课件第三章5微分

1、第五节函数的微分一、微分的概念二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用动页第三章一、微分的概念引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其边长由x0, 问此薄片面积改变了多少?变到02, 当 x 在 x0 取设薄片边长为x , 面积为 A , 则得增量 x 时, 面积的增量为)2xx0 x 0 时为高阶无穷小关于x 的线性主部故动页称为函数在 x0 的微分0(xA x200在点 x0 的增量可表示为 Ax)( A 为不依赖于x 的常数)定义: 若函数y f可微, 而 A x 称为即x则称函数在点的微分, 记作dy A x注: （1） A x（2）在点可微的条件是什么？动页在点 x0 可微

2、的充要条件是定理:函数在点 x0处可导, 且即证: “必要性”已知 y xf可微, 则 f (x0 ) Ax)(在点x0lim yo x) Alim ( Ax00 xxx故的可导, 且在点动页在点 x0可微的充要条件是定理:函数在点 x0处可导, 且即“充分性” 已知的可导, 则在点lim y f x00 xx y ( lim )0 x00 xy f xf (x0 x故ox) 线性主部即动页y f (o x)说明:0f y 0 )时,(当0y ylimlimx01(f x0 x0 dyxlim y 10 x0 )xx0 时 y 与dy所以x 故当是等价无穷小,很小时, 有近似公式d动页微分的几

3、何意义切线纵坐标的增量f y 0 )tanxxy当x 很小时d,y当 x则有时， 记 dxoxx0自变量的微分, 记作 dx 0从而动页导数也叫作微商3 ,例如, 3x2 dx.024dyx 2x x 2x .02.02 arctan,又如,1dy dx1 x2动页例1. 已知求解：因为所以动页二、微分运算法则1. 常数和基本初等函数的微分公式(P77)动页d (C) d (x ) d (sin x) d (cos x) d (tan x) d (cot x) d (sec x) d (csc x) d (ax ) d (ex ) d (loga x) d (ln x) d (arcsin x

4、) d (arccos x) d (arctan x) d (arc cot x) 2.微分的四则运算法则设 u(x) , v(x) 均可微,则(C 为常数)vv3. 复合函数的微分,则可微若若的微分均可微, 则f(u)动页微分形式不变性 u) dudu (x) dx u) du例2.求d( ex21dy 解:1 ex212 exx2d21 ex1x2x21 exx22ex2 dx1 ex动页求例3. 已知解：方程两边求微分, 得习题课 目录上页下页返回结束例4. 设求解:利用一阶微分形式不变性 , 有y) 0(dd( y sin)d(cos(sin xy dy codxin(dy cos x

5、 sin(x y) sin(x ) sindx例5. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:) )1(2( )d(d(d) cosd说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容. 注意: 数学中的反问题往往出现多值性.注意 目录上页下页返回结束三、 微分在近似计算中的应用 y f (ox)0 x很小时, 得近似等式:当f (x y( f (0 ) f (x0) 0)f x00 x) 令 x0f (x0 ), f (x0 x 与x0 靠近.1)2使用原则:好算动页特别当,0很小时,0常用近似公式: (x很小)1 xf ( ) (f (0 证明: 令得 当f (0) ,x很小时,xx1 xx动页

6、例6.解:求的近似值.f ( ) sin,设取则dx 180 cos ( sin sin 29 sin 29 )61801806 1 3.0175)22动页的近似值.例7.计算35 24315解:(243)2215(31)24312 3 1()5243 3.0048动页(1x)1 x例8. 有一批半径为1cm 的球 ,为了提高球面的光洁度,估计一下, 每只球需厚度定为 0.01cm ,要镀上一层铜,用铜多少克.解:已知球体体积为镀铜体积为V 在时体积的增量42R 1R .001R 1R .00113 cm3因此每只球需用铜约为8.9 0.13 .116( g )动页微分概念微分的定义及几何意义可微可导2. 微分运算法则d f (u f u) d u微分形式不变性:( u 是自变量或中间变量)3.微分在近似计算中应用动页内容小结1. 设函数的图形如下, 试在图中标出的点x0 处的,d及并说明其正负.,dd 0ydy 0y 0ox0 x0动页思考与练习d(arctan ex ) de