(新)高中数学选修21主要内容

1、(新)高中数学选修2-1主要内容(新)高中数学选修2-1主要内容21/21(新)高中数学选修2-1主要内容所谓的光芒岁月，其实不是此后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，能够判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。命题的组成条件和结论定义：从组成来看，全部的命题都具由条件和结论两部分组成在数学中，命题常写成“若p，则q”或许“假如p，那么q”这种形式，平时，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题结论真命题：假如由命题的条件P经过推理必定能够得出命题的

2、结论q，那么这样的命题叫做真命题假命题：假如由命题的条件P经过推理不用然能够得出命题的结论q，那么这样的命题叫做假命题四种命题：定义：一般地，关于两个命题，假如一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互抗命题其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的抗命题定义：一般地，关于两个命题，假如一个命题的条件和结论恰巧是另一个命题的条件的否认和结论的否认，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题定义：一般地，关于两个命题，假如一个命题的条件和结论恰巧是另一个命题的结论的否认和条件的否认，那么我们把这样的两个命题叫

3、做互为逆否命题其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题形式：原命题：若P，则q则：抗命题：若q，则P否命题：若P，则q（说明符号“”的含义：符号“”叫做否认符号“p”表示p的否认；即不是p；非p）逆否命题：若q，则P四种命题间的互有关系：放弃很简单，但你坚持终究的样子必定很酷！1所谓的光芒岁月，其实不是此后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。由于抗命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系以下：1）两个命题互为逆否命题，它们有同样的真假性；2）两个命题为互抗命题或互否命题，它们的真假性没有关系1.2充分条件与必要条件定义：假如命题“若p，则q”为真命题

4、，即pq,那么我们就说p是q的充分条件；q是p必要条件一般地,假如既有pq，又有qp就记作pq.此时,我们说,那么p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,假如p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.归纳地说,假如pq,那么p与q互为充要条件.一般地，若pq,但qp，则称p是q的充分但不用要条件；若pq，但qp，则称p是q的必要但不充分条件；若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不用要条件1.3简单的逻辑连结词一般地，用联系词“且”把命题p和命题q联系起来，就获取一个新命题，记作pq读作“p且q”。一般地，用联系词“或”把命题p和命题q联系起来，就获取一个新命题，记作pq,读作“p或q”。一

5、般地，我们规定：当p，q都是真命题时，pq是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，pq是假命题；当p，q两个命题中有一个是真命题时，pq是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，pq是假命题。一般地，对一个命题p全盘否认，就获取一个新命题，记作p，读作“非p”或“p的否认”。若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题；命题的否认能否认命题的结论，而命题的否命题是对原命题的条件和结论同时进行否定。14全称量词与存在量词全部的”“随意一个”这样的词语，这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部，这样的词叫做全称量词，用符号“”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题。“存在一

6、个”“最少有一个”这样的词语，这些词语都是表示整体的一部分的词叫做存在量词。并用符号“”表示。含有存在量词的命题叫做特称命题（或存在命题）。一般地，关于含有一个量词的全称命题的否认，有下面的结论：全称命题P：xM,p(x)它的否认PP(x)放弃很简单，但你坚持终究的样子必定很酷！2所谓的光芒岁月，其实不是此后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。特称命题P：xM,p(x)它的否认P：xM，P(x)全称命题和否认是特称命题。特称命题的否认是全称命题。第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程(二)几种常有求轨迹方程的方法1直接法由题设所给(或经过解析图形的几何性质而得出)的动点所知足的几何条件

7、列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法例1(1)求和定圆22=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；x+y(2)过点A(a，o)作圆Ox2+y2=R2(aRo)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹对(1)解析：动点P的轨迹是不知道的，不能够察看其几何特色，可是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R或|OP|=0解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0即x2+y2=4R2或x2+y2=0故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0对(2)解析：题设中没有详细给出动点所知足的几何条件，但能够经过解析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点

8、连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数由学生演板达成，解答为：设弦的中点为M(x，y)，连结OM，则OMAMkOMkAM=-1，其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)2定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或放弃很简单，但你坚持终究的样子必定很酷！3所谓的光芒岁月，其实不是此后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。差为定值的条件，或利用平面几何知识解析得出这些条件直均分线l交半径OQ于点P(见图245)，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程解析：点P在

