八年级数学第三章图形的平移与旋转第3~4节北师大版知识精讲

1、八年级数学第三章：图形的平移与旋转第 34 节北师大版本讲教育信息 】. 教学内容：第三章：图形的平移与旋转第三节：生活中的旋转第四节：简单的旋转作图二 . 教学要求掌握旋转的有关概念及旋转的基本性质，并会运用它们解决简单的旋转问题，通过观察、分析、欣赏，认识旋转，发现审美能力，培养学生的推理能力。能够按要求做出简单平面图形旋转后的图形， 巩固旋转的条件和性质， 掌握画图技能。三 . 重点及难点重点：旋转的基本性质及其应用。简单图形的旋转作图。难点：运用性质解决实际问题，关键是抓住旋转的特征，运用旋转变换进行转化。旋转中心和旋转角的确定及画法，关键是掌握旋转作图的步骤，会作出几个关键点的对应点

2、。四 . 课堂教学知识要点回忆：钟表的时针、分针、秒针绕钟表的轴的转动。汽车方向盘的转动。思考讨论：上述情境中的转动现象有什么共同特征？钟表的指针、方向盘在转动的过程中，其形状、大小、位置是否发生改变？知识点 1 旋转的概念旋转： 在平面内， 将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度， 这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。说明：旋转的范围是在平面内旋转，否则有可能旋转为立体图形，因此“在平面内”这一条件不可忽略。如图所示： ABC绕点。顺时针转动90 ,得到 A B C ,这就是旋转，点 O就是旋 转中心。/ AOA , / BOB , / COC都是旋转角，都

3、是 90 。知识点2旋转中心旋转中心：在旋转过程中始终保持固定不动的那个定点，称为旋转中心。旋转中心可以是平面内的任意一点。注意：旋转中心是点，而不是直线，如生活中的开门、关门，虽然门转动了，但它是绕 轴旋转一定的角度，所以它不属于我们要研究的绕定点旋转。知识点3旋转角旋转角：在平面内，图形绕一个定点沿某个方向转动的角称为旋转角。因为经过旋转，图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，所以任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角。说明：旋转角为180。的旋转变换是中心对称变换，这将在第四章中具体研究，一般情况下，旋转角小于 360。知识点4旋转的基本性质由旋转的定义可知，

4、旋转不改变图形的大小和形状，这说明旋转前后的两个图形是全等的，由此可得如下性质：.经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，对应点的排 列次序相同。.任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角。.对应点到旋转中心的距离相等。.对应线段相等，对应角相等。知识点5旋转的条件图形旋转除了要有原图形外，还要有旋转中心，旋转方向和旋转角度， 这几项缺一不可。说明：旋转方向通常是指顺时针旋转或逆时针旋转。知识点6平移与旋转的关系(1)联系：平移和旋转都是在平面内，图形变换前后的图形是全等的，对应线段相等，对应角相等，对应点的排列次序相同。(2)区别：平移是将一个图形沿某个方向移

5、动一定的距离，它满足的条件是有原图形，平移的方向，平移的距离。而旋转是在平面内将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，它满足的条件是有原图形，旋转中心，旋转方向，旋转角度。知识点7判断平移与旋转的方法（1）在变换前后，如果对应线段平行（或在同一个直线上）且相等，对应角的方向相同，两边也平行，这就是平移，如图（1）所示，AB, DE在同一条直线上，EF与BC平行且相等，AC与DF平行且相等，且/ DEF与/ ABC的方向相同，这就是平移。（2）在平移变换中，图形上所有的点的位置都发生变化，因此只要在图形中找到一个不变的点（旋转中心），即可判断它是旋转变换如图（2）所示，表面上看对应线段平行（

6、或在同一直线上）且相等，属于平移变换，但对应角的方向发生了改变，而且点A在变换过程中的位置保持不变，这说明点 A是旋转中心，故属于旋转变换。知识点8旋转作图所需要的条件要确定一个图形旋转后的位置， 除需要原图形的位置外， 还需要知道旋转方向， 旋转中 心和旋转角，三者缺一不可，如图，线段 AB绕点O沿顺时针方向旋转 90。，旋转方向是顺 时针方向，旋转中心为点 0,旋转角为/ A OA / B OB，且/ A OAN B OB说明：有时已知条件中并不直接给出旋转角，而是给出一对对应角的位置， 其实这对对应点与旋转中心的连线所成的角就是旋转角。知识点9简单的旋转作图的步骤.确定旋转角的大小和方向

