新教材2021-2022学年人教A版必修第一册 1.2　集合间的基本关系 学案

1、1.2集合间的基本关系核心知识目标核心素养目标1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集、真子集.2.在具体情境中,了解空集的含义.3.会判断集合间的基本关系.4.能使用Venn图表达集合间的基本关系.1.通过对集合间基本关系的学习,达成数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养.2.通过Venn图的应用,发展直观想象的核心素养.1.子集的概念问题1 下面给出的两对集合,集合A中的元素都是集合B中的元素吗?(1)A=0,1,2,B=0,1,2,3;(2)A=x|x-1,B=x|x1.提示:是的.梳理1子集(1)定义:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素

2、,称集合A为集合B的子集.(2)符号表示:AB(或BA).读作“A包含于B”(或“B包含A”).(3)Venn图表示:(4)性质任何一个集合都是它本身的子集,即AA.对于集合A,B,C,如果AB,且BC,那么AC.2.集合的相等实例 观察下面两个例子:(1)设C=x|x是两条边相等的三角形,D=x|x是等腰三角形;(2)C=1,5,6,D=6,5,1.问题2-1 你能发现两个集合间有什么关系吗?提示:(1)(2)中集合C,D的元素相同,即集合C中任何一个元素都是集合D中的元素,同时,集合D中任何一个元素也都是集合C中的元素.问题2-2 与实数中的结论“若ab,且ba,则a=b”相类比,在集合中

3、,你能得出什么结论?提示:若两个集合互为子集,则这两个集合相等.梳理2集合相等(1)定义:一般地,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等.也就是说,若AB,且BA,则A=B.(2)符号表示:A=B.(3)Venn图表示:(4)性质:对于集合A,B,C,如果A=B,且B=C,那么A=C.3.真子集的概念问题3 对于问题1中给出的两对集合,集合B中的元素都是集合A中的元素吗?提示:不全是.梳理3真子集(1)定义:如果集合AB,但存在元素xB,且xA,则称集合A是集合B的真子集.(2)符号表示:AB(或BA)读作“A真包含于B”(或

4、“B真包含A”).(3)Venn图表示:(4)性质:对于集合A,B,C,如果AB,且BC,那么AC.4.空集问题4 集合A=x|x3中有多少个元素?提示:0个.梳理4空集(1)定义:不含任何元素的集合,叫做空集.(2)符号表示:.(3)规定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.1.下列关于的说法正确的是(D)(A)0(B)0(C)0(D)0解析:是不含任何元素的集合,所以0,0,故选D.2.集合x|x=1的子集有个.答案:23.(人教A教材P8练习T2改编)用“”“”“”“”或“=”填空:(1)55;(2)a,b,ca,c;(3)1,2,33,2,1;(4)0.答案:(1)(2)(3

5、)=(4)4.集合A=x|x=3m-1,mN和B=x|x=3m+2,mN之间的关系是.解析:由A=-1,2,5,8,B=2,5,8,知BA.答案:BA子集与真子集的概念探究角度1子集的列举、子集个数例1 已知集合M=x|x2且xN,N=x|-2x2且xZ.(1)写出集合M的子集、真子集;(2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数.解:M=x|x2且xN=0,1,N=x|-2x2,且xZ=-1,0,1.(1)所以M的子集为,0,1,0,1;其中真子集为,0,1.(2)N的子集为,-1,0,1,-1,0,-1,1,0,1,-1,0,1.所以N的子集数为8,真子集数为7,非空真子集数为6.即时训

6、练1-1:已知集合M满足1,2M1,2,3,4,5,写出集合M所有的可能情况.解:由题意可以确定集合M必含有元素1,2,且至少含有元素3,4,5中的一个,因此依据集合M的元素个数分类如下:含有3个元素:1,2,3,1,2,4,1,2,5;含有4个元素:1,2,3,4,1,2,3,5,1,2,4,5;含有5个元素:1,2,3,4,5.故满足条件的集合M为1,2,3,1,2,4,1,2,5,1,2,3,4,1,2,3,5,1,2,4,5,1,2,3,4,5.(1)写一个集合的子集时,可按子集中元素的个数多少分类写出,注意要做到不重不漏.(2)n个元素的集合,其子集、真子集的个数讨论:的子集只有1个

