排列与组合最新培优练习(含解析)

1、排列与组合课时作业一、选择题.将4个颜色互不相同的球全部放入编号为 1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）A. 10 种 B. 20 种 C. 36 种 D. 52 种解析：由题意得，把4个颜色不相同的球分为两类：一类是：一组 1个，一组3个，共有 C4c3=4种，按要求放置在两个盒子中，共有 4种不同的放法； 另一类：两组各两个小球，c4c2共有C2 = 3种不同的放法，按要求放置在两个盒子中，共有3XA2=6种，所以共有4+6=10种不同的放法，故选A.答案：A.方程CX4=C2X4的解集为（）A. 4 B. 14 C. 4, 6 D.

2、14, 2解析：.CX4=C24 4,x= 2x 4 或 x+2x 4=14,x= 4 或 x= 6,经检验知x= 4或x = 6符合题意，故方程Cx4= C2T4的解集为4, 6.故选C.答案：C.将编号为1, 2, 3, 4的四个小球放入A, B, C三个盒子中，若每个盒子至少放一个球，且1号球和2号球不能放在同一个盒子，则不同的放法种数为 （）A. 30 B. 24 C. 48 D. 72解析：由题意知4个小球有2个放在一个盒子里的种数是 C4,把这两个作为一个元素同 另外两个元素在三个位置排列，有 A3种结果，而号小球放在同一个盒子里有 A3 = 6种结 果，所以编号为的小球不放到同一

3、个盒子里的种数是 C2A36 = 30,故选A.答案：A.将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学三所大学就读，则每所大 学至少保送一人的不同保送的方法数为（）A. 150 种 B. 180种 C. 240种 D. 540种11八2八2解析：先将5个人分成三组，（3, 1, 1）或（1, 2, 2）,分组方法有C3+。22c =25种,再将三组全排列有A3 = 6种，故总的方法数有25X6= 150种.答案： A5.北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者（编号分别是1, 2,，30号），现从中任意选取6 人按编号大小分成两组分配到江西厅、 广电厅工作， 其中三个编号较小

4、的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6 号、 15号与 24 号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是 （）A 25 B 32 C 60 D 100解析： 6 号、 15 号与 24 号放在一组，则其余三个编号要么都比 6 小，要么都比24 大，比6小时，有C3=10种选法，都比24大时，有C6= 20种选法，合计30种选法，6号、15号与24在选厅时有两种选法，所以选取的种数共有 （10 + 20）X2 = 60种，故正确选项为C.答案： C6我市正在建设最具幸福感城市，原计划沿渭河修建7 个河滩主题公园，为提升城市品位、升级公园功能， 打算减少 2 个河滩主题公园， 两端河滩主题公园

5、不在调整计划之列， 相邻的两 TOC o 1-5 h z 个河滩主题公园不能同时被调整，则调整方案的种数为 （）A 12 B 8 C 6 D 4解析： 从中间 5 个选 2 个共有 10 种方法，去掉相邻的 4 种方法，共有6 种方法，选C.答案： C7将除颜色外完全相同的一个白球、一个黄球、两个红球分给三个小朋友，且每个小朋友至少分得一个球的分法种数为 （）A 15 B 21 C 18 D 24解析： 将四个小球分成（2， 1， 1）组， 其中 2 个球分给一个小朋友的分法有（红红 ） ， （红白），（红黄 ） ， （ 白黄 ） 四种若（红红 ） ， （红白 ）， （红黄 ） 分给其中一个小

6、朋友，则剩下的分给其余两个小朋友，共有3X3X A2=18种；若（黄白）分给其中的一个小朋友，则剩下的分给其余两个小 朋友，只有一种分法，共有1X3 = 3种.由分类计数原理可得所有分法种数为18+3= 21,应选 B.答案： B 旅游体验师小李受某旅游网站的邀约， 决定对甲、 乙、 丙、 丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方法数为 （）A 24 B 18 C 16 D 10解析：第一类，甲在最后一个体验，则有A3种方法；第二类，甲不在最后一个体验，则有A2A2种方法，所以小李旅游的方法共有 A3+ A2A2= 10种.故选D.答案：D.

7、把7个字符a, a, a, b, b, a , 0排成一排，要求三个 a”两两不相邻，且两个b”也不相 邻，则这样的排法共有()A. 144 种 B. 96 种 C. 30种 D. 12 种解析：现排列b, b,民，B ,若% B不相邻,有c2a2=6种，若% B相令口，有C3A2= 6种，共有6 + 6= 12种，从所形成的5个空位中选3个插入a, a, a,共有12XC5=120种， 若b, b相邻时，从所形成的4个空中选3个插入a, a, a,共有A3C3 = 24种，所以三个a” 两两不相邻，且两个b”也不相邻，这样的排法共有120 24= 96种，故选B.答案：B.将3名教师和3名学

8、生共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动,则每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为()A.3 B.5 C.2 D.5解析：由题意得将3名教师和3名学生共6人平均分成3组，安排到三个社区参加社会实 践活动的方法共有C6c2=90种，其中每个小组恰好有1名教师和1名学生的安排方法有(C336 2 .C2)(C3C2) = 36 种，故所求的概率为p=96= 5.选B.答案：B. 一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看.现从甲、乙、丙等 6名工人中安排 4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排 1人，第四道工序只能从甲、 内两工人中安排1人，则不同的安排

