=x,CF=、忑x(x0),CE=2.5,5代入得(2)2=X2+3X2,解得x=1.25,.CF=V3X=2.2,.该停车库限高约为2.2米.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，坡面坡角问题和勾股定理，解题的关键是坡度等于坡角的正切值如图1,以点M(1,0)为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D,直线x与OM相切于点H,交x轴于点E,交y轴于点F.(1)请直接写出OE、OM的半径r、CH的长;(2)如图2,弦HQ交x轴于点P,且DP:

7、PH=3:2，求cosZQHC的值;(3)如图3,点K为线段EC上一动点(不与E、C重合)，连接BK交OM于点T,弦AT交x轴于点N.是否存在一个常数a,始终满足MNMK=a,如果存在，请求出a的值；如pECMDMHH2-SDJ果不存在,请说明理由.【答案】(1)OE=5,r=2,CH=2-；3)a=4解析】【分析】在直线y=:x中，令y=0,可求得E的坐标，即可得到0E的长为5；连接MH,根据EMH与厶EFO相似即可求得半径为2；再由EC=MC=2,ZEHM=90，可知CH是RTAEHM斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出CH的连接DQ、CQ.根据相似三角形的判定得

8、到CHP-QPD,从而求得DQ的长，在直角三角形CDQ中，即可求得/D的余弦值，即为cosZQHC的值；连接AK,AM,延长AM,与圆交于点G,连接TG,由圆周角定理可知，ZGTA=90,Z3=Z4,故ZAKC=ZMAN，再由AMK-NMA即可得出结论.【详解】(1)OE=5,r=2,CH=2(2)如图1,连接QC、QD,则ZCQD=90,ZQHC=ZQDC,FBiDPDQTa/Tj易知CHP-DQP,故，得DQ=3,由于CD=4,QD3-cosQDC-(3)如图2,连接AK,AM,延长AM,与圆交于点g,连接tg,贝y-，JZ2+AA-90e-.Z3-Z2+Z3-号0由于,故,E：；而故：在

9、山禾口呂中也1壮；LAMK厂A.NMA故厶AMK-NMAMNAM丽=顾f即：:p二:匕=-故存在常数，始终满足n*常数a=4解法二：连结BM,证明二得=-=-超速行驶是引发交通事故的主要原因.上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到万丰路(直线A0)的距离为120米的点P处.这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为5秒且/APO=60,ZBPO=45.求A、B之间的路程；请判断此车是否超过了万丰路每小时65千米的限制速度？请说明理由.(参考数据：J2沁1.414,3沁1.73).【答案】【小题U73.2【小题2】超过限制速度.【解析】

10、解：(1)AB二100(，31)二73.2(米).6分712此车制速度v=18.3米/秒4关于三角函数有如下的公式：sin(a+B)=sinacosB+cosasinBcos(a+B)=cosacosB-sinasinBtariff+tan/?tan(a+B)=利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如:tan45Q+tan60fl1+&(itan105=tan(45+60)_厂=-(2+).根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角a=60，底端C点的俯角B=75,此时直升飞机与建筑物C

11、D的水平距离BC为42m,求建筑物CD的高.【答案】建筑物CD的高为84米.【解析】分析：如图，过点D作DE丄AB于点E,由题意易得/ACB=75,ZABC=90,DE=BC=42m,ZADE=60，这样在RtAABC和在RtAADE中，结合题中所给关系式分别求出AB和AE的长,即可由CD=BE=AB-AE求得结果了.详解：如图，过点D作DE丄AB于点E,由题意可得ZACB=75,ZABC=90,DE=BC=42m,CD=BE,ZADE=60,在RtAABC和RtAADEtan45fl4tan30Q=42x42x1-tan45tan30DAB=BCtan75=42tan75=ae=42x也n6

