电路与模拟电子技术20142-5非正弦分析

1、电路分析与电子技术基础非正弦分析（8.1 8.2）非正弦分析实际应用中，以非正弦信号为主。非正弦周期信号级数分解有效值、平均值功率稳态计算非正弦周期信号存在的现实：激励（信号）源是非正弦的，或非理想的正弦；电路中存在非线性元件。特点：非正弦、周期性变化。可以利用级数分解为一系列不同频率的正弦分量。（直流信号和各次谐波信号的叠加）级数分解级数满足狄条件的周期函数均可分解为级数。狄条件：在一个周期内，具有有限个极值点、有限个间断点和绝对可积。利用级数，可以将非正弦周期信号分解为一系列不同频率的正弦分量（或者说：直流信号和各次谐波信号的叠加）。利用级数，可求得非正弦周期信号的频谱。非周期信号，可以利

2、用积分变换作类似分析 .（假设非周期信号的周期为无穷大，将时间域信号转换到频率域中）级数（三角函数形式）定义一周期信号： f (t) f (t kT ) ，其中 T 为周期，k 为任意整数。对应的级数（三角函数形式）为：f (t) a0(acos n t b sin n t)n1n12n1 2其中，称为基波角频率， a 、a 、b 称为系数。10T2nnT22TTT 0af (t) dtf (t) dt或0T2T222TTT 0af (dtf (dt或nT2T222TTT 0bf (dt或f (dtnT2级数（三角函数形式）利用级数，可以将非正弦周期信号分解为一系列不同频率的正弦分量（或者说：

3、直流信号和各次谐波信号的叠加）。f (t) a0(acos n t b sin n t)n1n12n1级数的另种表示方式：f (t) A0 An cos(n1t n )n1 a0cos( t )其中，A称为直流分量； A称为基波分量；01112n 2 以后的分量分别称为二次、三次 . （高次）谐波分量；bn和 tg 1a 2b2A分别是第 n 次谐波的幅值和初相角。nnnnan级数（三角函数形式）利用级数，可以将非正弦周期信号分解为一系列不同频率的正弦分量（或者说：直流信号和各次谐波信号的叠加）。f (t) a0(acos n t b sin n t)n1n12n1级数的另种表示方式：f (t

4、) A0 An cos(n1t n )n1f (t) A0 An sin(n1t n )n1an tg 1其中， nbn谐波分析：将周期信号分解为直流、基波和高次谐波。级数（谐波分析）f(t)针对偶函数（偶对称，纵轴对称）： f (t) f (t)级数中的 bn = 0 。T0t42T 0af (dtf(t)n针对奇函数（奇对称，原点对称）：f (t) f (t)级数中的 a0 = 0 ，an = 0 。T0t42T 0bf (dtnf(t)针对横轴半波对称（镜像对称）：f (t) f (t T )2级数中只含奇次谐波，即 A2k = 0 。0tu(t)【例5.1】右图所示（对称U）信号波形。

5、波形表达式：T2T4t U t t T4 t T2u(t) T4T4U U求：此信号的T级数展开式。T4T4T22T2 T2TTTau(t) dt (U dt (U ) dt 0U ) dt解：0T2244T22Tau(dtnT2T4T4T22 TTTT( t) dt U cos n t dt (U cos n t) dtU cos n111244T20T2u(t)Ua0 0tT4TT2 42TTTa(U cos n t) dt U cos n t dt ( t) dtU cos nTn11T1T244T2 U2T4( sin)Tn124 2 U4 sin(n)1Tn1 4U sin(n) 2

6、n因此，当 n 为偶数时：an= 0 ； 4U当 n 为奇数时：aT（1,5,9.为正，3,7,11.为负）nn2T2bdt 0 （也可由偶函数推得）u(nT2 cos ax dx 1 sin axa 21TT20T2u(t)U 4Ua 0， a，b 0t0n（n 为奇数时）展开式为：nn所求信号的u(t) 4U cos t 1 cos 3 t 1 cos 5 t 1 cos 7 t 1111357展开为无穷级数，在工程实际应用中，应根据：展开后的收敛性、电路频率特性以及精度要求等，确定项数。基波 基波+3次谐波基波+3次谐波+5次谐波基波+3次谐波+5次谐波+7次谐波u(t)u(t)0t0t

