新教材2021-2022学年人教A版必修第一册 5.1.1　任意角 学案

1、5.1任意角和弧度制5.1.1任意角核心知识目标核心素养目标1.结合实例,了解角的概念的推广及其实际意义.2.理解象限角的概念,并掌握终边相同角的含义及其表示.1.通过角的概念的推广过程,经历由具体到抽象,重点发展学生的数学抽象、直观想象的核心素养.2.通过象限角及终边相同角的应用,加强逻辑推理、数学运算的核心素养.1.角的概念与加减运算问题1-1 当钟表慢了(或快了)一点时,我们会将分针按某个方向转动,把时间调整准确,在调整的过程中,分针转动的方向是否相同?提示:不同,当钟表慢了,要顺时针转动分针,当钟表快了,要逆时针转动分针.问题1-2 在跳水比赛中,运动员会做出“转体两周”“向前翻转两周

2、半”等动作,做上述动作时,运动员转体多少度?转过的度数还能用0到360的角表示吗?提示:因为运动员转体方向有顺时针、逆时针的不同,因此运动员“转体两周”的度数可以是顺时针旋转720或逆时针旋转720,“向前翻转两周半”可以是顺时针旋转900或逆时针旋转900.显然这些角都不在0到360之间,不能用0到360的角表示.梳理1角的概念与加减运算(1)角的概念角的概念:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.角的分类:按旋转方向可将角分为如下三类:名称定义图形正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有做任何旋转形成的角相等角:把角的概念推广到了任意角(any an

3、gle),包括正角、负角和零角.设角由射线OA绕端点O旋转而成,角由射线OA绕端点O旋转而成.如果它们的旋转方向相同且旋转量相等,那么就称=.相反角:射线绕其端点按不同方向旋转相同的量所成的两个角互为相反角.(2)角的加减法运算设,是任意两个角.我们规定,把角的终边旋转角,这时终边所对应的角是+.引入正角、负角的概念以后,角的减法运算可以转化为角的加法运算,即-可以化为+(-).这就是说,各角和的旋转量等于各角旋转量的和.2.象限角与终边相同的角问题2-1 角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,如何借助象限来定义角?提示:角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角:分别为第一象限角

4、、第二象限角、第三象限角和第四象限角.如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限.问题2-2 终边落在射线y=x(x0)上的角有多少个?它们之间具有怎么样的关系?提示:无数个,它们相差360的整数倍.梳理2象限角与终边相同的角(1)象限角角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么,角的终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.(2)终边相同的角所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合S=|=+k360,kZ,即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和.1.角-120的终边所在象

5、限是(C)(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限解析:因为-120=-360+240,又因为角240终边在第三象限,所以角-120的终边在第三象限.故选C.2.与-60角的终边相同的角是(A)(A)300(B)240(C)120(D)60解析:因为-60=-360+300,所以与-60角的终边相同的角是300.故选A.3.射线OA绕端点O逆时针旋转120到达OB位置,由OB位置顺时针旋转270到达OC位置,则AOC等于.解析:各角和的旋转量等于各角旋转量的和.所以120+(-270)=-150.答案:-1504.12点过14小时的时候,时钟分针与时针的夹角是.解析:时钟上每个

6、大刻度为30,12点过14小时,分针转过-90,时针转过-7.5,故时针与分针的夹角为82.5.答案:82.5角的概念辨析例1 下列命题正确的是()(A)第一象限的角一定不是负角(B)小于90的角一定是锐角(C)钝角一定是第二象限的角(D)终边相同的角一定相等解析:-300是第一象限角,且是负角,故选项A错;-4590,但-45不是锐角,故选项B错;钝角的集合是|90180,是第二象限角,故选项C正确;-45 与315是终边相同的角,但不相等,故选项D错.故选C.即时训练1-1: 已知集合A=第一象限角,B=锐角,C=小于90的角,则下面的关系正确的是()(A)A=B=C(B)AC(C)AC=

7、B(D)(BC)C解析:第一象限角可表示为k360k360+90,kZ;锐角可表示为090;小于90的角可表示为90;由三者之间的关系可知,选D.判断角的概念问题的关键与技巧(1)关键:正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念;(2)技巧:判断命题为真需要证明,而判断命题为假只要举出反例即可.终边相同角的理解探究角度1求与已知角终边相同的角例2 已知角=45,在-7200范围内找出所有与角终边相同的角.解:所有与角有相同终边的角可表示为:=45+k360(kZ),则令-72045+k3600,得-765k360-45,解得-218k-18.从而k=-2或k=-1,代入得=-675或=

