平面向量的坐标运算 同步习题 高中数学新苏教版必修第二册（2022年）

1、9.3.2平面向量的坐标运算一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）给出下列几种说法：相等向量的坐标相同;平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标;相反向量是共线向量若a0，则对任一非零向量b都有ab0；其中正确说法的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】本题考查向量的定义及表示，属于基础题根据向量的定义及坐标表示逐项判断即可.【解答】解：由向量的坐标定义可以看出，相等向量的坐标相同，正确;一个坐标可以对应无数个相等的向量，错误；相反向量是共线向量，正确；若a0，则对任一非零向量b都有ab0，正确；所以正确的个数有3个故选C已知点A(1,2)，B(-1,

2、0)，则AB=()A. (2,0)B. (2,2)C. (-2,-2)D. (0,2)【答案】C【解析】【分析】根据平面向量的坐标表示，求出AB即可本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，是基础题【解答】解：点A(1,2)，B(-1,0)，则AB=(-1-1,0-2)=(-2,-2)故选：C在ABCD中，已知AD=(3,7)，AB=(-2,3)，对角线AC，BD相交于点O，则CO的坐标是()A. -12,5B. -12,-5C. 12,-5D. 12,5【答案】B【解析】【分析】本题考查平行四边形法则，向量的坐标运算，属于基础题根据平行四边形法则可以用AD和AB表示出AC，表示出的向量与要求的

3、向量之间的关系可以通过平行四边形对角线知道，是反向且模长是已知向量的一半，写出坐标【解答】解：AD=(3,7)，AB=(-2,3)，根据平行四边形法则可得AC=AB+AD=(1,10)，则CO=-12AC=(-12,-5)，故选：B已知向量AB=(2,2)，AC=(t,1)，若ABBC=2，则t=( )A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】B【解析】【分析】本题考查向量的减法坐标运算，数量积的坐标运算，考查运算能力，是基础题先根据已知条件计算BC，再根据向量数量积的坐标运算求解即可得答案【解答】解：根据题意得：BC=AC-AB=(t,1)-(2,2)=(t-2,-1)，所以ABBC=2(t-

4、2)+2(-1)=2t-4-2=2，解得t=4故选B已知向量a=(1,-2)，b=m,4，a/b，那么2a-b等于( )A. 4,0B. 0,4C. 4,-8D. -4,8【答案】C【解析】【分析】本题考查的是平面向量的坐标运算，向量平行的性质，属于容易题由a/b可得出m的值，从而得到2a-b的坐标【解答】解：由a/b知4+2m=0，所以m=-2，所以2a-b=(2,-4)-(m,4)=(2-m,-8)=(4,-8)已知点O0,0，A-1,3，B2,-4，OP=OA+mAB.若点P在y轴上，则实数m的值为( )A. 13B. 14C. 15D. 16【答案】A【解析】【分析】本题主要考查向量的

5、坐标运算，解答本题的关键是知道则OA=(-1,3),AB=(3,-7)，OP=OA+mAB=(-1+3m,3-7m)，然后求出实数m的值【解答】解：根据题意，O(0,0)，A(-1,3)，B(2,-4)，则OA=(-1,3),AB=(3,-7)，则OP=OA+mAB=(-1+3m,3-7m)，若点P在y轴上，则-1+3m=0，解可得m=13，故选A已知向量a=(1,2)，b=(1,1)，且a与a+b的夹角为锐角，则满足()A. -53C. -53且0D. 0且a与a+b不同向，解不等式即可求解【解答】解：由题意，a与a+b的夹角为锐角，aa+b0且a与a+b不同向，即aa+b00,故a2+ab

6、=5+300,解得-53且0故选C在矩形ABCD中，AB=2，BC=2，点E为BC的中点，点F在CD，若ABAF=2，则AEBF的值是()A. 2B. 2C. 0D. 1【答案】A【解析】本题考查平面向量数量积的运算，建立直角坐标系是解决问题的关键，属于基础题建立直角坐标系，由已知条件可得F的坐标，进而可得向量AE和BF的坐标，可得数量积解：建立如图所示的坐标系，可得A(0,0)，B(2,0)，E(2,1)，F(x,2)AB=(2,0)，AF=(x,2)，ABAF=2x=2，解得x=1，F(1,2)AE=(2,1)，BF=(1-2,2)AEBF=2(1-2)+12=2故选：A二、多项选择题（本

7、大题共4小题，共20.0分）已知向量a=(1,-2)，b=(-1,m)，则( )A. 若a与b垂直，则m=-1B. 若a/b，则ab的值为-5C. 若m=1，则|a-b|=13D. 若m=-2，则a与b的夹角为60【答案】BC【解析】【分析】本题主要考查了平面向量的坐标运算，向量的数量积公式，向量的模长公式，向量垂直的条件，平行的条件，属于较易题逐个判断即可得出结果【解答】解：向量a=(1,-2)，b=(-1,m)，A.若a与b垂直，则1-1+-2m=0，解得m=-12，故A错误；B.若a/b，则1m-2-1=0，解得m=2，则b=(-1,2)，ab=1-1+-22=-5，故B正确；C.若m=