12、（T-42护.CD=AB-AEI-（米）.答：建筑物CD的高为84米.睛：读懂题意，把已知量和未知量转化到RtAABC和RtAADE中，这样利用直角三角形中边角间的关系结合题目中所给的“两角和的三角形函数公式”即可使问题得到解决.6.如图，AB为O0的直径，P是BA延长线上一点，CG是O0的弦ZPCA=ZABC,CG丄AB,垂足为D求证：PC是OO的切线；3PAAD求证：PCCD过点A作AEIIPC交OO于点E,交CD于点F,连接BE,若sinZP=5,CF=5,求BE的长【答案】(1)见解析；(2)BE=12.【解析】【分析】连接OC,由PC切OO于点C,得到OC丄PC,于是得到ZPCA+Z

13、OCA=90,由AB为OO的直径，得到ZABC+ZOAC=90,由于OC=OA,证得ZOCA=ZOAC，于是得到结论；由AEIIPC,得到ZPCA=ZCAF根据垂径定理得到弧AC=弧AG,于是得到ZACF=ZABC，由于ZPCA=ZABC，推出ZACF=ZCAF，根据等腰三角形的性质得到3CF=AF,在AFD中，AF=5,sinZFAD=5，求得FD=3,AD=4,CD=8，在OCD中，设OC=r,根据勾股定理得到方程r2=(r-4)2+82，解得r=10，得到AB=2r=20,由于AB为3BE3OO的直径，得到ZAEB=90，在rAABE中，由sinZEAD=一，得到=一，于是求得t5AB5

14、结论.【详解】(1)证明：连接OC,PC切OO于点C,OC丄PC,ZPCO=90,.ZPCA+ZOCA=90AB为OO的直径，.ZACB=90,.ZABC+ZOAC=90OC=OA,.ZOCA=ZOAC,ZPCA=ZABC；(2)解：TAEIIPC,.ZPCA=ZCAF,/AB丄CG,.弧人。=弧AG,.ZACF=ZABC,TZPCA=ZABC.ZACF=ZCAF,.CF=AF,TCF=5,.AF=5,TAEIPC,.ZFAD=ZP,/sinZP=sinZFAD=-在RQAFD中,3AF=5,sinZFAD=5,.FD=3,AD=4,.CD=8,设OC=r,在OCD中，.r2=(r-4)2+8

15、2,.r=10,.AB=2r=20,AB为OO的直径，.ZAEB=90，在RABE中,3BE3/sinZEAD=5AB5TAB=20,.BE=12【点睛】本题考查切线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题关键是连接OC构造直角三角形337.如图，直线与轴交于点幣，与轴交于点，抛物线一_z+经过点点;为轴上一动点，过点打且垂直于峙由的直线分别交直线川及抛物线于点；填空：点;:的坐标为，抛物线的解析式为;当点叮在线段上运动时(不与点匚重合)，当“为何值时，线段八最大值，并求出八的最大值；求出使为直角三角形时$的值；若抛物线上有且只有三个点讣到直线X的距离是请直接写出此时由点；，,

16、讣,:构成的四边形的面积.39【答案】(1).-；11当m时，八有最大值是3；使n为直角三角形时,的值为3或,；点：，,:构成的四边形的面积为：6或-或二【解析】【分析】3把点A坐标代入直线表达式y=Jr,求出a=-3，把点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解；339设：点P(m,J；巧，N(m,)求出PN值的表达式，即可求解；分/BNP=90、ZNBP=90、ZBPN=90三种情况，求解即可；若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h,则只能出现：在AB直线下方抛物线与过点N的直线与抛物线有一个交点N,在直线AB上方的交点有两个，分别求解即可【详解】解：(1)把点；坐标代入直线表达式

17、：卜解得：、，贝y：直线表达式为：.：，令，贝y:.=-：则点;:坐标为八：,将点：的坐标代入二次函数表达式得：”-：,把点；的坐标代入二次函数表达式得：|1：|,解得：十I,TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark2 o Current Document 39故：抛物线的解析式为 HYPERLINK l bookmark8 o Current Document 39故：答案为：;（2）V厂在线段;上，且戈二丄二轴,339.点I.：-，：匸.二3393.TI：，.，.-.-:丫-4匚.抛物线开口向下，.当卫-时，八有最大值是3，当n,：i时，点的纵坐标为-3,39把

