基级班讲稿高精度计算4递归

1、递归胜利第二中学 周恒递归的定义 所谓递归就是一个函数或过程可以直接或间接地调用自己。我们大家都熟悉一个民间故事：从前有一座山，山上有一座庙，庙里有一个老和尚正在给小和尚讲故事，故事里说，从前有一座山，山上有一座庙，庙里有一个老和尚正在给小和尚讲故事，故事里的故事是说。象这种形式，我们就可以称之为递归的一种形象描述，老和尚什么时候不向下讲了，故事才会往回返，最终才会结束。再如：前面多次提到的求N!的问题。我们知道：当N0时，N!=N*(N-1)!，因此，求N!的问题化成了求N*(N-1)!的问题，而求(N-1)!的问题又与求N!的解法相同，只不过是求阶乘的对象的值减去了1，当N的值递减到0时，

2、N!=1，从而结束以上过程，求得了N!的解。也就是说，求解N!的过程可以用以下递归方法来表示： 在这里，为了定义n!，就必须先定义(n-1)!，为了定义(n-1)!，又必须先定义(n-2)!，上述这种用自身的简单情况来定义自己的方式称为递归定义。一个递归定义必须是有确切含义的，也就是说，必须一步比一步简单，最后是有终结的，决不允许无限循环下去。上面的例子中，当N=0时定义一个数1，是最简单的情况，称为递归的边界，它本身不再使用递归定义。与递推一样，每一递归都有其边界条件。但不同的是，递推是由边界条件出发，通过递推式来求值，而递归则是从自身出发来达到边界条件。 递归的调用 在Pascal程序中，

3、子程序可以直接自己调用自己或间接调用自己，则将这种调用形式称之为递归调用。其中，我们将前者的调用方式称为简单递归，后者称为间接递归。由于目前我们介绍、掌握的知识尚还无法实现间接递归，只有留待在以后的内容中我们再作介绍。本节只介绍直接递归。递归调用时必须符合以下三个条件： （1）可将一个问题转化为一个新的问题，而新问题的解决方法仍与原问题的解法相同，只不过所处理的对象有所不同而已，即它们只是有规律的递增或递减。 （2）可以通过转化过程使问题回到对原问题的求解。 （3）必须要有一个明确的结束递归的条件，否则递归会无止境地进行下去。 下面我们通过一些例子，来解释递归程序的设计。 program aa

4、; var t:longint; n:integer; function fac(n:integer):longint; begin if n=0 then fac:=1 else fac:=fac(n-1)*n; end;例1：按照以上的分析，用递归的方法来求N！的解。程序如下：测试数据：输入：input n=5输出：5! =120begin write(input n=); read(n); if n0 then writeln(n0,data errer) else begin t:=fac(n); writeln(n,! =,t) end end.如图展示了程序的执行过程： 在这里，因

5、为函数FAC的形参是值形参，因此每调用一次该函数，系统就为本次调用的值形参N开辟了一个存储单元，以便存放它的实参的值。也就是说，对于递归函数或递归过程，每当对它调用一次时，系统都要为它的形式参数与局部变量（在函数或过程中说明的变量）分配存储单元（这是一个独立的单元，虽然名字相同，但实际上是互不相干的，只在本层内有效），并记下返回的地点，以便返回后程序从此处开始执行。例2：读入一串字符倒序输出，以字符&为结束标志，用过程来实现。分析：由题意可知，读一串字符当然只能一个个地读入，要倒序输出，就要一直读到字符&。如输入的一段字符为ABCDEFGH&，则倒序输出的结果应该是&HGFEDCBA。 （1）

6、读入一个字符；（2）读（该字符后的）子串并倒序输出；（3）然后输出读入字符（指（1）读入的字符）（4）在（2）中若子串是空（即遇字符&），表示子串已完，不再处理子串。 以上（2）表示一操作依赖另一操作，所以需要用递归调用。（4）表示已知操作（递归的终止）。程序如下：program aa; procedure reverse; var ch:char; begin read(ch); if ch& then reverse; write(ch); end; begin reverse; writeln; end.测试数据：输入：abcdefghijklmn&输出：&nmlkjihgfedcba例

