2019-2020年高三数学总复习分类汇编-第三期-H单元-解析几何

1、2019-2020年高三数学总复习分类汇编 第三期 H单元 解析几何目录 TOC o 1-3 h z u H单元解析几何 PAGEREF _Toc396207889 h 1H1直线的倾斜角与斜率、直线的方程 PAGEREF _Toc396207890 h 1H2两直线的位置关系与点到直线的距离 PAGEREF _Toc396207891 h 1H3圆的方程 PAGEREF _Toc396207892 h 1H4直线与圆、圆与圆的位置关系 PAGEREF _Toc396207893 h 1H5椭圆及其几何性质 PAGEREF _Toc396207894 h 1H6双曲线及其几何性质 PAGERE

2、F _Toc396207895 h 1H7抛物线及其几何性质 PAGEREF _Toc396207896 h 1H8直线与圆锥曲线（AB课时作业） PAGEREF _Toc396207897 h 1H9曲线与方程 PAGEREF _Toc396207898 h 1H10 单元综合 PAGEREF _Toc396207899 h 1H1直线的倾斜角与斜率、直线的方程H2两直线的位置关系与点到直线的距离H3圆的方程【数学文卷2015届浙江省温州十校（温州中学等）高三上学期期中联考（201411）】14.设直线过点其斜率为1，且与圆相切，则的值为_ 【知识点】圆的切线方程H3 【答案解析】 解析：由

3、题意可得直线的方程y=x+a,根据直线与圆相切的性质可得，,故答案为：。【思路点拨】由题意可得直线的方程y=x+a，然后根据直线与圆相切的性质，利用点到直线的距离公式即可 求解a。H4直线与圆、圆与圆的位置关系【数学理卷2015届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期中考试（201411） 】15若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是 【知识点】直线与圆、圆与圆的位置关系H4【答案解析】-3，1 由题意可得，圆心到直线的距离小于或等于半径，化简得|a+1|2，故有-2a+12，求得-3a1，故答案为：-3，1【思路点拨】由题意可得，圆心到直线的距离小于或等于半径，即 ，解绝对值不等式求得实数a取值范围

4、【数学理卷2015届辽宁师大附中高三上学期期中考试（201411）】14. 若圆上恰有三个不同的点到直线的距离为2,则_。【知识点】直线与圆、圆与圆的位置关系H4【答案解析】2+或2-把圆的方程化为标准方程得：（x-2）2+（y-2）2=18，得到圆心坐标为（2，2），半径r=3，根据题意画出图象，如图所示：根据图象可知：圆心到直线l的距离d= =3-2，化简得：k2-4k+1=0，解得：k=2，则k=2+或2-故答案为：2+或2-【思路点拨】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和圆的半径，根据图象得到圆心到直线l的距离等于，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，让d=列出关于k

5、的方程，求出方程的解即可得到k的值【数学文卷2015届吉林省东北师大附中高三上学期第一次摸底考试（201410）word版】（7）如图，已知直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转（转动角度不超过90）时，它扫过的圆内阴影部分的面积y是时间x的函数，这个函数的图象大致是 (A) (B) (C) (D)【知识点】直线与圆相交的性质H4 【答案解析】B 解析：观察可知面积S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知D符合要求，故选B【思路点拨】由图象可以看出，阴影部分的面积一开始增加得较慢，面积变化情况是先慢后快然后再变慢，由此规律找出正确

6、选项。H5椭圆及其几何性质【数学（理）卷2015届重庆市重庆一中高三上学期第二次月考（201410）】21（本题满分12分）已知圆经过椭圆的右焦点F，且F到右准线的距离为2(1)求椭圆的方程；(2)如图，过原点O的射线l与椭圆在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点， 求的最大值【知识点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程H5 H8【答案解析】(1) eq f(x2,8)eq f(y2,4)1； (2) 2eq r(3) 解析：(1)在C：(x1)2(y1)22中，令y0得F(2，0)，即c2， 又得椭圆：eq f(x2,8)eq f(y2,4)1. 4分(2)法一：依题意射线

7、l的斜率存在，设l：ykx(x0，k0)，设P(x1，kx1)，Q(x2，kx2) 由eq blc(avs4alco1(ykx,f(x2,8)f(y2,4)1)得：(12k2)x28，x2eq f(2r(2),r(12k2).(6分)由eq blc(avs4alco1(ykx,（x1）2（y1）22)得：(1k2)x2(22k)x0，x1eq f(22k,1k2)，eq o(OM,sup6()eq o(OQ,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(x1,2)，f(kx1,2)(x2，kx2)eq f(1,2)(x1x2k2x1x2)2eq r(2)eq f(1k,r(12k2