18、代入抛物线的表达式得：-解得:二=或0（舍去二=-）,.，:-1当:W川时，两直线垂直，其;值相乘为-1,4设：直线八的表达式为：-：，4把点的坐标代入上式，解得：亠贝y：直线的表达式为：-：,11将上式与抛物线的表达式联立并解得：F或0（舍去亠,：|）,当n时，不合题意舍去，11故：使“八为直角三角形时的值为3或，；（3）0A斗，0E3,434在H中，tanof言，贝y:co占叹一弓，sincr-；、:轴，.BPN=jLABO=a若抛物线上有且只有三个点到直线沐的距离是，则只能出现：在直线下方抛物线与过点的直线与抛物线有一个交点，在直线.上方的交点有两个.当过点的直线与抛物线有一个交点讣，点

19、叮的坐标为，设：点5坐标为：y,TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 39则：.儿匕过点作沐的平行线，3则点所在的直线表达式为：二将点坐标代入， HYPERLINK l bookmark36 o Current Document 33解得：过点直线表达式为：厂+；?一宀将拋物线的表达式与上式联立并整理得：丨八A-144-3X4X(0-12+3m-4n)-0,39,将厂代入上式并整理得：；：_j,：i9解得：=-二，则点的坐标为丄二，则：点坐标为二厂，贝y:小亠f四边形2汐为平行四边形，则点到直线的距离等于点到直线“的距离

20、，即：过点与.平行的直线与抛物线的交点为另外两个点，即：、，3直线的表达式为：，将该表达式与二次函数表达式联立并整理得：-1，解得：一I+1,则点、的横坐标分别为作交直线于点门，12贝ip=；：.、i一，OP5作-轴，交啪于点，贝y：宀宀，:出厂*，则：一.、，同理：，-，故：点八，”，：构成的四边形的面积为：6或-或-二【点睛】本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识，其中(3)中确定点N的位置是本题的难点，核心是通过=0,确定图中N点的坐标.8在等腰ABC中，ZB=90,AM是厶ABC的角平分线，过点M作MN丄AC于点N，zEMF=135.将/EMF绕点M

21、旋转，使/EMF的两边交直线AB于点E,交直线AC于点F,请解答下列问题：*（1）当ZEMF绕点M旋转到如图的位置时，求证：BE+CF=BM；（2）当ZEMF绕点M旋转到如图，图的位置时，请分别写出线段BE，CF，BM之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1）和（2）的条件下，tanZBEM=:，AN=J+1,则BM=，CF=.團【答案】证明见解析（2）见解析（3）1,1+或1-丄-【解析】【分析】由等腰ABC中，ZB=90,AM是厶ABC的角平分线，过点M作MN丄AC于点N,可得BM=MN，ZBMN=135,又ZEMF=135，可证明的BMENMF,可得BE=NF,NC=NM=BM进而得出结

22、论；（2）如图时，同（1）可证BME竺NMF,可得BE-CF=BM,如图时，同（1）可证BME竺NMF,可得CF-BE=BM；在RtAABM和RtAANM中，、，“，AM二AM可得RtAABM竺RtAANM,后分别求出AB、AC、CN、BM、BE的长，结合（1）（2）的结论对图进行讨论可得CF的长.【详解】（1）证明：ABC是等腰直角三角形，ZBAC=ZC=45,TAM是ZBAC的平分线，MN丄AC,.BM=MN，在四边形ABMN中，Z，BMN=360-90-90-45=135，TZENF=135，.ZBME=ZNMF，.BME竺NMF,.BE=NF，TMN丄AC,ZC=45,.ZCMN=ZC