8、1，则b=(-1,1)，a-b=2,-3，则|a-b|=13，故C正确；D.若m=-2，则b=(-1,-2)，ab=1-1+-2-2=3，a=5，b=5，cos=abab=3512，故D错误故选BC下列说法中错误的为( )A. 已知a=(1,2)，b=(1,1)且a与a+b夹角为锐角，则(-53,+)B. 已知a=(2,-3)，b=(12,-34)不能作为平面内所有向量的一组基底C. 若a与b平行，a在b方向上的投影为|a|D. 若非零a，b满足|a|=|b|=|a-b|则a与a+b的夹角是60【答案】ACD【解析】【分析】本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及

9、准确度要求比较高，属于较难的题由向量的数量积、向量的投影、基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解【解答】解：对于A,a=(1,2),b=(1,1),a与a+b的夹角为锐角，a(a+b)=(1,2)(1+,2+)=1+4+2=3+50，且0(=0时a与a+b的夹角为0)，所以-53且0，故A错误；对于B向量a=(2,-3)=4b，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B正确；对于C.若a/b，则a在b方向上的投影为a，故C错误；对于D.因为|a|=|a-b|，两边平方得，|b|2=2ab，则aa+b=|a|2+ab=32|a|2，|a+b|=a+b2=|a|2+2ab+|b|2=

10、3|a|，故cos=aa+b|a|a+b|=32|a|2|a|3|a|=32，而向量的夹角范围为0,180，得a与a+b的夹角为30，故D项错误故错误的选项为ACD故选ACD已知在平面直角坐标系中，点P10,1，P24,4.当P是线段P1P2的一个三等分点时，点P的坐标为( )A. 43,2B. 43,3C. 2,3D. 83,3【答案】AD【解析】【分析】本题考查平面向量的基本定理及其应用，平面向量的坐标运算，属于基础题根据题意，得出P1P=2PP2或P1P=12PP2，再根据平面向量的坐标运算计算即可【解答】解：由题意，设Px,y，P是线段P1P2的一个三等分点，P1P=2PP2或P1P=

11、12PP2即x,y-1=24-x,4-y或x,y-1=124-x,4-y，即x=8-2xy-1=8-2y或x=2-x2y-1=2-y2，解得x=83y=3或x=43y=2,故选AD(多选题)在ABC中，AB=(2,3)，AC=(1,k)，若ABC是直角三角形，则k的值可能为()A. -23B. 113 C. 3132D. 23【答案】ABC【解析】【分析】本题考查向量垂直的坐标公式，考查分类讨论思想，考察计算能力，属于中等题型由题意，若是直角三角形，分析三个内有都有可能是直角，分别讨论三个角是直角的情况，根据向量垂直的坐标公式，即可求解【解答】解：若为直角，则即，解得，若为直角，则即，解得。若

12、为直角，则，即，解得。综合可得，的值可能为。故选ABC三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）若向量a=(1,2)，b-a=(-2,1)，则ab=【答案】5【解析】【分析】本题考查平面向量数量积和坐标运算，属于基础题先求b，再利用数量积的坐标运算即可求解【解答】解：由题意，得b=(1,2)+(-2,1)=(-1,3)，故ab=1-1+23=5，故答案为5已知a=(1,4)，b=(-2,k)，且(a+2b)/(2a-b)，则实数k=_【答案】-8【解析】解：a+2b=(-3,4+2k)，2a-b=(4,8-k)，(a+2b)/(2a-b)，-3(8-k)-4(4+2k)=0，解得k=-8故答案

13、为：-8可先求出a+2b=(-3,4+2k)，2a-b=(4,8-k)，然后根据(a+2b)/(2a-b)即可求出k的值本题考查了向量坐标的加法、减法和数乘运算，平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题已知点M是边长为2的正ABC内一点，且AM=AB+AC，若+=13，则MBMC的最小值为 【答案】13【解析】【分析】本题考查平面向量数量积最值得求法，首先根据已知建立坐标系，设M(x,y)，然后表示出各个点的坐标，根据AM=AB+AC，若+=13，可以得出y=-3x-33，x-1,1，然后表示出MBMC，利用二次函数求出最值，属于中档题【解答】解：根据题意，建立如图的坐标系，因为ABC为

14、边长为2的等边三角形所以A(-1,0)，B(1,0)C(0,3)，设M(x,y)则AM=(x+1,y),AB=(2,0),AC=1,3又因为AM=AB+AC，若+=13所以AM=AB+13-AC，即x+1,y=2,0+13-1,3所以x+1=+13y=313-，消去可得y=-3x-33，x-1,1，则MBMC=x2-x+y2-3y=4x2+4x+43=4x+122+13,x-1,1，所以当x=-12时，MBMC有最小值13，故答案为13在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，A(-1,0)，B(0,cos6)，C(1,0)，若动点D(1+13cos,13sin)(aR)，则|OA+2OB+3OC