9、AQ的垂直均分线上，|PQ|=|PA|又P在半径OQ上|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R故P点到两定点距离之和是定值，可用椭圆定义写出P点的轨迹方程解：连结PAlPQ，|PA|=|PQ|又P在半径OQ上|PO|+|PQ|=2由椭圆定义可知：P点轨迹是以O、A为焦点的椭圆3有关点法若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的改动而改动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程这种方法称为有关点法(或代换法)例3已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上随意一点，点P在线段AB上，且有BPPA=12，当B点在抛物线上改动时

10、，求点P的轨迹方程解析：P点运动的原因是B点在抛物线上运动，因此B可作为有关点，应先找出点P与点B的联系，y)解：设点P(x，y)，且设点B(x00放弃很简单，但你坚持终究的样子必定很酷！4所谓的光芒岁月，其实不是此后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。BPPA=12，且P为线段AB的内分点4待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求例4已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲曲线方程解析：由于双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，因此可设双曲线方ax2-4b2x+a2b2=0抛物线和双曲线仅有两个公共点，依据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，

11、因此方程ax2-4b2x+a2b2=0应有等根=1664-4Q4b2=0，即a2=2b(以下由学生达成)由弦长公式得：放弃很简单，但你坚持终究的样子必定很酷！5所谓的光芒岁月，其实不是此后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。即a2b2=4b2-a22.2椭圆把平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距即当动点设为M时，椭圆即为点集PM|MF1MF22a焦点在x轴上，中心在原点的椭圆的标准方程x2y21(ab0)a2b2焦点在y轴上，中心在原点的椭圆的标准方程y2x21ab0

12、a2b2椭圆的简单几何性质范围：由椭圆的标准方程可得，y2x20，进一步得：axa，同理b21a2可得：byb，即椭圆位于直线xa和yb所围成的矩形框图里；对称性：由以x代x，以y代y和x代x，且以y代y这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，进而获取椭圆是以x轴和y轴为对称轴，原点为对称中心；极点：先给出圆锥曲线的极点的统必定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的极点因此椭圆有四个极点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ec0e1），叫做椭圆的离心率（a当e1时，ca，b0；当e0时，c0，ba椭圆图形越扁椭圆越

13、凑近于圆放弃很简单，但你坚持终究的样子必定很酷！6所谓的光芒岁月，其实不是此后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。椭圆的第二定义当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数ec(0e1)时，这a个点的轨迹是椭圆定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率关于椭圆x2y21，相应于焦点F(c,0)的准线方程是xa2依据对称性，相应于焦b2a2c点F(c,0)的准线方程是xa2关于椭圆y2x21的准线方程是ya2ca2b2c可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义由椭圆的第二定义|MF|e可得：右焦半径公式为d|MF

14、右|ede|xa2aex；左焦半径公式为|MF左|ede|x(a2aex|)|cc定义：椭圆上随意一点与两焦点所组成的三角形称为焦点三角形。性质一：已知椭圆方程为x2y2b0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形a21(ab2PF1F2中F1PF2,则SF1PF2b2tan。2(2c)22PF122PF2cosF1F2PF22PF1(PF1PF2)22PF1PF2(1cos)PF1PF2(PF1PF2)24c24a24c22b22(1cos)2(1cos)1cosSFPF21PF1PF2sinb2sinb2tan121cos2性质二：已知椭圆方程为x2y21(ab0),左右两焦点分别为F1,

15、F2,设焦点三角形a2b2PF1F2，若F1PF2最大，则点P为椭圆短轴的端点。证明：设P(xo,yo),由焦半径公式可知：PF1aexo，PF1aexo22F1F22PF2)22PF1PF24c2在F1PF2中，cosPF1PF1(PF12PF1PF22PF1PF2放弃很简单，但你坚持终究的样子必定很酷！7所谓的光芒岁月，其实不是此后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。4a24c24b21=2b212PF1PF212e2xo22(aexo)(aexo)aax0axo2a2性质三：已知椭圆方程为x2y21(ab0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形a2b2PF1F2中F1PF2,