7、.a的子集有2个.a,b的子集有4个.a,b,c的子集有8个.含有n个元素的集合M有2n个子集,有(2n-1)个非空子集,有(2n-1)个真子集,有(2n-2)个非空真子集.写一个集合的子集时,不要忘记和其本身.探究角度2集合间关系的判断例2 写出下列各对集合之间的关系:(1)A=x|-1x4,B=x|x-50;(2)A=x|x=2n,nZ,B=y|y=k+2,kZ;(3)A=x|x=k+12,kZ,B=x|x=2k+12,kZ.解:(1)集合B=x|x5,用数轴表示集合A,B如图所示,由图可知AB.(2)当k,n取整数时,A=,-4,-2,0,2,4,6,B=,-5,-4,-3,-2,-1,

8、0,1,2,3,4,5,6,故AB.(3)集合A中,x=k+12=2k+12(kZ),因此kZ时,2k+1是奇数;集合B中,x=2k+12=4k+12(kZ),因此kZ时,4k+1只表示部分奇数,故BA.即时训练2-1:写出下列每对集合之间的关系:(1)A=1,2,3,4,5,B=1,3,5;(2)C=x|x2=1,D=x|x|=1;(3)E=-1,1,F=(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1);(4)G=等腰三角形,H=等边三角形.解:(1)因为B的每个元素都属于A,而4A且4B,所以BA.(2)因为C和D包含的元素都是1和-1,所以C=D.(3)集合E的代表元素是数,集合F

9、的代表元素是实数对,因此两集合之间无包含关系.(4)由于等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故GH.判断两个集合间的关系时,首先要明确集合的元素特征,分析集合的元素之间的关系,然后根据以下方法判断:(1)直接法:首先判断一个集合A中的任意一个元素是否属于另一个集合B.若是,则AB,否则A不是B的子集.其次通过判断另一个集合B中的任意一个元素是否属于集合A来判断它们之间的真子集关系.(2)对于用列举法表示的集合,只需要观察其元素即可知道它们之间的关系.(3)对于用描述法表示的集合,要从所含元素的特征来分析;若集合之间可以统一形式,则需要统一形式后判断.(4)而对于不等式表

10、示的数集,可在数轴上标出集合的元素,直观地进行判断,但要注意端点值的取舍.集合相等例3 已知A=1,x,2x,B=1,y,y2,若AB,且AB,求实数x和y的值.解:由AB,且AB知,A=B.由集合相等的概念可得x=y,2x=y2,或x=y2,2x=y.解方程组得x=0,y=0,或x=2,y=2,或x=14,y=12.当x=0,y=0时,A=1,0,0,B=1,0,0不符合集合中元素的互异性,舍去.所以x=2,y=2或x=14,y=12.即时训练3-1:设集合A=x,y,B=0,x2,若A=B,求实数x,y的值.解:因为集合A,B相等,所以x=0或y=0.(1)当x=0时,x2=0,则B=0,

11、0,不满足集合中元素的互异性,故舍去.(2)当y=0时,x=x2,解得x=0或x=1.由(1)知x=0应舍去.综上知,x=1,y=0.根据集合相等求参数,首先分析一个集合中元素与另一集合中哪个元素相等,分几种情况进行讨论,然后通过列方程(组)求解.当集合中的未知元素不止一个时,情况会更复杂,需要多次讨论.求出参数后要根据集合中元素的互异性进行检验,排除不合要求的解.根据集合间的关系求参数值或取值范围探究角度1求参数值例4 集合A=x|x2=4,xR,集合B=x|kx=4,xR,若BA,则实数k=.解析:A=x|x2=4,xR=-2,2.因为BA,所以B=,B=2,B=-2,B=-2,2.因为方