9、方案共有()A. 24 种 B. 36种 C. 48 种 D. 72 种解析：此题的难度主要是来自分类，按 “问题元素”优先的原则，对甲进行分类：甲照看 第一道工序(甲1丙4)、甲照看第四道工序(甲4乙1)、甲“休息”(乙1丙4)三种.C1C1A2+ C1C1A2+C1C1A4 = 36.答案：B12.几只猴子在一棵枯树上玩耍，它们均不慎失足下落.已知(1)甲在下落的过程中依次撞击到树枝 A, B, C;(2)乙在下落的过程中依次撞击到树枝 D, E, F;(3)内在下落的过程中依次撞击到树枝 G, A, C;(4)丁在下落的过程中依次撞击到树枝 B, D, H;（5）戊在下落的过程中依次撞击

10、到树枝I, C, E.则这9根树枝从高到低不同的次序有（）A. 23 种 B. 24 种 C. 32 种 D. 33 种解析：不妨设A, B, C, D, E, F, G, H, I代表树枝的高度，五根树枝从上至下共九 个位置，根据甲依次撞击到树枝 A, B, C;乙依次撞击到树枝 D, E, F;丙依次撞击到树枝 G, A, C; 丁依次撞击到树枝 B, D, H;戊依次撞击到树枝I, C, E.可得GAB,且在前 四个位置，CEF, DEF,且E, F 一定排在后四个位置，（1）若I排在前四个位置中的一个 位置，前四个位置有4种排法，若第五个位置排C,则第六个位置一定排D,后三个位置共有

11、3种排法，若第五个位置排 D,则后四个位置共有4种排法，所以I排在前四个位置中的一个 位置时，共有4X （3 + 4） = 28种排法；（2）若I不排在前四个位置中的一个位置，则 G, A, B, D按顺序排在前四个位置，由于ICEF,所以后五个位置的排法就是 H的不同排法，共5 种排法，即若不排在前四个位置中的一个位置共有 5种排法，由分类计数原理可得，这9根树 枝从高到低不同的次序有28+5= 33种，故选D.答案：D二、填空题.中国诗词大会亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的 配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若将进酒山居秋暝望岳送杜少府之任蜀州 和另确定的两首

12、诗词排在后六场，且将进酒排在望岳的前面（可以不相邻），山居秋暝与送杜少府之任蜀州不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有 .解析：根据题意，分2步进行分析：将将进酒望岳和另两首诗词的四首诗词全排24列，共有A4= 24种顺序，由于将进酒排在望岳前面，则这四首诗词的排法有万=12种，这四首诗词排好后，不含最后有四个空位，在四个空位中任选两个，安排山居秋暝与送杜少府之任蜀州，有A4=12种安排方法，则后六场的排法有 12X12=144种.答案：144.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加厦门市华侨博物院志愿者服务活动，每人从事礼 仪、导游、翻译、讲解四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会导

13、游但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 网数字作答）.解析：根据题意，分情况讨论：甲乙一起参加除了导游的三项工作之一，有c3xa3=18种;甲乙不同时参加一项工作，进而又分为 2种小情况：a.丙、丁、戌三人中有两人承担同一份工作，有 A3XC3X A2= 3X2X 3X2=36种；b.甲或乙与丙、丁、戌三人中的一人承担同一份工作，有A3xC1xc2x A2=72种.由分类计数原理，可得共有18+36+72=126种.答案：126.将5名报名参加运动会的同学分别安排到跳绳、接力，投篮三项比赛中(假设这些比赛都不设人数上限)，每人只参加一项，则共有 x种不同的方

14、案；若每项比赛至少要安排一人时， 则共有y种不同的方案，其中x+ y的值为.解析：5名同学报名参加跳绳、接力，投篮三项比赛，每人限报一项，每人有 3种报名方 法，根据分步计数原理，x= 35 = 243种，. 一c5 - C1 C3 c5 - c3 - C1 c当每项比赛至少要安排一人时，先分组有C + C =25种，再排列有A3= A2A26 种，所以 y= 25X 6=150 种，所以 x + y= 393.答案：393.学校安排6名同学参加两项不同的志愿活动， 每位同学必须参加一项活动且不能同时参加 两项，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有 种.(用数字作答)解析：由题意知本题是一

15、个分类计数问题，二.每项活动最多安排4人，.可以有三种安排 方法，即(4, 2), (3, 3), (2, 4),当安排(4, 2)时,共有C6=15种结果,当安排(3, 3)时,共 有C3=20种结果，当安排(2, 4)时，共有C6= 15种结果，根据分类计数原理知共有 15+20 + 15= 50种结果，故答案为50.答案：50三、解答题.求满足下列条件的方法种数：(1)将4个不同的小球，放进4个不同的盒子，且没有空盒子，共有多少种放法？(2)将4个不同的小球，放进3个不同的盒子，且没有空盒子，共有多少种放法？(最后结果用数字作答)解：(1)没有空盒子的放法有：A4 = 24种.(2)放进

16、3个盒子的放法有：C4 A3= 36种.在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目.(写出必要的数学式，结果用数字 作答)(1)三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？(2)四名男生相邻有多少种不同的排法？(3)女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？(4)甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？(甲乙丙三位同学身高互不相等)解：(1)A4A3=1 440; (2)A4A4 = 576;(3)A6+A5A5A5=3 720; (4)A7 + A3 = 840. (1)由数字1、2、3、4、5、6、7组成无重复数字的七位数，求三个偶数必相邻的七位数 的个数及三个偶数互不相邻的七位数的个数.(2)六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？每组2本；一组1本，一组2本，一组3本.解：(1)将三个偶数捆绑和4个奇数排列有A5种；冉将有三个偶数松绑有 A3种，所以共有 A5-A3=720个；4个奇数全排列有A4种，在5个空中插入3个偶数，每空插入一个有A5#, 所以共有A4 - A3=1 440个.分组与顺序无关，是组合问题.分组数是C6c4c2=90(种)，这90种分组实际上重复了