立体几何中的向量方法--求空间距离

1、、求点到平面的距离立体几何中的向量方法.（一般）传统方法：利用定义先作出过这个点到平面的垂线段, 再计算这个垂线段的长度；.还可以用等积法求距离；.向量法求点到平面的距离.在Rt PAO中，dsin d | AP | sin|AP|又sin| AP n |AP|nlI AP n I 一一d J| （其中AP为斜向量，n为法向量）In I二、直线到平面的距离转化为点到线的距离：IAP nl 一一d 1 （其中AP为斜向量，n为法向量）In I三、平面到平面的距离也是转化为点到线的距离：4-9-I AP n I 一一d J1 （其中AP为斜向量，n为法向量）In I四、异面直线的距离如图，异面直线

2、也是转化为点到线的距离：n IAP nId ：I n I（其中AP为两条异面直线上各取一点组成的向量,n是与a, b都垂直的向量）1, E为CiDi的中点，求下列问题:例1.如图，在正方体 ABCD AiBiCiDi中，棱长为（1） 求B1到面AiBE的距离;解：如图，建立空间直角坐标系D xyz ,则1A1E( 1, ,0),AB (0,1, 1),设 n (x,y,z)为面 A1BE 的法向量2z_C1则 n A1E 0 x 2y 0n A1B 0 y z 0取 x 1,得 y 2,z 2,5 (1,2,2)选点B1到面ABE的斜向量为A1B；(0,1,0)! -*得点B1到面ABE的距离

3、为d | AB1 n 1 |n I(2)求D1c到面A1BE的距离；解：由(1)知平面A1BE的法向量n (1,2,2)斜向量 DA1 (1,0,0)点D1到面a BE的距离为d|D1A n|n求面ADB与面D1CB1的距离；解：由图知平面A1BD的法向量为n AC1又斜向量dA (1,0,0) 1-!?点D1到面a BD的距离为d |D1A1 n| n、3即面A1BD与D1cBi的距离为 3(4)求异面直线 D1B与A1E的距离.解:如图建立空间直角坐标 系D xyz则5(0,0,1), B(1,1,0),A(1,0,1),E(0,1,1)12AE ( 1,1,0),D1B (1,1, 1)

4、2设n (x,y,z)是与AiE,DiB都垂直的向量，则n A1E0n DiB 0y 2x ,取x i,得一个法向量为z 3xn (1,2,3)选AiE与BDi的两点向量DiA (1,0,0)得AE与BDaq距离为d|DiAi n|n|.i4i4练习i：i.如图在直二棱柱 ABC面ABC的距离.AiBiCi 中，ACBC i,ACB2.已知棱长为i的正方体ABCDAiBiCiDi ,求平面DA1cl和平面ABiC间的距离3.已知棱长为i的正方体ABCDAiBiCiDi ,求直线DA/口 AC间的距离。例2.如图，在四棱锥P ABCD中，底面 ABCD是正方形，侧棱 PD 底而ABCD ,PD DC，点E是PC的中点，作EF PB交PB于点F .(1)求证：PA/平面EDB；(2)求证：PB 平面EFD(3)求二面角C PB D的大小.练习.在三棱锥 S ABC中， ABC是边长为4的正三角形，平面 SAC 平面ABC,黄肌瘦SA SC 2而,M、N分别为AB、SB的中点.(1)证明 AC SB;(2)求二面角N CM B的大小；(3)求点B到平面CMN的距离.1 .已知棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F分别是B。和CQ1的中点，求点A到平面DBEF的距离。5 .如图在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AC BC CA 1, AA1 J2 ,求点Bi到面A