16、则cos12e2.证明：设PF1r1,PF2r2,则在F1PF2中，由余弦定理得：cosr12r22F1F22(r1r2)22r1r24c22a22c22r1r22r1r22r1r212a22c212a22c212命题得证。r1r222a212e.2()2（2000年高考题）已知椭圆x2y21(ab0)的两焦点分别为F1,F2,若椭圆上存在a2b2一点P,使得121200,求椭圆的离心率e的取值范围。FPF简解：由椭圆焦点三角形性质可知cos120012e2.即112e2,2于是获取e的取值范围是3,1.2性质四：已知椭圆方程为x2y21(ab0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形a2b2

17、PF1F2，PF1F2,PF2F1,则椭圆的离心率esin()sinsin。PF1F2,PF2F1,由正弦定理得：F1F2PF2PF1sin(180o)sinsin由等比定理得：F1F2PF1PF2sin()sinsin放弃很简单，但你坚持终究的样子必定很酷！8所谓的光芒岁月，其实不是此后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。而F1F22cPF1PF22a)sin()，sinsin(sinsinsincsin()esin。asin已知椭圆的焦点是F1(1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且F1F2是PF1和PF2的等差中项(1)求椭圆的方程；(2)若点P在第三象限，且PF1F21

18、20，求tanF1PF2解：(1)由题设2F1F2PF1PF22a，又2c2，b3椭圆的方程为x2y2143(2)设F1PF2，则PF2F160椭圆的离心率e11sin(180o)sin，2则sin120osin(60o)23sin(60o)2整理得：5sin3(1cos)323sin3553故tan1cos52，tanF1PF2tan31151252.3双曲线把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola）其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距即当动点设为M时，双曲线即为点集PMMF1MF22a焦点在y轴

19、上，中心在原点的双曲线的标准方程x2y21(ab0)a2b2焦点在y轴上，中心在原点的双曲线的标准方程y2x21(ab0)a2b2范围：由双曲线的标准方程得，y2x210，进一步得：xa，或xa这b2a2说明双曲线在不等式xa，或xa所表示的地区；放弃很简单，但你坚持终究的样子必定很酷！9所谓的光芒岁月，其实不是此后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。对称性：由以x代x，以y代y和x代x，且以y代y这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，进而获取双曲线是以x轴和y轴为对称轴，原点为对称中心；极点：圆锥曲线的极点的统必定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的极点因此

20、双曲线有两个极点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；渐近线：直线ybx叫做双曲线x2y21的渐近线；aa2b2离心率：双曲线的焦距与实轴长的比c叫做双曲线的离心率（e1）eaa2双曲线第二定义:当动点M(x,y)到必定点F(c,0)的距离和它到必定直线l:x的c距离之比是常数ec1时,这个动点M(x,y)的轨迹是双曲线。其中定点F(c,0)是双曲线a的一个焦点，定直线l:xa2叫双曲线的一条准线，常数e是双曲线的离心率。双曲线上c任一点到焦点的线段称为焦半径。比方PF是双曲线的焦半径。2.4抛物线放弃很简单，但你坚持终究的样子必定很酷！10所谓的

21、光芒岁月，其实不是此后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。抛物线只位于半个坐标平面内，诚然它也能够无量延长，可是没有渐近线抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与极点和焦点的连线重合，抛物线没有中心抛物线只有一个极点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点(4)抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义，并和抛物线的定义作比较其结果是应规定抛物线的离心率为1第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算忧如平面向量的见解，我们把空间中拥有大小和方向的量叫做向量与平面向量同样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同素来量或相等的向量空间随意两个向量都能够用同一

22、平面内的两条有向线段表示因此我们说空间随意两个向量是共面的空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算同样：空间向量加法与数乘向量有以下运算律：放弃很简单，但你坚持终究的样子必定很酷！11所谓的光芒岁月，其实不是此后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。加法互换律：a+b=b+a；加法联合律：(a+b)+c=a+(b+c)；（课件考证）数乘分派律：(a+b)=a+b空间向量加法的运算律要注意以下几点：首尾相接的若干向量之和，等于由初步向量的起点指向尾端向量的终点的向量即：A1A2A2A3A3A4An1AnA1An因此，求空间若干向量之和时，可经过平移使它们转变成首尾相接的向量首

