新教材人教版高中数学必修第二册 8.6.1直线与直线垂直（提升练习题）解析版

1、精品文档 精心整理精品文档 可编辑的精品文档第八章 立体几何初步8.6.1直线与直线垂直(提升练）一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）1.若a是空间中的一条直线,则在平面内一定存在直线b与直线a ()A.平行 B.相交 C.垂直 D.异面【答案】C【解析】如图所示的正方体中,取平面为平面ABCD,直线a与平面的位置关系有三种,(1)取直线AB为a,在平面内,显然存在直线BCa,但不存在直线与a异面;(2)取直线A1B1为a,在平面内,显然存在直线BCa,但不存在直线与a相交;(3)取直线AA1为a,在平面内,显然存在直线BCa,但不存在直线与a平行. 故选:C.2如图，、分别是三棱锥

2、的棱、的中点，则异面直线与所成的角为（ ）ABCD【答案】B【解析】如图所示：取中点，连接，因为、分别是棱、的中点，且为中点，所以且，所以且；所以异面直线与所成的角即为或其补角，则，所以，所以异面直线与所成的角即为的补角：.3如图，在正方体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）ABCD【答案】A【解析】延长至点，使得，连接，四边形为平行四边形，异面直线与所成角即为与所成角，即，设正方体的棱长为，异面直线与所成角的余弦值为.故选：.4如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,若BAC=90,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于 ()A.30 B.45 C.60 D.9

3、0【答案】C【解析】如图,延长B1A1到E,使A1E=A1B1,连接AE,EC1,则AEA1B,所以EAC1是异面直线BA1与AC1所成的角或其补角,由已知条件可得AEC1为正三角形,所以EAC1为60, 故选:C.5.已知四面体D-ABC中,AB,BC,BD两两垂直,且AB=BC=1,点E是AC的中点,异面直线AD与BE所成的角为,且cos =,则该四面体的体积为 ()A. B. C. D.【答案】A【解析】如图,取CD的中点F,连接BF、EF,AB,BC,BD两两垂直,且AB=BC=1,CD=AD,又E、F分别为AC、CD的中点,BF=DC,EF=DA,且EFAD,FEB(或其补角)为异面

4、直线AD与BE所成的角.由题意得BE=,设BF=EF=a,在BEF中,由余弦定理得a2=+a2-2a,解得a=,DA=,在RtADB中,可得DB=2,四面体D-ABC的体积V=112=. 故选:A.二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）6如图所示,已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,l平面A1B1C1D1,且l与B1C1不平行,则下列一定成立的是 ()A.l与AD平行 B.l与AB异面C.l与CD所成的角为30 D.l与BD垂直【答案】BCD【解析】假设lAD,则由ADBCB1C1,可得lB1C1,这与“l与B1C1不平行”矛盾,所以l与AD不平行.易证B

5、、C、D成立, 故选:BCD.7已知正方体中，E为的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值不可能为 ()A. B. C. D.【答案】BCD【解析】连接DE，设AD=2，易知ADBC，DAE就是异面直线AE与BC所成角，在RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3，cosDAE=故选:BCD.8.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1的中点,则下列结论中成立的是 ()A.EF与BB1垂直 B.EF与BD垂直C.EF与CD异面 D.EF与A1C1异面【答案】ABC【解析】如图所示,连接A1B,易知点E为A1B的中点,由三角形中位线定理可得EFA1C1,所

6、以EF,A1C1确定一个平面;显然EF与CD异面;连接B1D1,则A1C1B1D1,易知BDB1D1,所以A1C1BD,又知EFA1C1,所以EFBD.故只有选项D中的结论不成立.故选:ABC.三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）9已知长方体的高为，两个底面均为边长为的正方形则异面直线与所成角的大小为_；【答案】【解析】由长方体的性质得：， 或其补角是异面直线与所成角连结，平面， ，在中， ，即异面直线与所成角为.故答案为:如图，已知三棱柱的各条棱长都相等，且底面，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角为_【答案】【解析】设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B2C2（

7、如图）平移AB1至A2B，连接A2M，MBA2即为AB1与BM所成的角，在A2BM中， 故答案为:11.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，AB与CD成角大小为_;AB与EF成角大小为_【答案】60 90【解析】又，所以是与所成角，又是等边三角形，则，所以与成60角，因为，又，所以与成90角故答案为：60 90四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）12空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG2，GEeq r(5)，EF3.求证：ACBD【解析】点G，E分别是CD，BC的中点，GEBD，同理GFACFGE或FGE的补角是异面

8、直线AC与BD所成的角在EFG中，FG2，GEeq r(5)，EF3，满足FG2GE2EF2，FGE90.即异面直线AC与BD所成的角是90.ACBD已知在底面为菱形的直四棱柱中， ，若，则求异面直线与所成的角【答案】【解析】连接，四边形为菱形， ，.又为直角三角形， ，得，四边形为正方形.连接交于点 ，（或其补角)为异面直线与所成的角，由于为正方形， ，故异面直线与所成的角为.14如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D为AB的中点,点E在侧棱CC1上,DE平面AB1C1,(1)证明:E是CC1的中点;(2)设BAC=90,四边形ABB1A1是边长为4的正方形,四边形ACC1A1为矩形,且异面直线DE与B1C1所成的角为30,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.【答案】(1)证明见解析；（2）32【解析】(1)证明:连接A1D、A1E,分别交AB1、AC1于M、N,连接MN.DE平面AB1C1,DE平面A1DE,平面A1DE平面AB1C1=MN,DEMN,D为AB的中点,A1B1=AB=2AD.由ADA1B1可得MAD=MB1A1,MDA=MA1B1,ADMB1A1M,故A1M=2MD,DEMN,A1N=2NE.同理可证得A1NAE