字典学习与图像处理

1、字典学习与图像处理字典学习应用于图像处理的方法，简单的来说就是：用待处理图像或与待处理图像类似的图像训练出字典，然后利用这个字典处理待处理图像，以达到某种目的。对于如何利用字典学习进行图像处理，我们主要需要解决两个问题：I如何用待处理图像训练出字典？II.如何利用这个字典处理图像？对带噪声的图像X去噪过程如下：对于第一个问题，我们可以用算子E将图像中第i行第j列ij为左上角的丙心下的小块取出，并将这个jNx的矩阵的每一列依次排列，组成一个N维的列向量，将这些向量放在一起，看作一族用于训练字典的N维的信号，就可以用前边的方法训练出一个字典，并且得到每一个信号的稀疏表示，即min工IIDa-EXI

2、|2+pIIaII)Caijij2ijij0这样就得到了每一个小块的一个估计，现在的问题就是如何由这些块估计得到一副完整的图像，可以解优化问题Y=argmin尢IIXY比+工IIDaEYII22Yijij2=Ci+工ETE+工ETDa)ijijijij综合来看，对带噪声的图像X去噪过程就是求解以下优化问题：x,D,Y=argmin九IIXYlb+丫IIDaEYII2+pIIaIIa,D,Y2ijij2ijij0i,j假设图像由三部分组成，即：假设一幅图像由三部分组成：y1,y2,v，即字典学习与图像分离（MCA）其中前两项为能被两个字典D1,D2稀疏表示的图像，v为噪声。因此，图像分离的过程可

3、以归结为优化问题：minIIxII+IIxII1020 x1,x2toIIy一Dx一DxIIs1122早期的图像处理假设图像是分片光滑的；如今大家普遍认为图像是由低频的背景和高频的纹理构成。下面，我们就用MCA方法将图像分为背景和纹理两部分。全局MCAy二y0+V二yc+yt+V假设这两部分图像可以由字典D,D稀疏表示，则原问题,x=mintx,xct可以转化为优化问题：九(IIxII+IIxII)+丄IIyDxDxII2c0t02cctt2将上式中的零范数用一范数代替，就可以用前边讲过的方法对xc,xt分别迭代求解。和上边一样，假设图像由三部分组成，即：局部MCAy二yo+V=y+y+Vct

4、求解优化问题：IIDa-EuII2+pIIaIICijij2ijij0首先，与图像去噪处理类似，x,d=argmin九IIy-uII2+a,D2i,ji,j从而确定字典和稀疏表示系数。我们可以认为上边求解出的字典由两部分构成：Dc,Dt这两部分分别用于稀疏表示图像的低频部分和纹理部分。由于图像的低频部分比较平滑，所以表示这一部分的字典也会比较平滑，也就是他的全变分比较小。因此，我们可以通过下式的大小将这两部分字典分开：TV(d)=Id-dI+SId-dIi,ji-1,ji,ji,j-1这样，这个为问题就可以转化为：,u*=argmin九IIyuuII2+工IIDac+DatEuEuII2ctc

5、t2cijtijijcijt2u,ucti,jqargmin九IIyuuII2+乙IIDacEuII+IIDatEuII2ct2cijijctijijt2u,ucti,jijij令上式梯度为零即可得到：如果则上式变为：力+工EtE九I_-1九y+工EtDacycy=ijij尢I九I+工EtE*ijcij九y+工EtDattijijijjtijij-1ETDacijijijijijij-1Etdatijijijij对于带有伪影和噪声的图像，即y=yt+ya+v，也可以通过类似的处理去除伪影和噪声。首先，通过一个不含伪影结构的类似图像训练出一个字典，即求解优化问题：x,D=argminx,D工IIDx-EuII2+pIIxIICijij2ijij0i,j上式得到的字典可以用于表示图像原有的结构，我们还需要,D=argmin工x,Dx,Dai,j一个字典