15、+3OD|的最大值为_【答案】27+1【解析】解：由题意知A(-1,0)，B(0,32)，C(1,0)，D(1+13cos,13sin)(R)，则OA+2OB+3OC+3OD=(5+cos,3+sin)，(OA+2OB+3OC+3OD)2=(5+cos)2+(3+sin)2=29+10cos+23sin=29+47sin(+)29+47，其中tan=53；|OA+2OB+3OC+3OD|的最大值为29+47=27+1故答案为：27+1根据平面向量的坐标运算和模长公式，利用三角函数的性质求得|OA+2OB+3OC+3OD|的最大值本题考查了平面向量的坐标运算与模长公式的应用问题，是基础题四、解答

16、题（本大题共6小题，共72.0分）已知a=(1,0)，b=(2,1)(1)当k为何值时，ka-b与a+2b共线?(2)若AB=2a+3b，且A，B，C三点共线，求m的值【答案】解：(1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1)，a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2)因为ka-b与a+2b共线，所以2(k-2)-(-1)5=0，解得k=-12(2)因为A，B，C三点共线，所以AB=BC(R)，即2a+3b=(a+mb)，所以2=,3=m,解得m=32【解析】本题考查向量的坐标运算、向量共线的充要条件(1)结合已知易得ka-b=k-2,-1,a+2b=5,2，再结合向量共线定理

17、可得2(k-2)-(-1)5=0，解方程即可求出k的值；(2)由A，B，C三点共线，可得AB=BC，再结合已知条件可得=2,3=m，据此可求得m的值在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a=(2,1)，A(1,0)，B(cos,t)(1)若a/AB，且|AB|=5|OA|，求向量OB的坐标；(2)若a/AB，求y=cos2-cos+t2的最小值【答案】解(1)AB=(cos-1,t)，a/AB，2t-cos+1=0cos-1=2t. |AB|=5|OA|，(cos-1)2+t2=5.由，得t2=1，t=1. 当t=1时，cos=3(舍去)，当t=-1时，cos=-1，B(-1,-1)，OB

18、=(-1,-1). (2)由(1)可知，当cos=35时，ymin=-15.【解析】本题考查向量与三角函数的综合，向量的坐标表示，难度适中(1)由若a/AB，且|AB|=5|OA|，得2t-cos+1=0，(cos-1)2+t2=5，是解题的关键(2)转换为求为变量的二次函数的最值，难度适中已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a=(1,2)(1)若|b|=25，且a/b，求b的坐标；(2)若|c|=10，且2a+c与4a-3c垂直，求a与c的夹角【答案】解：(1)a/b，a=(1,2)，设b=ka，且|b|=25，|a|=5；|b|=|k|a|=5|k|=25；k=2；b=(2,4)，或

19、b=(-2,-4)；(2)(2a+c)(4a-3c)，且|a|=5,|c|=10，(2a+c)(4a-3c)=8a2-3c2-2ac=40-30-102cos=0；cos=22，又0,，a与c的夹角为4【解析】本题考查共线向量基本定理，向量数乘的几何意义，根据向量坐标求向量长度，向量垂直的充要条件，以及向量夹角的范围(1)根据a/b，a=(1,2)，设b=ka，进而|b|=|k|a|，这样便可求出k的值，从而得出b的坐标；(2)根据2a+c与4a-3c垂直便可得出(2a+c)(4a-3c)=0，根据条件进行数量积的运算即可求出cos的值，从而求出a与c的夹角已知在ABC中，A(2,-1)，B(

20、3,2)，C(-3,-1)，AD为BC边上的高，求|AD|与点D的坐标【答案】解：设点D坐标为(x,y)，则AD=(x-2,y+1)，BC=(-6,-3)，BD=(x-3,y-2)D在直线BC上，即BD与BC共线，存在实数，使BD=BC，即(x-3,y-2)=(-6,-3)x-3=-6,y-2=-3,x-3=2(y-2)，即x-2y+1=0又ADBC，ADBC=0，即(x-2,y+1)(-6,-3)=0，-6(x-2)-3(y+1)=0即2x+y-3=0由解得x=1,y=1,|AD|=(1-2)2+(1+1)2=5，即|AD|=5，点D的坐标为(1,1)【解析】本题考查向量的坐标运算，向量平行、垂直的判断，向量的模，向量的数量积运算设点D(x,y)，可得AD、BC及BD的坐标，由题意BD与BC共线，可得存在实数，使BD=BC，由向量坐标运算列方程组，化简可得x-2y+1=0，利用向量垂直的判断ADBC=0，由向量的数量积的坐标运算可得2x+y-3=0，由解得x、y的值，即