概率统计随机变量的数字特征#

1、第四章 随机变量的数字特征知道了随机变量的概率分布也就知道了它的全部统计特性然而，在许多实际问题中，随机变量 的概率分布往往不易求得， 也有不少实际问题并不需要我们知道随机变量的全部统计特性， 而只需要 知道它的某些主要统计特征举例：学生成绩首先要知道平均成绩，其次又要注意各个学生的成绩 与平均成绩的偏离程度 . 平均成绩越高，偏离程度越小，学生学习成绩就越好。我们把表示随机变量某些特征的数值称为随机变量的数字特征， 它们反映了随机变量的某些本质 属性 许多重要的分布往往由这些数字特征唯一确定 本章主要介绍数学期望、 方差、 相关系数和矩第一节 数学期望一 数学期望的定义引例设有十个数字 1，

2、1，2，2，2，3，3，3，3，4 以 X 表示平均值， 则有 X 1 1 2 2 2 3 3 3 3 4 2.4,10又可以写成 X 1 2 2 3 3 4 4 1 2.4 。显然，这里的 2 , 3 , 4 , 1 实际上是数字 1，2，3，10 10 10 10 10 10 10 104 在这十个数字中所占的份额， 我们可以称之为这四个数字的 “权重”，所以上式又可称为是 1，2，3 ，4 这四个数字的加权平均数。再换一个角度，设想这是十张写有数字的卡片，随机从中取出一张，观 察到的数值为 X ，则它是一个随机变量，它的可能取值为1， 2， 3， 4，而它的分布律为：2341p1 P X

3、 1,p2 P X 2 , p3 P X 3,p4 P X 4 ,10101010因此，1 2 2 3 3 4 4 1 xk pk.实质上就是随机变量 X 的取值的平均数。 受此问题的启发，10 10 1010 k 1 k k引出如下数学期望的定义 .2数学期望( Mathematical expectation )或均值 ( Mean) 的定义1)定义设 X 是离散型随机变量，其概率函数为P X xk pk, k 1,2,如果级数 xkpk 绝对收敛，则定义 X 的数学期望为 E Xxkpk.；k 1 k 12)定义 设 X 为连续型随机变量，其概率密度为 f x ，如果广义积分 xf x

4、dx 绝对可积，则定 义 X 的数学期望为 E X xf x dx.【注 1】 数学期望即随机变量的平均取值，它是X 所有可能取值以概率为权重的加“权”平均考察随机变量的平均取值【注 2】连续型随机变量的数学期望和离散型随机变量的数学期望的实质是相同的：相当于 ；x 相当于 xk ； f x dx 相当于 pk .【注 3】 物理解释：数学期望重心设有总质量为m的r 个质点 A1,A2, , Ar构成的质点系，记点Ai 在 x 轴上的坐标为 xi ，质量为 mi i 1,2, ,r ，求该质点系的重心坐标 .解：记质点系的重心坐标为xc，于是xcx1m1x2m2xrmrximi ，这里mi是在

5、点xi 处的质量m i 1 m m 占总质量的比重，因此是以为权的加“权”平均例 甲、乙两人作射击比赛，命中环数分别为X1 89 10pk0.4 0.1 0.5X1, X2 ，它们的分布律分别为X 2 8 9 10 pk0.4 0.2 0.4问：哪一个射手的本领较好？解 E(X1) 8 0.4 9 0.1 10 0.5 9.1 (环)E(X2) 8 0.4 9 0.2 10 0.4 9.0 (环)显然, E(X1) E(X2 )，因此甲比乙的本领要好些例2 设随机变量 X的密度函数为： Xf x 1 x, 1 x 0，求E(X)1 x, 0 x 1解：01E x xf x dx 1x 1 x

6、dx 0 x 1 xdxx22 x33 01 x22 x33 10323二随机变量函数的数学期望1. 定义 设 X 为离散型随机变量， 其概率函数 P X xk pk, k 1,2, ， y f x 为连续函数， 且 级数 f xk pk 绝对收敛，则 X 的函数 Y f X 的数学期望为 E Y E f X f xk pkk1 k 12定义设X 为连续型随机变量，其概率密度为f (x) ，如果广义积分 g(x)f(x)dx绝对收敛，则 X 的函数 g( X )的数学期望为： Eg(X) g(x) f (x)dx .例 3. 设离散型随机变量 X 的分布律如下，求： E X 2 .X0 1 2