12、程kx=4最多有一个实数根或无根,因此分类讨论如下:当B=时,方程kx=4无实根,所以k=0;当B=2时,则2是方程kx=4的实根,故2k=4k=2;当B=-2时,则-2是方程kx=4的实根,故-2k=4k=-2.综上可知实数k=0,2,-2.答案:0,2,-2即时训练4-1:已知集合A=1,3,m,B=1,m,BA,则m等于()(A)0或3(B)0或3(C)1或3(D)1或3解析:因为BA,所以m=3或m=m.若m=3,则A=1,3,3,B=1,3,满足BA.若m=m,解得m=0或m=1.若m=0,则A=1,3,0,B=1,0,满足BA;若m=1,则A,B不满足集合中元素的互异性,舍去.综上

13、,m=0或m=3,故选B.对于两个集合是用列举法或描述法(元素个数有限)表示的集合间的关系,常转化为方程(组)求解,注意所求参数要满足集合中元素互异性,若含参数的集合是一个给定集合的子集时,还要注意空集是任何集合子集的特殊情况,如本例中k=0,若忽视,则丢解.探究角度2求参数范围例5 已知集合A=x|x4,B=x|2axa+3,若BA,求实数a的取值范围.解:当B=时,只需2aa+3,有a3;当B时,根据题意作出如图所示的数轴,可得a+32a,a+34,解得a-4,或2a3.综上可得,实数a的取值范围为a|a2.变式训练5-1 把集合A换成“A=x|-1x2”,集合B不变,求AB时,实数a的取

14、值范围.解:因为A=x|-1x2,B=x|2axa+3.若AB,如图,所以2a-1,a+32,所以实数a的取值范围为a|-1a-12.变式训练5-2 本例中,若将B改为B=x|2ax2a,a+3-1,或a+32a,2a4.解得a-4或2a3.综上,可得实数a的取值范围为a|a-4或a2.即时训练5-1:已知A=x|x3,B=x|xa.(1)若BA,求实数a的取值范围;(2)若AB,求实数a的取值范围.解:(1)因为BA,B是A的子集,由图(1)得a3.(2)因为AB,A是B的子集,由图(2)得a3.由含参数的连续数集之间的子集、真子集关系求参数取值范围时常利用数轴法求解,若含参数的集合是确定集

15、合的子集或真子集时,应考虑该集合为空集的特殊情况,并且要注意验证参数的端点值是否满足题意.例1 (多选题)下列各组中的两个集合相等的有()(A)P=x|x=2n,nZ,Q=x|x=2(n+1),nZ(B)P=x|x=2n-1,nN+,Q=x|x=2n+1,nN+(C)P=x|x2-x=0,Q=x|x=1+(-1)n2,nZ(D)P=x|y=x+1,Q=(x,y)|y=x+1解析:A中集合P,Q都表示所有偶数组成的集合,有P=Q;B中P是由1,3,5,所有正奇数组成的集合,Q是由3,5,7,所有大于1的正奇数组成的集合,1Q,所以PQ.C中P=0,1,当n为奇数时,x=1+(-1)n2=0,当n

16、为偶数时,x=1+(-1)n2=1,所以Q=0,1,P=Q.D中集合P表示直线y=x+1上点的横坐标表示的集合,而集合Q则表示直线y=x+1上点的坐标构成的集合,所以PQ.故选AC.例2 已知A=x|x=2n,nN,B=x|x=4n,nN.分别列出这两个集合中最小的3个元素,并证明BA.解:A中最小的3个元素是0,2,4,B中最小的3个元素是0,4,8.证明:对任意xB,存在nN,使x=4n.因为4n=2(2n),而2nN,所以xA.所以BA,又2A且2B,故BA.例3 若A=x|x2-2mx+m2-m+2=0,B=x|x2-3x+2=0,且AB,求实数m的取值范围.解:由x2-3x+2=0可得(x-1)(x-2)=0,因此B=1,2.又因为由x2-2mx+m2-m+2=0可得(x-m)2=m-2,因此:(1)当m-20,即m2时,A=,满足题意;(2)当m-20,即m2时,A,由AB可知1A或2A:当1A时,由1-2m+m2-m+2=0可知m2-3m+3=0,该方程无实数解,不成立;当2A时,由4-4m+m2-m+2=0可知m2-5m+6=0,解得m=2或m=3,而且m=2时,A=2,满足题意,m=3时,A=2,4,不满足题意.综上可知,m的取值范围是m|m2. 1.已知全集U=R,则能表示集合M=-1