7、T20T2级数（频谱）基于周期信号的级数（三角函数形式），定义：f (t) A0 An cos(n1t n )n1振幅频谱：谐波（从 0 开始计）幅值 An 与角频率 关系；相位频谱：谐波（从 0 开始计）初相角n 与角频率 关系。频谱图：包括振幅频谱图（幅频特性图）、相位频谱图（相频特性图）。纵坐标分别是谐波幅值、初相角；横坐标是角频率。【例5.2】已知信号：f (t) 5 6 cos( t ) 2 cos(3 t )1122求：信号的频谱图。解：振幅频谱图和相位频谱图分别如下所示。n6An5231202121023111u(t)【例5.3】求：【例5.1】所示信号的频谱图。Ut解：所求信号

8、的展开式为：u(t) 4U cos t 1 cos 3 t 1 cos 5 t 1 cos 7 t 1111357 4U cos t 1 cos(3 t ) 1 cos 5 t 1 cos(7 t ) 1111357所以，振幅频谱图和相位频谱图分别如下所示。n4UAn4U4U4U3570011 31 51 7131 51 71T20T2级数（复指数形式）周期信号对应的f (t) a0级数（三角函数形式）为：n1(acos n t b sin n t)n1n12e jn1t e jn1tcos n1t 2利用公式：e jn t e jn tsin n t 11：f (t) 12 j Fn e j

9、n1t经过计算，n复指数形式：将周期信号表示成一系列以 jn1t（周期信号的频域表达式）为指数的函数形式；级数（复指数形式） Fn e jn1tn级数（指数形式）为：f (t) 周期信号对应的 an jbnAn频谱函数：Fe jn可以表述各谐波分量的所有信息。n22模：等于对应谐波分量幅值的一半；幅角（n 为正时）：等于对应谐波分量的初相角。振幅频谱： Fn 的幅值与角频率 关系（偶函数）；相位频谱： Fn 的幅角n 与角频率 关系（奇函数）。双边频谱 单边频谱（双边振幅频谱负部以纵轴为对称对折，对应振幅相加后得单边振幅频谱）级数（复指数形式） an jbn1频谱函数的计算：FTT 0j si

10、n n t) dtf (n12T 1T1Tf (t)e jn1tdt0T2jn t或f (t)edt1T21TT 0Ff (t)dt0T21T或f (t) dtT2u(t)【例5.4】求：【例5.1】所示信号的U复指数形级数展开式及其频谱图。tT21T1T2U解：Fnjn tdt u(t)esin(n) 21Tn2T2Fu(t) dt 00T2因此，当 n 为偶数时：Fn 0； 2U当 n 为奇数时：F（1,5,9.为正，3,7,11.为负）nn Fn e jn1tn级数展开式：f (t) T20T2频谱函数的计算过程？ eaxdx 1 eaxae jx e jx 2 cos xe jx e

11、jx j2 sin x 21T频谱函数的计算过程？以1t 为积分变量 eaxdx 1 eaxae jx e jx 2 cos xe jx e jx j2 sin x 2UFF 00nn频谱（双边）图|Fn|tg 1Fn2U2U702U32U32U52U52U2U7771510317311551111（对应原单边频谱图）n4UAn4U4U4U3570011 31 51 7131 51 71频谱（双边）图|Fn|tg 1Fn2U2U702U32U32U52U52U2U7771510317311551111Fn当为实数，且各谐波分量的相位为 0 或 时，可将频谱图合并。Fn7131317101 15

12、151u(t)【例5.5】右图所示（周期脉冲）信号波形。U波形表达式：T2T2T2 t 20220t22T2u(t) t U t 20求：此信号的频谱函数，并作频谱图。T21T1TUT1解：F2u(t)e jn tUe jn te jn tdt dt 2111nTjn1222n1T2sin U1T1 U2Tu(t) dt TU dt F02n1TT222u(t)UT4令： nT2T2sinU4U4则：F0 Fn 4 n4 220tn1sin由此可作出频谱图。 U U F2n1F|F |0nnTT2121 8141tg 1Fn41041811210121 814181121u(t)UT8令： n