7、根据图形和已知条件，若没有直接给出旋转角，则应找出旋转前后图形的一对对应点， 并将它们与旋转中心相连，以此代表旋转角的大小和方向。.确定每对对应点（1）准确找出旋转前图形的各个顶点（通常指图中所有线段的两个端点），并把它们与旋转中心依次连接。（2）以旋转中心为角的顶点。以（1）中的连线作为旋转角的一边，运用尺规作图，作 出图中所有的旋转角，且旋转角的方向一致。（3）确定旋转后图形的对应点，根据旋转的基本性质，旋转前后图形的对应点到旋转 中心的距离相等。在上述旋转角的另一边上分别截取对应线段相等，这样就确定了旋转后图形的对应点。3.确定旋转后的图形按原图形的形状连接上述对应点，即可得到旋转后的图

8、形。例如，如图所示，将 ABC绕点。顺时针旋转60 ,作出旋转后的图形。解：旋转中心为点O,旋转方向是顺时针方向，旋转角度为60。(1)连接 AQ BQ CO(2)以。为顶点，分别以 OA OB OC为一边做/ A OAN B OB之C OC=60(3)分别在射线 OA , OB , OC 上截取 OA = OA OB =OR OC =OC(4)连接 A B , B C , C A则B C就是 ABC绕点O旋转后的图形知识点10简单的旋转作图的技巧当确定旋转后的图形的两个对应点后，可根据旋转变换前后的图形的对应线段相等，运用尺规作图和全等三角形的判断(如SAG ASA SSS,依次作出其余的各

9、个对应点，这样就不用作出图中的所有旋转角了。例如：如图所示， ABC绕点O旋转后，顶点A的对应点为点 D,试作出旋转后的图形。分析：点A与点D是对应点，故连接 OA OD则/AO例是旋转角，点 O是旋转中心， 作出点B旋转后的对应点 E,连结DE, DE是AB的对应边，再用尺规，利用边边边公理，作 出 DE障 ABC解：(1)连接 OA OB, OD(2)以O为顶点，OB为一边作/ BOEN AOD(3)在OE上截取 OE=OB连结 DE(4)分别以D, E为圆心，AC, BC长为半径作两弧，交于点 F(5)连接DF, EF,则 DEF就是 ABC旋转后的图形说明：旋转方向与旋转角有一定的关系

10、，有时应根据旋转角两边的位置确定是顺时针方向还是逆时针方向旋转，请学生注意归纳。【典型例题】例1.已知 ABC与ADEi:等，/ EAC=30 ,那么 BAC怎样变化后才得到 DAR分析：以A为旋转中心，由于/ EAC=30 ,所以顺时针旋转30后，AC边与AE边重合。D解：由于 ABe4ADE且/ EAC=30所以/ BAD=30 ,故ABAC绕着A点沿顺时针方向旋转 30度后，可以得到 DAE注意：解题时，应先考虑用平移还是旋转， 若用平移，先确定平移的方向和平移的距离， 若用旋转，先确定旋转中心，再确定旋转方向和旋转角。解题时，平移的方向和旋转的方向不要弄混了，平移可以是任何方向， 而旋

11、转只有顺时针和逆时针两种方向。例2.所示，把RtABD绕点A逆时针旋转90至 ACF的位置，BD的延长线交于 CF于 点E,连结BC,若/ FBE=Z CBE试确定 CE与BD的关系。分析：由旋转的性质可知 RtAABD RtACR所以BD=CF /ABD =/FCD可得出/ BEC=Z BAC=90 ,所以 BEX CF,由 / FBE=Z CBE 可彳# FB CBE 故 CE=1/2BD=解：CE与BD之间的位置为数量关系为CE=1/2BD,因为RtABD绕点A逆时针旋转 90得到RtAACF7, 所以 RtAABD RtAACf 所以 BD=CF / ABD=Z FCD 又因为/ AB