8、)(k0). (9分)2eq r(2)eq r(f(（1k）2,12k2)2eq r(2)eq r(f(k22k1,12k2).设(k)eq f(k22k1,12k2)，(k)eq f(4k22k2,（12k2）2)，令(k)eq f(4k22k2,（12k2）2)0，得1k0，(k)在eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)上单调递增，在eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，)上单调递减当keq f(1,2)时，(k)maxeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq f(3,2)，即eq o(OM,sup6()eq o(OQ,sup6()的

9、最大值为2eq r(3).12分【思路点拨】（1）在圆（x1）2+（y1）2=2中，令y=0，得F（2，0），得a2=8，由此能求出椭圆方程（2）依题意射线l的斜率存在，设l：y=kx（x0，k0），设P（x1，kx1），Q（x2，kx2），直线代入椭圆、圆的方程，结合向量的数量积公式，利用导数，即可求的最大值【数学理卷2015届辽宁师大附中高三上学期期中考试（201411）】15过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为 【知识点】椭圆及其几何性质H5【答案解析】 设A（x1，y1），B（x2，y2），则, ，过点M（1，1）作斜率为的直线与椭圆C：（ab0）相交于A

10、，B两点，M是线段AB的中点，两式相减可得 a= c=e=故答案为【思路点拨】利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为-，即可求出椭圆C的离心率【数学理卷2015届湖南省师大附中高三上学期第二次月考（201410）word版】20、（本小题满分13分）已知椭圆（）的左、右焦点分别为，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且的最小值不小于。 （1）证明：椭圆上的点到的最短距离为； （2）求椭圆离心率的取值范围；（3）设椭圆短半轴长为1，圆与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k的直线与椭圆相交于A、B两点，若，求直线被圆截得的弦长的最大值。OPBQxyF【知识点】直线与圆锥

11、曲线的综合问题；椭圆的简单性质；椭圆的应用H5 H8 【答案解析】（1）见解析；（2）e（3） 解析：（1）设椭圆上任一点Q的坐标为（x0，y0），Q点到右准线的距离为d=x0，则由椭圆的第二定义知：=，|QF2|=a，又ax0a，当x0=a时，|QF2|min=ac（2）依题意设切线长|PT|=当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，（ac），0，从而解得e，故离心率e的取值范围是解得e，（3）依题意Q点的坐标为（1，0），则直线的方程为y=k（x1），与抛物线方程联立方程组消去y得（a2k2+1）x22a2k2x+a2k2a2=0得，设A（x1，y1）（x2，y2），则有x1+x

12、2=，x1x2=，代入直线方程得y1y2=，x1x2=+y1y2=，又OAOB，=0，k=a，直线的方程为axya=0，圆心F2（c，0）到直线l的距离d=，e，c1，2c+13，s（0，），所以弦长s的最大值为【思路点拨】（1）设椭圆上任一点Q的坐标为（x0，y0），根据Q点到右准线的距离和椭圆的第二定义，求得x0的范围，进而求得椭圆上的点到点F2的最短距离（2）可先表示出|PT|，进而可知当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，列出不等式即可求得e的范围（3）设直线的方程为y=k（x1），与抛物线方程联立方程组消去y得，根据韦达定理可求得x1+x2和x1x2，代入直线方程求得y1

13、y2，根据OAOB，可知=0，k=a，直线的方程为axya=0根据圆心F2（c，0）到直线l的距离，进而求得答案【数学理卷2015届湖北省襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学高三四校联考（201410）word版(1)】21.（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，椭圆的中心为坐标原点，左焦点为， 为椭圆的上顶点，且.（）求椭圆的标准方程；（）已知直线：与椭圆交于，两点，直线：（）与椭圆交于，两点，且，如图所示.(1)证明：；(2)求四边形ABCD的面积S的最大值.【知识点】椭圆及其几何性质H5【答案解析】（）（）2设椭圆G的标准方程为 (ab0)因为F1（-1，0），PF1O=45，所以b