13、T2T2sinU8U8则：F0 8Fnn8 220tn1sin U U F2n1F|F |0nnTT281810tg 1Fn81令： T m？810u(t)u(t)UU T2T2T2t 20t2sin nsin n 2U U2 U 2|Fn|UFF2nF 0n sin(n 2 )F0n0nn220 21611014181121tg 1Fn0T20T2级数（频谱特征）离散性：频谱图由一系列的离散谱线组成的，所有谱线都出现在基波频率1的整数倍频率上（即：谱线间隔为1 ）。包络性和收敛性（针对振幅频谱）：包络性：谱线高度受 sinc 函数制约；收敛性：频率增加时，谱线高度总体趋势逐渐减小，最后收敛于

14、零。频谱函数代表的是一个时域信号，信号分析常对频谱函数进行。级数（频谱特征）零振幅频率：当 2k (k 1， 2），即 k T 时，振幅为零。1有效频谱宽度（信号的占有频率）： 0 2T （或）是信号能量的主要分布区；1这是研究信号与系统频率特性的重要内容。在保持脉冲宽度不变的情况下，若增大脉冲周期 T ，则基波频率1变小，谱线变密，同时振幅减小，收敛速度降低；若无限增大脉冲周期 T ，则谱线间隔趋于零，振幅趋于零；（此时，离散频谱过渡为连续频谱，周期信号过渡为非周期信号）在保持脉冲周期 T 不变的情况下，若减少脉冲宽度，则振幅减小，收敛速度降低，但有效频谱宽度及相邻零振幅频率间隔增大。级数（

15、功率谱）周期信号的平均功率（在 1电阻上的消耗），即：T1T2f 2 (t) dtP T2根据周期信号的复指数表达方式，有：P | Fn|2n说明：周期信号在时域的平均功率等于频域中各分量（包括直流和各次谐波）平均功率之和。功率谱：| Fn |2 与角频率 关系（离散频谱）。u(t)【例5.6】求：【例5.5】所示信号在有效频谱宽度内，U谐波分量平均功率占信号总平均功率的百分比。T2T2 220t T解：定义，则信号的平均功率为：n1msinT22 U U T22FP 1 UT U22Ff(t) dt t0nn1TTTm22有效频谱宽度为 m1 ，谐波分量平均功率为：2m1m1m1nUU|(n

16、12222P| () 2()mminc)smxnn(m1)n1以 m 分别为 3、5、7 为例，111222U， U， U信号功率分别为：357谐波功率分别为：0.3011U 2 ，0.1806U 2 ，0.1290U 2功率比为 90% 。有效值有效值：从能量等效的概念出发，衡量周期流信号大小的量。1TTf (t)2 dt周期信号的有效值：F 0非正弦周期信号：f (t) A0 An sin(n1t n )n1n02有效值：F An非正弦周期函数的有效值：直流分量与各次谐波分量有效值平方和的均。平均值1TT 0周期信号的平均值：ff (t)dtAV非正弦周期信号：f (t) A0 An si

17、n(n1t n )n1 0正弦周期信号的平均值：fAV非正弦周期信号的平均值：fAV A01TT|（整流）平均值：ff (t) | dtAVR0 2 Am正弦周期信号的（整流）平均值：fAVRu(t) U 0 U n sin(n1t un )n1功率瞬时功率：p(t) u(t) i(t)i(t) I0 n1 in )1Tn1T 0P p(t)dt UIIcos P 平均功率：UP00nnn0nn1非正弦周期信号的平均功率：直流分量与各次谐波分量平均功率之和。不同次谐波不能产生功率。稳态计算非正弦周期信号激励的稳态电路，无法直接采用直流或正弦电路的分析方法。基本思路：（1）将非正弦周期信号分解为

