柯西积分公式PPT

1、关于柯西积分公式PPT1第一张，PPT共五十页，创作于2022年6月2一、问题的提出根据闭路变形原理知, 该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变, 求这个值.第二张，PPT共五十页，创作于2022年6月3第三张，PPT共五十页，创作于2022年6月4二、柯西积分公式定理证第四张，PPT共五十页，创作于2022年6月5第五张，PPT共五十页，创作于2022年6月6上不等式表明, 只要 R 足够小, 左端积分的模就可以任意小,根据闭路变形原理知, 左端积分的值与 R 无关, 所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能.证毕柯西积分公式柯西介绍第六张，PPT共五十页，创作于2022年6月7关于柯西积

2、分公式的说明:(1) 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示. (这是解析函数的又一特征)(2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积分表达式.(这是研究解析函数的有力工具)(3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.第七张，PPT共五十页，创作于2022年6月8三、典型例题例1解第八张，PPT共五十页，创作于2022年6月9由柯西积分公式第九张，PPT共五十页，创作于2022年6月10例2解由柯西积分公式第十张，PPT共五十页，创作于2022年6月11根据复合闭路定理,回到前面我们讲过的例子：基于化为部分分式现在：只将分母分解因式

3、第十一张，PPT共五十页，创作于2022年6月12根据复合闭路定理,回到前面我们讲过的例子：现在：第十二张，PPT共五十页，创作于2022年6月13例3解由柯西积分公式第十三张，PPT共五十页，创作于2022年6月14例解根据柯西积分公式知,第十四张，PPT共五十页，创作于2022年6月15例5解第十五张，PPT共五十页，创作于2022年6月16例5解第十六张，PPT共五十页，创作于2022年6月17由闭路复合定理, 得例5解第十七张，PPT共五十页，创作于2022年6月18例6解根据柯西积分公式知,第十八张，PPT共五十页，创作于2022年6月19比较两式得第十九张，PPT共五十页，创作于2

4、022年6月20课堂练习答案第二十张，PPT共五十页，创作于2022年6月21四、高阶导数问题:(1) 解析函数是否有高阶导数? (2) 若有高阶导数, 其定义和求法是否与实变函数相同?回答:(1) 解析函数有各高阶导数. (2) 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示, 这与实变函数完全不同.解析函数高阶导数的定义是什么?第二十一张，PPT共五十页，创作于2022年6月22定理证第二十二张，PPT共五十页，创作于2022年6月23根据导数的定义,从柯西积分公式得第二十三张，PPT共五十页，创作于2022年6月24第二十四张，PPT共五十页，创作于2022年6月25第二十五张，PPT

5、共五十页，创作于2022年6月26再利用以上方法求极限第二十六张，PPT共五十页，创作于2022年6月27至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数.依次类推, 利用数学归纳法可证证毕高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分.第二十七张，PPT共五十页，创作于2022年6月28高阶导数典型例题例7解第二十八张，PPT共五十页，创作于2022年6月29第二十九张，PPT共五十页，创作于2022年6月30根据复合闭路定理第三十张，PPT共五十页，创作于2022年6月31第三十一张，PPT共五十页，创作于2022年6月32例8解第三十二张，PPT共五十页，创作于202

6、2年6月33第三十三张，PPT共五十页，创作于2022年6月34例9解由柯西古萨基本定理得由柯西积分公式得第三十四张，PPT共五十页，创作于2022年6月35第三十五张，PPT共五十页，创作于2022年6月36课堂练习答案第三十六张，PPT共五十页，创作于2022年6月37例10解第三十七张，PPT共五十页，创作于2022年6月38根据复合闭路定理和高阶导数公式,第三十八张，PPT共五十页，创作于2022年6月39第三十九张，PPT共五十页，创作于2022年6月40例11(Morera定理)证依题意可知第四十张，PPT共五十页，创作于2022年6月41参照本章第四节定理二, 可证明因为解析函数

7、的导数仍为解析函数,第四十一张，PPT共五十页，创作于2022年6月42例12证不等式即证.第四十二张，PPT共五十页，创作于2022年6月43四、小结与思考 柯西积分公式是复积分计算中的重要公式, 它的证明基于柯西古萨基本定理, 它的重要性在于: 一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示, 所以它是研究解析函数的重要工具.柯西积分公式:第四十三张，PPT共五十页，创作于2022年6月44 高阶导数公式是复积分的重要公式. 它表明了解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重要的结论, 同时表明了解析函数与实变函数的本质区别.高阶导数公式第四十四张，PPT共五十页，创作于2022年

8、6月45思考题 1. 柯西积分公式是对有界区域而言的, 能否推广到无界区域中? 2. 解析函数的高阶导数公式说明解析函数的导数与实函数的导数有何不同?第四十五张，PPT共五十页，创作于2022年6月46思考题1答案可以.其中积分方向应是顺时针方向.放映结束，按Esc退出.第四十六张，PPT共五十页，创作于2022年6月47思考题2答案这一点与实变量函数有本质的区别.放映结束，按Esc退出.第四十七张，PPT共五十页，创作于2022年6月48Augustin-Louis CauchyBorn: 21 Aug 1789 in Paris, FranceDied: 23 May 1857 in Sceaux (near Paris), France柯西资料第四十八张，PPT共