14、=c=1所以，a2=b2+c2=2 所以，椭圆G的标准方程为（）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）（）证明：由消去y得：(1+2k2)x2+4km1x+2-2=0则=8(2k2-+1)0，所以 |AB|=2.同理 |CD|=2因为|AB|=|CD|，所以 2=2因为 m1m2，所以m1+m2=0 （）解：由题意得四边形ABCD是平行四边形，设两平行线AB，CD间的距离为d，则 d=因为 m1+m2=0，所以 d=,所以 S=|AB|d= 2=44.（或S=4=42）所以 当2k2+1=2时，四边形ABCD的面积S取得最大值为2【思路点拨】（）根据F1（-1

15、，0），PF1O=45，可得b=c=1，从而a2=b2+c2=2，故可得椭圆G的标准方程；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）（）直线l1：y=kx+m1与椭圆G联立，利用韦达定理，可求AB，CD的长，利用|AB|=|CD|，可得结论；（）求出两平行线AB，CD间的距离为d，则 ，表示出四边形ABCD的面积S，利用基本不等式，即可求得四边形ABCD的面积S取得最大【数学理卷2015届浙江省重点中学协作体高三第一次适应性测试（201411）word版】21（本小题满分15分）yxOPAB（第21题图）作斜率为的直线与椭圆：交于两点（如图所示），且在直线的左

16、上方。（1）证明：的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若，求的面积。【知识点】椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系H5,H8【答案解析】（1）略。（2）解：（1）设直线：，将代入中，化简整理得 （1分）于是有， （1分）则， （1分）上式中，分子， （2分）从而，又在直线的左上方，因此，的角平分线是平行于轴的直线，所以的内切圆的圆心在直线上 （2分） （2）若时，结合（1）的结论可知 （2分）直线的方程为：，代入中，消去得 （1分）它的两根分别是和，所以，即 （1分）所以同理可求得 （2分）所以 （2分）【思路点拨】椭圆的标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系，此类问题通常把要解决的问题转化为直

17、线与圆锥曲线的交点坐标关系，再通过联立方程用根与系数的关系转化求解.。【数学理卷2015届浙江省重点中学协作体高三第一次适应性测试（201411）word版】14直线椭圆相交于，两点，该椭圆上点，使得面积等于，这样的点共有个。【知识点】椭圆，直线与椭圆的位置关系 H5,H8【答案解析】2 解析：设 即点在第一象限的椭圆上，考虑四边形的面积S， 为定值， 的最大面积为 。 点P不可能在直线AB的上方，显然在直线AB的下方有两个点P。【思路点拨】设出的坐标，表示出四边形的面积S，利用两角和公式整理后，利用三角函数的性质求得面积的最大值，进而求得 的最大值，利用 判断出点P不可能在直线AB的上方，进

18、而推断出在直线AB的下方有两个点P。 【数学理卷2015届浙江省重点中学协作体高三第一次适应性测试（201411）word版】8设点是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，为的内心，若，则该椭圆的离心率是（ ）。 B C D【知识点】椭圆方程，离心率 H5【答案解析】C解析：设的内切圆半径为r，则由得 ，即，所以 即 。【思路点拨】设出内切圆半径，根据面积条件列出相应等式，找到椭圆中量的关系即可求出离心率。【数学理卷2015届吉林省实验中学高三上学期第三次质量检测（201411）】12如图,等腰梯形中, 且,.以为焦点,且过点的双曲线的离心率为,以为焦点,且过点的椭圆的离心率为,则的取值范围为

19、A. B.C. D. 【知识点】椭圆及其几何性质双曲线及其几何性质H5 H6【答案解析】BD= = ，a1= ，c1=1，a2= ，c2=x，e1= ，e2= ，e1e2=1但e1+e22中不能取“=”，e1+e2=+=+，令t=（0，-1），则e1+e2=（t+），t（0，-1），e1+e2（，+）e1+e2的取值范围为（，+）故选B【思路点拨】根据余弦定理表示出BD，进而根据双曲线的性质可得到a的值，再由AB=2c，e= 可表示出e1，同样表示出椭圆中的c和a表示出e2的关系式，然后利用换元法求出e1+e2的取值范围即可第卷【数学文卷2015届浙江省重点中学协作体高三第一次适应性测试（20

20、1411）word版】22（本小题满分14分）椭圆过点,离心率为，左右焦点分别为.过点的直线交椭圆于两点。（1）求椭圆的方程.（2）当的面积为时，求的方程.【知识点】椭圆方程，直线与圆锥曲线H5 H8【答案解析】或.解：（1）椭圆过点 （1分）离心率为 （1分）又 （1分） 解得 （1分）椭圆 （1分）（2）由得（1）当的倾斜角是时，的方程为，焦点此时,不合题意. （1分） 当的倾斜角不是时，设的斜率为,则其直线方程为由消去得：设，则（2分） （3分） 又已知 解得故直线的方程为即或 （3分）【思路点拨】在解直线与圆锥位置关系中，设直线方程一定要考虑斜率不存在的情况，然后在设斜率存在时的方程，