7、P3/10 6/10 1/10解： E X 202 0.3 12 0.6 22 0.1 1.例 4. 设风速 X 是一个随机变量，在 0 ， a 上服从均匀分布，而飞机的两机翼受到的压力Y 与风速 X的平方成正比，即， Y kX 2 k 0 ，求： E Y .解：X 的密度函数为xa1, 0 x a，而ykx 20, x 0,x a0 xaa 2 1 1 2，所以 E Y g(x)f x dx 0kx2 dxka2.a3三 数学期望的性质1. E(C) C ( 其中 c 为常数 ) ；2. E CX CE X (其中 c为常数 )；3. E(X Y) E(X) E(Y)；4.如果 X与Y相互独

8、立，则 E(XY) E(X)E(Y) .例 4. 若 X 的数学期望 E( X)存在，求： E 3X 3E X解： E 3X 3E X E 3X E 3E X 3E X 3E X 0第二节 方差与标准差一 方差(Variance )与标准差 ( Standard deviation ) 的概念1方差与标准差的定义定义设 X 是随机变量，若 E X E(X)2 存在，则称 E X E(X)2 为 X 的方差，记为 D(X) 或Var(X) ，即 D(X) Var(X) E X E(X)2 随机变量 X 的标准差定义为方差 D( X )的算术平方根 D(X) ，记为 (X)从定义中可清楚地看出：

9、方差实际上是随机变量 X 的函数 g X X E X 2 的数学2期望，于是当 X 为离散型随机变量，其方差为 D Xxk E X 2 pk ；K1当 X 为连续型随机变量，其方差为 D X x E X f x dx .【注 1】 方差描述的是随机变量取值的波动程度，或随机变量偏离均值的程度计算方差的简便公式：利用数学期望的性质， 可以得到： D X E X E X 2 E X2 2XE X E X 2E X2 2E X E X E X 2 E X2 E X 2 .因此，方差的计算常常用简便公式：D X E X2 E X 2例1设X f (x)11其00 1 2E X21x2 1 x dx 0

10、 x2 1 x dx 61 ；所以： D X E X2 E X 2 16 0 16.二方差的性质1. D(c) 0 (c 是常数 ) ；22. D CX C2 D X (c 是常数 ) ；3. D X C D X (c 是常数 ) ；4. 如果 X 与Y 独立，则 D(X Y) D(X) D(Y)这个结论可以推广到有限个相互独立的随机变量的情况：设 X1,X2, X n相互独立，则有 D(X1X2Xn)DX1DX2DXn.例 2. 设两个相互独立的随机变量 X 与 Y ，它们的方差分别为 4 和 2，求 D 3X 2Y 解： D 3X 2Y D 3X D 2Y 9D X 4D Y 9 4 4

11、2 44.例 3. 随机变量 X 有 E X D X ，且已知 E X 1 X 2 1, 求 E X ,D X解：由 E X 1 X 2E X 2 3X 2 E X 2 3E X 2 D X E X 2 3E X 2E X 2 2E X 2 1,E X 12 0 ，故： E X 1 D X .常用分布的数学期望与方差a x b x a,x bE X xf x dx x 1 dx a b ；分布名称数学期望方差0-1 分布pp(1 p)二项分布 B n, pnpn p (1 p)泊松分布 ( )均匀分布 U a,bab2 ba212指数分布 Exp( )112正态分布 N( , 2)2例 4.

12、设随机变量 X在区间 a,b 上服从均匀分布，求 E X ,D X2 2 b 2 1 1 2 22ba122x2 f x dxx2dxa2 ab b2 ； D X E X2 E X31 a2 ab b2a 2b 例 5. 设随机变量 X服从参数为 n, p的二项分布，求 E X ,D X 解：由二项分布的定义可知：随机变量 X表示 n 重贝努里试验中事件 A发生的次数，且在每 次试验中 A发生的概率为 p.现在引进随机变量 Xi 1, i 1,2, ,n ， Xi 1 表示在第 i 次试验中 A发生； Xi 0 i 0,表示在第 i 次试验中 A 不发生，则 X X1 X2Xn . 因为各次试