23、尾相接的若干向量若组成一个关闭图形，则它们的和为零向量即：A1A2A2A3A3A4An1AnAnA10两个向量相加的平行四边形法例在空间仍旧成立1共线（平行）向量：假如表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作：a平行于b，记作：a/b2共线向量定理：对空间随意两个向量a,b(b0),a/b的充要条件是存在实数，使ab（唯一）推论：假如l为经过已知点A，且平行于已知向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，知足等式OPOAtAB，其中向量a叫做直线l的方向向量。在l上取ABa，则式可化为OPOAtAB或OP(1t)OAtOB

24、11la当t时，点P是线段AB的中点，此时OP(OAOB)22和都叫空间直线的向量参数方程，是线段AB的中点公式PBA3向量与平面平行：O已知平面和向量a，作OAa，假如直线OA平行于或在内，那么我们说向量a平行于平面，记作：a/a平时我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量a放弃很简单，但你坚持终究的样子必定很酷！12所谓的光芒岁月，其实不是此后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。说明：空间随意的两向量都是共面的4共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的充要条件是存在实数x,y使pxayb1空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OAa

25、,OBb，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a,b；且规定0a,b，显然有a,bb,a；若a,b，则称a与b互相垂直，记作：ab；22向量的模：设OAa，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|；3向量的数量积：已知向量a,b，则|a|b|cosa,b叫做a,b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cosa,beB已知向量ABa和轴l，e是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A，作点B在l上的射影B，则AB叫做AB向量AB在轴l上或在e上的正射影；能够证明AB的长度AC|AB|AB|cosa,e|ae|4空间向量数量积的性质：（1）ae|a|cosa,e（2）abab0（3

26、）|a|2aa5空间向量数量积运算律：1）(a)b(ab)a(b)2）abba（互换律）3）a(bc)abac（分派律）放弃很简单，但你坚持终究的样子必定很酷！13所谓的光芒岁月，其实不是此后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。1几个见解(1)轴上有向线段的值：设有一轴u，AB是轴u上的有向线段，假如数知足AB，且当AB与轴u同向时是正的，当AB与轴u反向时是负的，那么数叫做轴u上有向线段AB的值，记做AB，即AB。设e是与u轴同方向的单位向量，则ABe设A、B、C是u轴上随意三点，无论三点的互相地点怎样，总有ACABBC(3)两向量夹角的见解：设有两个非零向量a和b，任取空间一点O

27、，作OAa，OBb，规定不超出的AOB称为向量a和b的夹角，记为(a,b)空间一点A在轴u上的投影：经过点A作轴u的垂直平面，该平面与轴u的交点A叫做点A在轴u上的投影。向量AB在轴u上的投影：设已知向量AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别为点A和B，那么轴u上的有向线段的值AB叫做向量AB在轴u上的投影，记做PrjuAB。2投影定理性质1：向量在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：PrjuABABcos性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即Prju(a1a2)Prja1Prja2性质3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即P

28、rju(a)Prja注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有实质差别。向量a在坐标轴上的投影是三个数ax、ay、az，向量a在坐标轴上的分向量是三个向量axi、ayj、azk.2向量运算的坐标表示设aax,ay,az，bbx,by,bz即aaxiayjazk，bbxibyjbzk放弃很简单，但你坚持终究的样子必定很酷！14所谓的光芒岁月，其实不是此后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。则(1)加法：ab(axbx)i(ayby)j(azbz)k减法：ab(axbx)i(ayby)j(azbz)k乘数：a(ax)i(ay)j(az)k或abaxbx,ayby,azbzaba

29、xbx,ayby,azbzaax,ay,az平行：若a0时，向量b/a相当于ba，即bx,by,bzax,ay,az也相当于向量的对应坐标成比率即bxbybzaxayaz三、向量的模与方向余弦的坐标表示式设aax,ay,az，能够用它与三个坐标轴的夹角、（均大于等于0，小于等于）来表示它的方向，称、为非零向量a的方向角，见图76，其余弦表示形式cos、cos、cos称为方向余弦。图761模aax2ay2az22方向余弦axM1M2cosacos由性质1知ayM1M2cosacos，当aax2ay2az20时，有azM1M2cosacos放弃很简单，但你坚持终究的样子必定很酷！15所谓的光芒岁月