23、=45，.NC=NM=BM，TCN=CF+NF,BE+CF=BM；（2）针对图2,同（1）的方法得，BME竺NMF,.BE=NF,TMN丄AC,ZC=45,ZCMN=ZC=45,.NC=NM=BM,TNC=NF-CF,.BE-CF=BM；针对图3,同（1）的方法得，BME竺NMF,.BE=NF,TMN丄AC,ZC=45,.ZCMN=ZC=45,.NC=NM=BM,TNC=CF-NF,（3）在RtAABM和RtAANMRtAABM竺RtAANM（HL）,AB=AN=二+1,在RtAABC中，AC=AB=.；+1,AC=AB=2+二，CN=AC-AN=2+二-（二+1）=1,在RtACMN中，CM

24、=.CN=一:,.BM=BC-CM=二+1-_-=1,.CF-BE=BM；3由（1）知，如图1,BE+CF=BM,.CF=BM-BE=1-由（2）知，如图2,由tanZBEM=.-,.此种情况不成立；由（2）知，如图3,CF-BE=BM,.CF=BM+BE=1+,故答案为1,1+或1-点睛】本题考查三角函数与旋转与三角形全等的综合，难度较大，需综合运用所学知识求解.9问题探究：（一）新知学习：圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形EFGH的对角互补，那么四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上）（二）问题解决：已知OO的半径为2,AB,CD是

25、OO的直径.P是BC上任意一点，过点P分别作AB,CD的垂线，垂足分别为N，M.（1）若直径AB丄CD,对于EC上任意一点P（不与B、C重合）（如图一），证明四边形PMON内接于圆，并求此圆直径的长；（2）若直径AB丄CD,在点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程汇总，证明MN的长为定值，并求其定值；（3）若直径AB与CD相交成120角.当点P运动到BC的中点P时（如图二），求MN的长；当点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中（如图三），证明MN的长为定值.（4）试问当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值.C【答案】（1）证明见解析，直径OP=2；（2）证明见

26、解析，MN的长为定值，该定值为2；（3）MN=J；证明见解析；（4）MN取得最大值2.【解析】试题分析：（1）如图一，易证ZPMO+ZPNO=180,从而可得四边形PMON内接于圆，直径OP=2；（2）如图一，易证四边形PMON是矩形，则有MN=OP=2，问题得以解决；（3）如图二，根据等弧所对的圆心角相等可得ZCOPT=ZBOP=60，根据圆内接四边形的对角互补可得/MPN=60.根据角平分线的性质可得PM=PN,从而得到厶PMN是等边三角形，则有MN=PM.然后在RtAPMO运用三角函数就可解决问题；设四边形PMON的外接圆为OOZ，连接NO,并延长，交OOZ于点Q,连接QM,如图三，根据

27、圆周角定理可得ZQMN=90,ZMQN=ZMPN=60,在RtAQMN中运用三角函数可得：MN=QNsinZMQN,从而可得MN=OPsinZMQN,由此即可解决问题；（4）由（3）中已得结论MN=OPsinZMQN可知，当ZMQN=90时，MN最大，问题得以解决试题解析：（1）如图一，TPM丄OC,PN丄OB,ZPMO=ZPNO=90,AZPMO+ZPNO=180,A四边形PMON内接于圆，直径OP=2；（2）如图一,TAB丄OC,即ZBOC=90,AZBOC=ZPMO=ZPNO=90,A四边形PMON是矩形,AMN=OP=2,AMN的长为定值,该定值为2；（3）如图二，TP是EC的中点，ZBOC=120,AZCOP=ZBOP=60,ZMPN=60,TP】M丄OC,PN丄OB,APM=PN,P#N是等边三角形，AMN=P#.TP1M=OP1sinZMOP=2xsin60=77,AMNJ；设四边形PMON的外接圆为OOZ，连接NO并延长，交OO于点Q,连接QM,如图三，则有ZQMN=90,ZMQN=ZMPN=60,MN在RtAQMN中，sinZMQN=,AMN=QNsinZMQN,M