插值方法-样条函数课件

1、一、样条的产生和背景 第一章 插值方法 8 样条函数 二、样条函数的定义 三、三对角方程（三转角方程） 四、举例五、三弯矩方程 预备知识已知：4个条件xixkxk+1yi = f(xi)ykyk+1求:一个次数不超过3的多项式H3(x)Hermite三次插值：结论：其中实际中有许多计算问题对插值函数的光滑性有较高的要求，例如飞机机翼外形、发动机进、排气口都要求有连续的二阶导数。一、 样条的产生和背景1.问题的产生显然我们前面介绍的方法已不能解决这个问题。在制造船体和汽车外形等工艺中传统的设计方法是： 首先由设计人员按外形要求，给出外形曲线的一组离散点值(xi , yi) (i=0,1,2, ,

2、n)，施工人员准备好有弹性的样条（一般用竹条或有弹性的钢条）和压铁，将压铁放在点(xi ,yi) 的位置上，调整竹条的形状，使其自然光滑，这时竹条表示一条插值曲线，我们称为样条函数。从数学上看，这一条近似于分段的三次多项式，在节点处具有一阶和二阶连续微商。 2.样条的概念(Spline)样条是工程设计中使用的一种绘图工具，它是富有弹性的细竹（木）条或细金属条。绘图员利用它把一些已知的点连接成一条光滑曲线称为样条曲线，样条曲线在连接点处有连续的曲率（即连续的二阶导数），它实际上是分段三次曲线拼接而成，在连接点上要求二阶导数连续。 一类分段（片）光滑、并且在各段交接处也有一定光滑性的函数。简称样条

3、。样条函数的概念(Spline function) 从数学上讲，就是按一定光滑性要求“装配”起来的分段多项式。具体地说，称具有分划 ：a =x0 x1xn= b 的分段k次式Sk(x)为k次样条函数，如果它在每个内节点xi(1i n-1)上具有直到k-1阶连续导数，点xi(1i n-1)则称作样条函数Sk(x)的节点。样条函数的概念 (续) 分段低次多项式、在分段处具有一定光滑性的函数插值就是模拟以上原理发展起来的，它克服了高次多项式插值可能出现的振荡现象，具有较好的数值稳定性和收敛性，由这种插值过程产生的函数就是多项式样条函数。 样条函数的研究始于20世纪中叶，到了60年代它与计算机辅助设计

4、相结合，在外形设计方面得到成功的应用。样条理论已成为函数逼近的有力工具。它的应用范围也在不断扩大，不仅在数据处理、数值微分、数值积分、微分方程和积分方程数值解等数学领域有广泛的应用，而且与最优控制、变分问题、统计学、计算几何与泛函分析等学科均有密切的联系。样条函数的发展及应用计算机绘制的样条函数二、 三次样条函数的定义若函数S(x)C2a,b,且在每个小区间xj,xj+1上是三次多项式，其中a =x0 x1 xn=b是给定节点，则称S(x)是节点x0，x1， ，xn上的三次样条函数。1.三次样条的定义a.S(x)C2a,bb.S(x)在xj,xj+1上是三次多项式即：三次样条函数2.三次样条插

5、值函数的定义+ S(xi) = yi3.求解三次样条插值函数的已知条件数和未知条件数未知参数个数4n已知条件个数S(x)C2a,b ：3(n-1)插值条件： n+1共 计： 4n-2缺少2个条件，通常在插值区间的端点给出，称为边界条件。4.常用的三种边界条件1已知两端的一阶导数值，即：2已知两端的二阶导数值，即：3当f(x)是以xn-x0为周期的周期函数时，则要求S(x)也是周期函数，即周期样条三、 求解方法之一：三对角方程设在a,b上给出插值条件：1.条件xjx0 x1x2xnf(xj)f0f1f2fn求三次样条插值函数 S(x)设法求出2.求解S(x)的思路由埃尔米特插值，若设法求出内部节

6、点上的一阶导数 mj(j = 1,n-1)。则3.求解 mj 的思路由内部节点上的二阶导数连续求出考虑S(x)在xj , xj+1上的表达式hj=xj+1-xj对S(x)求二阶导数得：于是同理可得S(x)在区间xj-1 , xj上的二阶导数：于是由条件可得进一步简化为写成矩阵形式为-1三对角方程特点每个方程都联系三个mj ,mj 在力学上解释为细梁在xj截面处的转角，因此又称为三转角方程。方程系数矩阵对角元素均为2，非对角元素 ，故此矩阵具有强对角优势。追赶法求解（第六章6.2）四、举例已知插值条件为：x123yy21412-1求三次样条插值函数。解：于是由得则由区间上的Hermite插值公式

7、，可得P36 例7图形五、求解方法之二：三弯矩方程三次样条函数S(x)可以有多种表达方法，有时用二阶导数值 （j=0,1, ,n）表示更为方便。Mj在力学上解释为细梁在xj截面处的弯矩，并且得到的弯矩与相邻两个弯矩有关，故称为三弯矩方程。求解方法之二：三弯矩方程设在a,b上给出插值条件：1.条件xjx0 x1x2xnf(xj)f0f1f2fn求三次样条插值函数 S(x)2.求解S(x)的思路及求解1)首先确定S(x)与二阶导数值的关系2）求出中间节点上的二阶导数值1)首先确定S(x)与二阶导数值的关系由于S(x)在区间xj ,xj+1上是三次多项式，故S(x)在xj ,xj+1上是线性函数，可表示为对S(x)积分两次并利用S(xj)=yj 及S(xj+1)=yj+1 ,可定出积分常数，于是得 下面我们的任务是求出内部节点上的二阶导