21、一般情况下解三角形面积时，采用弦长点到直线的距离，当有恒过点时或有定长时，也可采用分成两部分求面积的和.【数学文卷2015届浙江省温州十校（温州中学等）高三上学期期中联考（201411）】10.已知椭圆与圆，若在椭圆上不存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D.【知识点】椭圆的简单性质H5 【答案解析】A 解析：由题意，如图若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，由APO45，即sinAPOsin45，即，则，故选A【思路点拨】作出简图，则，则二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分。)【数学文卷

22、2015届云南省玉溪一中高三上学期期中考试（201410）】21、（本小题满分12分）已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点。（）求该椭圆的标准方程；（）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；（）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值 【知识点】椭圆及其几何性质H5【答案解析】（）（）（）（）由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1. 又椭圆的焦点在x轴上, 椭圆的标准方程为（）设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0),由得x0=2x1，y0=2y由,点P在椭圆上,得, 线段PA中点M的轨迹方程是.（）当直线BC垂直于x轴

23、时,BC=2,因此ABC的面积SABC=1.当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入,解得B(,),C(,),则,又点A到直线BC的距离d=,ABC的面积SABC=于是SABC=由1,得SABC,其中,当k=时,等号成立.SABC的最大值是. 【思路点拨】根据椭圆中的a,b,c,关系求出方程，利用直线和椭圆的关系求出最值。H6双曲线及其几何性质【数学理卷2015届湖南省师大附中高三上学期第二次月考（201410）word版】9、已知双曲线（，）的左右焦点分别为，若在双曲线右支上存在点P，使得，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、【知识点】双曲线的简单性质H6 【

24、答案解析】C 解析：设P点的横坐标为x|PF1|=3|PF2|，P在双曲线右支（xa）根据双曲线的第二定义，可得3e（x）=e（x+）ex=2axa，exea，2aea，e2，e1，1e2，故选C【思路点拨】设P点的横坐标为x，根据|PF1|=3|PF2|，P在双曲线右支（xa），利用双曲线的第二定义，可得x关于e的表达式，进而根据x的范围确定e的范围【数学理卷2015届浙江省温州十校（温州中学等）高三上学期期中联考（201411） 】15.过双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左焦点F作圆x2y2eq f(a2,4)的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P

25、，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为_ 【知识点】双曲线的简单性质H6 【答案解析】 解析：，E为PF的中点，令右焦点为F，则O为FF的中点，则PF=2OE=a，E为切点，OEPF，PFPF，PFPF=2a，PF=PF+2a=3a在RtPFF中，PF2+PF2=FF2，即9a2+a2=4c2所以离心率e=故答案为：【思路点拨】判断出E为PF的中点，据双曲线的特点知原点O为两焦点的中点；利用中位线的性质，求出PF的长度及判断出PF垂直于PF；通过勾股定理得到a，c的关系，求出双曲线的离心率【数学理卷2015届吉林省实验中学高三上学期第三次质量检测（201411）】12如图,等腰梯形中, 且,.

26、以为焦点,且过点的双曲线的离心率为,以为焦点,且过点的椭圆的离心率为,则的取值范围为 A. B.C. D. 【知识点】椭圆及其几何性质双曲线及其几何性质H5 H6【答案解析】BD= = ，a1= ，c1=1，a2= ，c2=x，e1= ，e2= ，e1e2=1但e1+e22中不能取“=”，e1+e2=+=+，令t=（0，-1），则e1+e2=（t+），t（0，-1），e1+e2（，+）e1+e2的取值范围为（，+）故选B【思路点拨】根据余弦定理表示出BD，进而根据双曲线的性质可得到a的值，再由AB=2c，e= 可表示出e1，同样表示出椭圆中的c和a表示出e2的关系式，然后利用换元法求出e1+e

27、2的取值范围即可第卷【数学文卷2015届湖南省师大附中高三上学期第二次月考（201410）】9、以双曲线中心O（坐标原点）为圆心，焦距为直径的圆于双曲线交于M点（第一象限），分别为双曲线的左、右焦点，过点M作x轴的垂线，垂足恰为线段的中点，则双曲线的离心率为 A. B. C. D.2【知识点】双曲线的性质. H6【答案解析】C 解析：根据题意得：，所以2a=，故选C.【思路点拨】由已知条件求得关于半角距c的表达式，再由双曲线定义求得其离心率.【数学文卷2015届浙江省重点中学协作体高三第一次适应性测试（201411）word版】16己知抛物线的焦点恰好是双曲线 的右焦点，且两条曲线的交点的连线