30、，其实不是此后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。cosaxaxaax2ay2az2cosayayaax2ay2az2cosazazaax2ay2az2随意愿量的方向余弦有性质：cos2cos2cos21与非零向量a同方向的单位向量为：a0a1cos,cos,cosaax,ay,aza3.2立体集几何中的向量方法利用向量方法求解空间距离问题，能够回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转变成向量间的计算问题例如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC平面ABCD，且GC2，求点B到平面EFG的距离解析：由题设可知CG、CB、CD两两互相垂直，能够由此成立空

31、间直角坐标系用向量法求解，就是求出过B且垂直于平面EFG的向量，它的长即为点B到平面EFG的距离解：如图，设CD4i，CB4j，CG2k，以i、j、k为坐标向量成立空间直角坐标系Cxyz由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)BE(2,0,0)，BF(4,2,0)，BG(0,4,2)，GE(2,4,2)，EF(2,2,0)设BM平面EFG，M为垂足，则M、G、E、F四点共面，由共面向量定理知，存在实数a、b、c，使得BMaBEbBFcBG(abc1)，BMa(2,0,0)b(4,2,0)c(0,4,2)(

32、2a+4b,2b4c,2c)由BM平面EFG，得BMGE，BMEF，于是BMGE0，BMEF0(2a4b,2b4c,2c)(2,4,2)0(2a4b,2b4c,2c)(2,2,0)0abc1放弃很简单，但你坚持终究的样子必定很酷！16所谓的光芒岁月，其实不是此后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。a15a5c0117整理得：a3b2c0，解得babc1113c11BM(2a+4b,2b4c,2c)(2,2,6)111111222211262|BM|11111111211故点B到平面EFG的距离为说明：用向量法求点到平面的距离，经常不用作出垂线段，只需利用垂足在平面内、共面向量定理、两

33、个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就能够了例2已知正方体ABCDABCD的棱长为1，求直线DA与AC的距离解析：设异面直线DA、AC的公垂线是直线l，则线段AA在直线l上的射影就是两异面直线的公垂线段，因此本题能够利用向量的数量积的几何意义求解解：如图，设BAi，BCj，BBk，以i、j、k为坐标向量成立空间直角坐标系Bxyz，则有A(1,0,0)，D(1,1,1)，A(1,0,1)，C(0,1,1)DA(0,1,1)，AC(1,1,0)，AA(0,0,1)设n(x,y,z)是直线l方向上的单位向量，则x2y2z21nDA，nAC，yz033xy0，解得xyz或xyzx2y2z2133取

34、n(3,3,3)，则向量AA在直线l上的投影为333nAA(3,3,3)(0,0,1)33333放弃很简单，但你坚持终究的样子必定很酷！17所谓的光芒岁月，其实不是此后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。由两个向量的数量积的几何意义知，直线DA与AC的距离为33向量的内积与二面角的计算在高等代数与解析几何课程第一章向量代数的授课中，讲到几何空间的内积时，有一个例题（见1，p53）要求证明以下的公式：coscoscossinsincos,(1)其中点O是二面角P-MN-Q的棱MN上的点，OA、OB分别在平面P和平面Q内。AON，BON，AOB。为二面角P-MN-Q（见图1）。zPDAaNyMObxBQ图1公式（1）能够利用向量的内积来加以证明：以Q为坐标平面，直线MN为y轴，如图1成立直角坐标系。记xOz平面与平面P的交线为射线OD，则ODMN，得AOD，DOx，DOz。22分别沿射线OA、OB的方向上作单位向量a，b，则a,b。由计算知a，b的坐标分别为(sincos,cos,sinsin)，(sin,cos,0)，于是，absinsincos。cosabcoscos|a|b|公式（1）在立体几何计算二面角的平面角时是合用的。我们来介绍以下的两个应用。放弃很简单，但你坚持终究的样子必定很酷！18所谓的光芒岁月，其实