18、项收敛性，确定高次谐波的项数；级数表达式，根据所需精度及各分别计算在直流和各次谐波分量激励作用下的电路响应；直流作用：直流电路分析法（电感短路，电容开路）；谐波作用：正弦交流电路分析法（电感/感抗 . 电容/容抗 . ）应用叠加定理将相应响应进行叠加。叠加原则：按频率叠加；叠加对象：有效值、瞬时值（不能是相量）。【例5.7】右下图所示电路。已知：u(t) 180 sin(1t 30 ) 18sin31t 9 sin(51t 30 )VCRL*1iR 61L 2 18* W C1求：电压表、电流表和功率表的读数。Vu(t)解：激励源中仅包含 1、3、5 次谐波。针对 1 次谐波单独分析，有：A

19、UI1 7.45 39.4 A16 j2 jR j L j CYwZBTU0tuIu(t) 180sin(1t 30 ) 18sin31t 9 sin(51t 30 )VCRL*1iR 61L 2 18* W C1#IT.AThAi?AG/70Vu(t)dQ*&1#$ 35 klm*9IA U 3I 2.120 A3R j 1L j6 j3 2 j C31U 5I 0.73 16.8 A5R j5 L j右下图所示电路。已知：u(t) 180 sin(1t 30 ) 18sin31t 9 sin(51t 30 )VCRL*1iR 61L 2 18* W C1求：电压表、电流表和功率表的读数。V

20、u(t)I1 I3I5 7.45 39.4 A 2.120 A 0.73 16.8 AA2 sin( 1t 39.4 ) 2.122 sin(51t 16.8 )A叠加：i(t) 7.452 sin31t 0.73I 2 I 2 I 2 7.78AI 所以：U P 135U 2 U 2 U 2 128.97V135 Ucos Ucos Ucos5 363.16WR1R3L4i1i2*【例5.8】右图所示电路。已知：R1 R2 10，R 20 ， L L AA*W21M*L1*L2uS1(t)RCVL3uS2(t)21L 20， 2.5 ， M 10L CuS1 (t) 10 602 sin 1

21、t V ，uS2 (t) 402 sin 1t 302 sin 31t V求：电压表、电流表和功率表的读数。解：电路中有两个激励源，包含直流、1、3 次谐波。R1R3I10I20单独分析直流（电路图如右所示）：US10I 0.5A10R R1 0A2uS10R2I 20U IR 5V0101R1R3L4i1i2*AA*W21右图所示电路。已知：M*L1*L2uS1(t)RVuS2(t)R R 10122R 20 L L 1L 20 L 2.5 M 10 CuS1 (t) 10 602 sin 1t VuS2 (t) 402 sin 1t 302 sin 31t V1单独分析 1 次谐波时：j

22、L / 13j C1即，L C 发生并联谐振（如上）。3US11600有：I2 45 A 1.511R R j20 j20L1 0A211I21U1 I11 (R1 j1L1 ) 1.52 45 (10 j20) 47.418.4 VR1R3L4i1i2*AA*W21右图所示电路。已知：M*L1*L2CVL3uS2(t)R R 10R122R 201 L L L 20 L 2.5 M 10 CuS1 (t) 10 602 sin 1t VuS2 (t) 402 sin 1t 302 sin 31t V1单独分析 3 次谐波时：j3 L j3 L / 01413j3 C1即，L 与 L C 发生

23、串联谐振（如上）。43根据回路电流方程：IIj3 1M 0M US23解得：I 0.27 44 A 0.57 62.4 A I13 R2 2.7136 V13I23U 3R1R3L4i1i2*AA*W21M*L1*L2uS1(t)RCVL3uS2(t)2i1(t) 0.5 3sin(1t 45 ) 0 27i2 (t) 0 572 sin(3. 1t 62.4 ) A2 sin(3. 1t 44 ) AnoIu(t) 5 47.42 sin(1t 18.4 ) 2.72 sin(31t 136 )V I 2 I 2 I 2 2.2 A9:;II1101113I 2 I 2 I 2I 2 U 0.57 A 47.7 V202123U 2 U 2 U 2013?AIP P