28、过点，则该双曲线的离心率为。【知识点】双曲线，抛物线的性质H6 H7【答案解析】解析：因为两条曲线的交点的连线过点，所以两条曲线的交点为，代入到双曲线可得，因为，所以可得，所以，且，解得.【思路点拨】本题两条曲线的交点的连线过点是突破点，得到交点坐标，结合双曲线与抛物线的性质，列出等式求解.【数学文卷2015届云南省玉溪一中高三上学期期中考试（201410）】10、已知抛物线与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AFx轴，则双曲线的离心率为 ( )Aeq r(,2)2 Beq r(,5)1 Ceq r(,3)1 Deq r(,2)1 【知识点】双曲线及其几何性质H6【答案解析】D

29、画出示意图：由双曲线得AF=，由抛物线也可求得AF=p=2c，两者相等得到2c= ，又c2=a2+b2即可求得双曲线的离心率+1故选D【思路点拨】根据题意:由双曲线得AF的值，由抛物线也可求得AF的值，两者相等得到关于双曲线的离心率的等式，即可求得双曲线的离心率【数学文卷2015届云南省玉溪一中高三上学期期中考试（201410）】5、若圆与轴的两个交点都在双曲线上，且两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为（ ）A B. C. D. 【知识点】双曲线及其几何性质H6【答案解析】A 解方程组，得或，圆x2+y2-4x-9=0与y轴的两个交点A，B都在某双曲线上，且A，B两点恰好将此

30、双曲线的焦距三等分，A（0，-3），B（0，3），a=3，2c=18，b2=（）2-32=72，双曲线方程为故答案为A.【思路点拨】由已知条件推导出A（0，-3），B（0，3），从而得到a=3，2c=18，由此能求出双曲线方程H7抛物线及其几何性质【数学理卷2015届浙江省温州十校（温州中学等）高三上学期期中联考（201411） 】6.设M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线的准线相交，则y0的取值范围是 ( )A.(0,2) B.0,2 C.(2，) D.2，)【知识点】抛物线的简单性质H7 【答案解析】C 解析：由条件|FM|

31、4，由抛物线的定义|FM|=y0+24，所以y02,故选C.【思路点拨】由条件|FM|4，由抛物线的定义|FM|可由y0表达，由此可求y0的取值范围.H8直线与圆锥曲线（AB课时作业）【数学（理）卷2015届重庆市重庆一中高三上学期第二次月考（201410）】21（本题满分12分）已知圆经过椭圆的右焦点F，且F到右准线的距离为2(1)求椭圆的方程；(2)如图，过原点O的射线l与椭圆在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点， 求的最大值【知识点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程H5 H8【答案解析】(1) eq f(x2,8)eq f(y2,4)1； (2) 2eq r(3)

32、解析：(1)在C：(x1)2(y1)22中，令y0得F(2，0)，即c2， 又得椭圆：eq f(x2,8)eq f(y2,4)1. 4分(2)法一：依题意射线l的斜率存在，设l：ykx(x0，k0)，设P(x1，kx1)，Q(x2，kx2) 由eq blc(avs4alco1(ykx,f(x2,8)f(y2,4)1)得：(12k2)x28，x2eq f(2r(2),r(12k2).(6分)由eq blc(avs4alco1(ykx,（x1）2（y1）22)得：(1k2)x2(22k)x0，x1eq f(22k,1k2)，eq o(OM,sup6()eq o(OQ,sup6()eq blc(rc

33、)(avs4alco1(f(x1,2)，f(kx1,2)(x2，kx2)eq f(1,2)(x1x2k2x1x2)2eq r(2)eq f(1k,r(12k2)(k0). (9分)2eq r(2)eq r(f(（1k）2,12k2)2eq r(2)eq r(f(k22k1,12k2).设(k)eq f(k22k1,12k2)，(k)eq f(4k22k2,（12k2）2)，令(k)eq f(4k22k2,（12k2）2)0，得1k0，(k)在eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)上单调递增，在eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，)上单调递减当keq f(