8、-315.即时训练2-1:在0360范围内找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限角.(1)-120;(2)660;(3)-9508.解:(1)因为-120=240-360,所以在0360范围内,与-120角终边相同的角是240角,它是第三象限角.(2)因为660=300+360,所以在0360范围内,与660角终边相同的角是300角,它是第四象限角.(3)因为-9508=12952-3360,所以在0360范围内,与-9508角终边相同的角是12952角,它是第二象限角.在给定的区间内寻找与某特定角度终边相同角的方法:(1)将所求的角化为k360+的形式(kZ),其中的就是所给的角;

9、(2)根据所给的区间及k360+(kZ),寻找k的取值范围.探究角度2终边在射线(或直线)上角的集合例3 分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合.解:在0360范围内,终边在直线y=0上的角有两个,即0和180,因此,所有与0角终边相同的角构成集合S1=|=k360,kZ,而所有与180角终边相同的角构成集合S2=|=180+k360,kZ,于是,终边在直线y=0上的角的集合为S=S1S2=|=k180,kZ.由图形易知,在0360范围内,终边在直线上的角有两个,即135和315,因此,终边在直线上的角的集合为S=|=135+k360,kZ|=315+k360,kZ=|=135+n180

10、,nZ.即时训练3-1:写出终边在直线y=33x上的角的集合.解:终边在射线y=33x(x0)上的角的集合是S1=|=30+k360,kZ;终边在射线y=33x(x0)上的角的集合是S2=|=210+k360,kZ.因此,终边落在直线y=33x上的角的集合是S=S1S2=|=30+k360,kZ|=210+k360,kZ=|=30+2k180,kZ|=30+(2k+1)180,kZ=|=30+n180,nZ.故终边落在直线y=33x上角的集合为S=|=30+n180,nZ.(1)终边共线的角的写法:分别写出每条终边所代表的角集合,然后取并集.在取并集时要化简合并.(2)一般地,与角(0180)

11、的终边在一条直线上角的集合是|=k180+,kZ.探究角度3区域角的表示例4 如图所示.(1)写出终边落在射线OA,OB上的角的集合;(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.解:(1)终边落在射线OA上的角的集合是|=k360+210,kZ.终边落在射线OB上的角的集合是|=k360+300,kZ.(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是|k360+210k360+300,kZ.变式训练4-1 将本例图改为如图所示,试写出终边落在图中阴影部分的角的集合.解:设终边落在阴影部分的角为,角的集合由两部分组成：|45+k360135+k360,kZ.|k360+225k360+315,

12、kZ.所以角的集合应当是集合与的并集:|45+k360135+k360,kZ|k360+225k360+315,kZ=|2k180+452k180+135,kZ|(2k+1)180+45(2k+1)180+135,kZ=|n180+45n180+135,nZ.教师备用若本例改为如图所示,试写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合.解:终边落在射线OA上的角的集合为|=45+k360,kZ,终边落在射线OB上的角的集合为|=90+45+k360,kZ=|=135+k360,kZ,故阴影部分角的集合可表示为|45+k360135+k360,kZ.区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角.写出

13、区域角的步骤如下(1)确定边界线对应的角:确定起始和终止边界线分别对应的一个角,-360360,-360360;(2)写出终边相同的角:边界线为射线时,终边相同的角为+k360,+k360,kZ;边界线为直线时,终边相同的角为+k180,+k180,kZ;(3)写出角的集合:按逆时针旋转规则,从小到大写出角的集合.在书写集合时,边界线是实线写成闭区间,边界线是虚线写成开区间;当右端点对应的0360内的角小于左端点对应的0360内的角时,左端点用相应的负角.探究角度4判定n或n所在象限例5 若是第二象限角,试分别确定2,2,3的终边所在位置.解:因为是第二象限角,所以90+k360180+k36

14、0(kZ).所以180+2k3602360+2k360(kZ),所以2的终边位于第三或第四象限,或在y轴的非正半轴上.法一因为45+k180290+k180(kZ),当k=2n(nZ)时,45+n360290+n360(nZ);当k=2n+1(nZ)时,225+n3602270+n360(nZ),所以2的终边位于第一或第三象限.因为30+k120360+k120(kZ),当k=3n(nZ)时,30+n360360+n360(nZ);当k=3n+1(nZ)时,150+n3603180+n360(kZ);当k=3n+2(nZ)时,270+n3603300+n360(nZ),所以3的终边位于第一、第