7、3：利用递归，将一个十进制整数K转化为N进制整数（N=10）。 测试数据：输入：K和N的值19 3输出：转化后的N进制整数201program aa; var n,k:integer; procedure tentok(k,n:integer); var r:integer; begin r:=k mod n; k:=k div n; if k0 then tentok(k,n); write(r); end;begin read(k,n); tentok(k,n); writeln; end.递归的一般适合场合1数据的定义形式是按递归定义的.如：裴波那契数列的定义为：Fn=Fn-1+Fn-2

8、 F1=0 F2=1begin read(n); s:=fib(n); writeln(s); end.测试数据：输入：5输出：3program aa; var n:integer; s:longint; Function FIB(N:integer):integer; Begin If n=1 then FIB:=0 Else if n=2 then FIB:=1 Else FIB:=FIB(n-1)+FIB(n-2) End;例如；著名的Hanoi塔（汉诺塔）问题。 3数据之间的结构关系按递归定义的例如：大家将在后面的学习内容中遇到的树的遍历、图的搜索等问题。2问题的求解方法是按递归算法来

9、实现的。判断运行结果1.program d1; var s,n:integer; function f(n:integer):integer; begin if n=1 then f:=1 else f:=n*n+f(n-1); end; begin write(input n:);readln(n); s:=f(n); writeln(f(,n,)=,s) end.输入:input n:3输出:练习一2program d2; var a,b:integer; function f(n:integer):integer; begin if n=1 then f:=1 else if n=2 t

10、hen f:=2 else f:=f(n-1)+f(n-2); end; begin read(a); b:=f(a); writeln(b); end.输入:4输出:3program d3; var a,b,c,d:integer; procedure p(a:integer; var b:integer); var c:integer; begin a:=a+1;b:=b+1;c:=2;d:=d+1; writeln(m,a,b,c,d); if a=3时f(N)=f(N-1)+f(N-2)递归及其应用请计算ack(m,n)的值。(m,n=n）的最大公约数，应先将m除以n；求得余数r,如果

11、等于零，除数n就是m,n的最大公约数；如果r不等于零，就用n除以r，再看所得余数是否为零。重复上面过程，直到余数r为零时，则上一次的余数值即为m,n的最大公约数。用其数学方式描述如下:program aa; var m,n,t:integer; function f(m,n:integer):integer; var r:integer; begin if (m mod n)=0 then f:=n else begin r:=m mod n; f:=f(n,r); end; end;beginreadln(m,n); if m,c) else begin move (n-1,a,c,b);

12、writeln(a,-,c); move(n-1,b,a,c); end; end; begin readln(n); move(n,1,2,3); end.测试数据：输入:3输出:1-31-23-21-32-12-31-3例7:数的计算（1）问题描述我们要求找出具有下列性质数的个数(包含输入的自然数n):先输入一个自然数n(n0,N位数小于等于9位），用递归方法把这个多位数颠倒过来输出。（2）问题解析由于N比较大，所以需要长整型。长整型的位数=10位。（3）测试数据输入：12345678输出：87654321program aa; var n:Longint; procedure rd(number:Longint); begin write(number mod 10:1); number:=number div 10; if number0 then rd(number); end; begin write(input n=); readLn(n); rd(n); end.1.(文件名:d6.pas)有一对雌雄兔，每两个月就繁殖各一对兔子。问N个月后共有多少对兔子？提示：测试数据:输入:10输出:55练习二2.(文件名:d7.pas) 计算组合数提示：测试数据:输入:6 2输出:153.前N项和（1）问题描述给定N(N=1)，用递归的方法计算1+2+3+4+.+(N