34、1,2)时，(k)maxeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq f(3,2)，即eq o(OM,sup6()eq o(OQ,sup6()的最大值为2eq r(3).12分【思路点拨】（1）在圆（x1）2+（y1）2=2中，令y=0，得F（2，0），得a2=8，由此能求出椭圆方程（2）依题意射线l的斜率存在，设l：y=kx（x0，k0），设P（x1，kx1），Q（x2，kx2），直线代入椭圆、圆的方程，结合向量的数量积公式，利用导数，即可求的最大值【数学理卷2015届湖南省师大附中高三上学期第二次月考（201410）word版】20、（本小题满分13分）已知椭圆（）的左、右焦

35、点分别为，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且的最小值不小于。 （1）证明：椭圆上的点到的最短距离为； （2）求椭圆离心率的取值范围；（3）设椭圆短半轴长为1，圆与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k的直线与椭圆相交于A、B两点，若，求直线被圆截得的弦长的最大值。OPBQxyF【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质；椭圆的应用H5 H8 【答案解析】（1）见解析；（2）e（3） 解析：（1）设椭圆上任一点Q的坐标为（x0，y0），Q点到右准线的距离为d=x0，则由椭圆的第二定义知：=，|QF2|=a，又ax0a，当x0=a时，|QF2|min=ac（2）依

36、题意设切线长|PT|=当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，（ac），0，从而解得e，故离心率e的取值范围是解得e，（3）依题意Q点的坐标为（1，0），则直线的方程为y=k（x1），与抛物线方程联立方程组消去y得（a2k2+1）x22a2k2x+a2k2a2=0得，设A（x1，y1）（x2，y2），则有x1+x2=，x1x2=，代入直线方程得y1y2=，x1x2=+y1y2=，又OAOB，=0，k=a，直线的方程为axya=0，圆心F2（c，0）到直线l的距离d=，e，c1，2c+13，s（0，），所以弦长s的最大值为【思路点拨】（1）设椭圆上任一点Q的坐标为（x0，y0），根据Q

37、点到右准线的距离和椭圆的第二定义，求得x0的范围，进而求得椭圆上的点到点F2的最短距离（2）可先表示出|PT|，进而可知当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，列出不等式即可求得e的范围（3）设直线的方程为y=k（x1），与抛物线方程联立方程组消去y得，根据韦达定理可求得x1+x2和x1x2，代入直线方程求得y1y2，根据OAOB，可知=0，k=a，直线的方程为axya=0根据圆心F2（c，0）到直线l的距离，进而求得答案【数学理卷2015届浙江省重点中学协作体高三第一次适应性测试（201411）word版】21（本小题满分15分）yxOPAB（第21题图）作斜率为的直线与椭圆：交于

38、两点（如图所示），且在直线的左上方。（1）证明：的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若，求的面积。【知识点】椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系H5,H8【答案解析】（1）略。（2）解：（1）设直线：，将代入中，化简整理得 （1分）于是有， （1分）则， （1分）上式中，分子， （2分）从而，又在直线的左上方，因此，的角平分线是平行于轴的直线，所以的内切圆的圆心在直线上 （2分） （2）若时，结合（1）的结论可知 （2分）直线的方程为：，代入中，消去得 （1分）它的两根分别是和，所以，即 （1分）所以同理可求得 （2分）所以 （2分）【思路点拨】椭圆的标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系，此类

39、问题通常把要解决的问题转化为直线与圆锥曲线的交点坐标关系，再通过联立方程用根与系数的关系转化求解.。【数学理卷2015届浙江省重点中学协作体高三第一次适应性测试（201411）word版】14直线椭圆相交于，两点，该椭圆上点，使得面积等于，这样的点共有个。【知识点】椭圆，直线与椭圆的位置关系 H5,H8【答案解析】2 解析：设 即点在第一象限的椭圆上，考虑四边形的面积S， 为定值， 的最大面积为 。 点P不可能在直线AB的上方，显然在直线AB的下方有两个点P。【思路点拨】设出的坐标，表示出四边形的面积S，利用两角和公式整理后，利用三角函数的性质求得面积的最大值，进而求得 的最大值，利用 判断出点P不可能在直线AB的上方，进而推断出在直线AB的下方有两个点P。 【数学理卷2015届浙江省温州十校（温州中学等）高三上学期期中联考（201411） 】21.已知椭圆：的离心率，并且经过定点.（）求椭圆的方程；（）设为椭圆的左右顶点，为直线上的一动点(点不在x轴上），连交椭圆于点，连并延长交椭圆于点，试问是否存在，使得成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题H8 【答案解析