12、D-+Z ADB=90 , / EDCh ADB.所以/ FCD+Z EDC=90 ,所以/ DEC=90 ,所以 BDL CE, 在 FBEA CBE中，FBE CBE,BE BE, BEF BEC 90所以 FBE ACBE 所以 EF=CE=1/2CF所以 CE=1/2CF=1/2BDl上，沿顺时针方向转动两次，使它A运动到A的位置时，点 A经过的S ABC S扇形 ACA例3.如图所示，把 Rt ABC的斜边AB放在定直线 转动到 A B C的位置，设 BC=1, AC=/3 ,则顶点 路线与直线l所围成的图形的面积是多少？分析：所求面积由三部分组成，即 S S扇形ABA, 这就需要求

13、出扇形的面积，因此考虑求半径及旋转角。解：在 RtABC中，BC=1, AC=73,所以 AB =BC2 + AC2 = 2所以 BC=1AB 所以/ CAB=30 , 2所以/ ABC=60 ,所以/ A BA =60故第一次旋转的旋转角/ ABA =180 -Z A BC =120因为 ABe Az BC 9 A B C13所以 S AiBCii S ABC -AC BC A BC22AC A ACB 90 , A C AC AC .3故第二次旋转的旋转角AC A 90所以 S S扇形 ABA S ABC S扇形 ACA120 AB2.390(A1C11)2 TOC o 1-5 h z 3

14、602360t _3 3324253122例4.在AACD中，/ ACD=120 ,把 ACD绕点C逆时针旋转 60得到 BCE AD交EC 于N, BE交AC于M 连接AB, DE, MN(1)试判断 ABC和ACD前形状(2)确定MNf BD的位置关系分析：(1) AABC CDEfB是等边三角形，因为 AC喊顶点C逆时针旋转60得到 BCE且/ ACD=120 ,/ACBh ACE=Z DCE=60 , AC=BC CE=CD所以 ABC和CDE都是等边三角形，且 B, C, D三点在同一直线上。MN/ BD因为ACN ABCE 所以/ DAC=Z EBG AC=BC又因为/ ACN=Z

15、 BCM=60所以 ACN BCM所以CN=CM又因为/ MCN=60所以 MCN等边三角形所以/ NCDh CNM=60 所以，MM BD【模拟试题】(答题时间：30分钟)一.选择题.平面图形的旋转一般情况下改变图形的(A.位置B.大小C.形状D.性质. 9点钟时，钟表的时针和分针之间的夹角是（）A. 30 B. 45 C.60 D. 90 3.将平行四边形 ABC喷转到平行四边形 A B，C D的位置，下列结论错误的是（）A. AB=A BB. AB/ A BC. ZA=Z AD. MB室 A B C.填空题.钟表上的指针随时间的变化而移动，这可以看作是数学上的 。.菱形 ABCD绕点 O

16、沿逆时针方向旋车t到四边形A BC D，则四边形 A BCD是O. 4ABC一点旋转到 A B C ,则 ABC AA B C的关系是.钟表的时针经过20分钟，旋转了 度。.图形的旋转只改变图形的 ,而不改变图形的。三.解答题.下图中的两个正方形的边长相等，请你指出可以通过绕点O旋转而相互得到的图形并说明旋转的角度。.在图中，将大写字母 H绕它右上侧的顶点按逆时针方向旋转90。，请作出旋转后的图案。.如图，菱形A B C D是菱形ABCDg点O顺时针旋转90后得到的，你能作出旋转 前的图形吗？. Rt AAB（C绕它的锐角顶点 A分别逆时针旋转90、180和顺时针旋转90 ,(1)试作出 鼻

17、ABC旋转后的三角形；(2)将所得的所有三角形看成一个图形，你将得到怎样的图形？13.如图，将下面的扇形绕点 O按顺时针方向旋转，分别作出旋转下列角度后的图形:14.(1) 90 ; (2) 180 ; (3) 270 。你能发现将扇形旋转多少度后能与原图形重合吗?15.16.钟表的分针匀速旋转一周需要60分钟，那么:(1)它的旋转中心是什么？(2)分针旋转一周，时针旋转多少度?(3)下午3点半时，时针和分针的夹角是多少度?17.卜图可以看做是一个弓形通过几次旋转得到的？每次旋转了多少度?18.请观察下图，图中是否存在这样的两个三角形，其中一个是另一个旋转得到的?如图，分析图中的旋转现象，并仿照此图案设计一个图案。19.同学们曾玩过万花筒， 它是由三块等宽等长的玻璃围成的，如下图是看到的万花筒的一个图案，图中所有的小三角形均是全等的等边三角形，其中的菱形AEFGT以看成是把菱形ABCDA