15、二或第四象限.法二将坐标系的每个象限二等分,得到8个区域.自x轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上,如图所示:因为是第二象限角,与角所在象限标号一致的区域,即为2的终边所在的象限,所以2的终边位于第一或第三象限.将坐标系的每个象限三等分,得到12个区域.自x轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上,如图所示:因为是第二象限角,与角所在象限标号一致的区域,即为3的终边所在的象限,所以3的终边位于第一、第二或第四象限.即时训练5-1:若是第一象限角,3是第几象限角?解:因为k360k360+90,kZ,所以k1203k120+30(kZ).法一(分类讨论)当k=3n(nZ)时,n3603n360+30

16、(nZ),所以3是第一象限角;当k=3n+1(nZ)时,n360+1203n360+150(nZ),所以3是第二象限角;当k=3n+2(nZ)时,n360+2403n360+270(nZ),所以3是第三象限角.综上可知,3是第一、第二或第三象限角.法二(几何法)如图,先将各象限分成3等份,再从x轴的非负半轴的上方起,依次将各区域标上1,2,3,4,则标有1的区域即为3终边所落区域,故3为第一、第二或第三象限角.(1)象限角的判定方法根据图象判定.利用图象实际操作时,依据是终边相同的角的概念.将角转化到0360范围内,在直角坐标平面内,0360范围内没有两个角终边是相同的.(2),2,2等角的终

17、边位置的确定方法不等式分类讨论法:a.利用象限角的概念或已知条件,写出角的范围.b.利用不等式的性质,求出2,2等角的范围.c.利用“旋转”的观点,确定角终边的位置.例如,如果得到k1203k120+30,kZ,可画出0330所表示的区域,再将此区域依次逆时针或顺时针转动120(如图所示).(注意由的范围确定2的范围时不要忽视终边在坐标轴上的情况.)等分象限法:对于n的范围问题,可采用等分象限法,即把每个象限平均分成n份,从第一象限x轴正半轴的上方起按逆时针循环标注象限序号(如图以3为例),则标注序号与所在象限序号相同的区域即为n所在的区域.例1 下列说法中,正确的是(填序号).终边落在第一象

18、限的角为锐角;锐角是第一象限角;第二象限角为钝角;始边和终边重合的角是零角;角与-的终边关于x轴对称.解析:终边落在第一象限的角不一定是锐角,如400的角是第一象限角,但不是锐角,故的说法是错误的;同理第二象限角也不一定是钝角,故的说法也是错误的;360角的始边和终边也重合,故的说法是错误的.答案:例2 (1)已知角的终边与角的终边关于x轴对称,则+=;(2)若角的终边与角的终边关于y轴对称,则+=.解析:(1)设角与角的终边相同,则-与关于x轴对称,根据终边相同角的表示,可得=+k1360,k1Z,=-+k2360,k2Z,故+=(-+k2360)+(+k1360)=(k1+k2)360=k

19、360,kZ.(2)设角与角的终边相同,则180-与关于y轴对称,根据终边相同角的表示,可得=+k3360,k3Z,=180-+k4360,k4Z.故+=(180-+k4360)+(+k3360)=2(k3+k4)+1180=(2k+1)180,kZ.答案:(1)k360,kZ(2)(2k+1)180,kZ例3 写出与75角终边相同的角的集合,并求在3601 080范围内与75角终边相同的角.解:与75角终边相同的角的集合为S=|=k360+75,kZ.当3601 080时,即360k360+751 080,解得1924k21924.又kZ,所以k=1或k=2.当k=1时,=435;当k=2时

20、,=795.综上所述,与75角终边相同且在3601 080范围内的角为435角和795角.例4 写出终边在直线y=-3x上的角的集合.解:终边在y=-3x(x0)上的角的集合是S1=|=120+k1360,k1Z;终边在y=-3x(x0)上的角的集合是S2=|=300+k2360,k2Z.因此,终边在直线y=-3x上的角的集合是S=S1S2=|=120+k1360,k1Z|=300+k2360,k2Z=|=120+2k1180,k1Z|=120+(2k2+1)180,k2Z=|=120+n180,nZ.故终边在直线y=-3x上的角的集合是S=|=120+n180,nZ.例5 已知,如图所示.(1)分别