13、验的独立性，且P Xi 1 p, P Xi 0 1 p ，可得： E X i0 1p 1 pp ， E Xi202 1 p12pp，D XiE X 2 E X p p2 p1 p ， i1,2,n所以： E X E X1 X2Xn E X1 E X2 E Xn np ；D X DX1X2Xn DX1DX2DXnnp 1 p .【注 2】当直接求某个随机变量的数学期望或方差有困难或计算麻烦时，一个较为有效的处 理技巧是把它分解成若干容易求数学期望或方差的随机变量的和， 从而可以方便地求出该随 机变量的数学期望或方差。四 切比雪夫( Chebyshev)不等式 切比雪夫定理 对于随机变量 X ，

14、E(X) ， D(X) ，则对于任意 0， 2P| X | 22，或P| X | 1切比雪夫 ( Chebyshev)不等式证略)注 2】 从定理中看出， D(X) 越小，随机变量 X 取值于 (EX , EX ) 中的概率就越大， 这就说明方差是一个反映随机变量的概率分布对其分布中心 ( EX ) 的集中程度的数量指标【注 3 】 利用切比雪夫不等式，可以在随机变量 X 的分布未知的情况下估算事件 X 的概率 (只不过精度太差 ) 切比雪夫不等式在理论上的意义更大一些.例 6. 设随机变量 X 的数学期望 E X , 方差 D X 2 0 ，若 Y X ，求 E Y 及DY.解： E Y E

15、X 1 E X 1 E X 0这说明：XY X 具有数学期望为 0，方差为 1. 称 Y 为 X 经标准化后的随机变量D Y E Y2 E Y 2 E X12 EX2 D X222服从相同的分布，且例 7. 设随机变量 X1,X2, ,Xn 相互独立， 1nX 1 Xi 的数学期望和方差 .ni11 n1 n1解： E(X) E 1 Xi 1 E Xi 1n i 1n i 1n1nE X ,D X 2 ，求1 1 n 1D X D 1X i 12 D X i 12n i 1 n i 1 n22 nn例 8. 某批产品的次品率为 0.04 ，试用切比雪夫不等式估计 15000 件产品中，次品数在

16、 500 700 件之间的概率 .解：设次品数为 X，则 X服从二项发布，所以 E X np 15000 0.04 600 ；D X npq 15000 0.04 0.96 576 ，即 P 50 X 700 P X600 10，其中 100.由切比雪夫不等式 P X E X 1 D 2X 可得：P 500 X 700 P X 600 100 1 5762 1 0.0567 0.9433. 1002* 第三节 矩、协方差及相关系数一. 协方差(Covariance )设 ( X ,Y)为二维随机变量，随机变量 (X,Y) 的协方差定义为cov( X ,Y) E(X E(X)(Y E (Y )

17、计算协方差常用下列公式：cov( X , Y) E(XY) E(X)E(Y) 当 X Y 时， cov( X ,Y) cov( X , X ) D(X) 协方差具有下列性质：(1) cov( X ,c) 0 (c是常数 )；cov( X,Y) cov(Y, X ) ；cov( kX , lY ) kl cov( X ,Y) (k,l 是常数)；cov( X1 X2,Y) cov( X1,Y ) cov( X 2 , Y ) 【注 1】 Cov(X, X) D(X) 【注 2】 Cov(X ,Y) E(XY) E(X )E(Y) 【注 3】 D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov( X ,

18、Y )相关系数 ( Correlation coefficient随机变量 (X,Y) 的相关系数定义为相关系数 XY 反映了随机变量cov(X,Y)D(X) D(Y)X与Y之间线性关系的紧密程度，当 | XY |越大， X与Y之 XY 0时，称 X 与Y 不相关XY间的线性相关程度越密切，当 相关系数具有下列性质：(1) | XY | 1；(2) | XY | 1的充要条件是 P(Y aX b) 1，其中 a,b 为常数；(3) 若随机变量 X 与Y 相互独立，则 X 与Y 不相关，即 XY 0，但由 XY 0 不能 推断 X 与Y 独立(4) 下列 5 个命题是等价的： XY 0 ；cov( X ,Y ) 0；E(XY) E(X)E(Y) ；D(X Y) D(X) D(Y) )；D(X Y) D(X) D(Y)(i)(ii)(iii)(iv)(v)利用协方差或相关系数可以计算D(X Y) D(X) D(Y) 2cov(X,Y) D(X) D(Y) 2 XY D(X) D(Y) 【注 4】 XY