线性不确定系统极小极大控制

1、8/25/20221线性不确定系统的极小极大控制东北大学信息科学与工程学院井元伟教授二八年十二月8/25/20222 1 引言2 基本概念和预备知识3 不确定连续系统的极小极大控制5 结 论 4 不确定离散系统的极小极大控制3 1 引言稳定性和性能 控制系统设计中至关重要的问题。外界的干扰和系统自身的不确定性 破坏系统的稳定性和性能。随着干扰增大系统的状态会逐渐偏离平衡点并且控制的能量变大。为了保证投入比较小的控制能量，使得充分大的干扰对系统的状态和输出的影响降低到最小，并且保证系统是稳定的，引入极小极大控制方法。8/25/20224 极小极大2 基本概念和预备知识8/25/20225 极小极

2、大2 基本概念和预备知识定义：极小极大控制：针对不确定系统和相应的性能指标8/25/20226 极小极大2 基本概念和预备知识定义：极小极大控制：针对不确定系统和相应的性能指标如果存在一个控制律和一个正数8/25/20227 极小极大2 基本概念和预备知识定义：极小极大控制：针对不确定系统和相应的性能指标如果存在一个控制律和一个正数在系统所能承受的最坏干扰和最大不确定性下，闭环系统是渐近稳定的，闭环性能指标达到极小且8/25/20228 极小极大2 基本概念和预备知识定义：极小极大控制：针对不确定系统和相应的性能指标如果存在一个控制律和一个正数在系统所能承受的最坏干扰和最大不确定性下，闭环系统

3、是渐近稳定的，闭环性能指标达到极小且8/25/20229 极小极大2 基本概念和预备知识定义：极小极大控制：针对不确定系统和相应的性能指标如果存在一个控制律和一个正数在系统所能承受的最坏干扰和最大不确定性下，闭环系统是渐近稳定的，闭环性能指标达到极小且称为一个性能上界，称为极小极大鲁棒控制律。8/25/202210 极小极大性能指标8/25/202211 极小极大性能指标8/25/202212 极小极大性能指标其中， 8/25/202213 极小极大性能指标其中， 8/25/202214 极小极大性能指标其中， 表示系统所有的干扰和容许的不确定性。8/25/202215 极小极大物理意义和目的

4、 物理意义： 极小极大控制，针对干扰和不确定性最坏的情形，讨论的是，如何控制系统的稳定性和性能，使得系统在整个时间过程中状态偏差、控制消耗能量和终值精度等几方面综合性能指标最小。8/25/202216 极小极大 目的： 具有二次型性能指标的控制系统可视为一个调节系统。所谓调节就是使偏离平衡位置的状态在控制变量的作用下尽可能地回到平衡位置上。 若把零状态作为平衡状态，调节的目的就是使8/25/202217 极小极大 目的： 具有二次型性能指标的控制系统可视为一个调节系统。所谓调节就是使偏离平衡位置的状态在控制变量的作用下尽可能地回到平衡位置上。 若把零状态作为平衡状态，调节的目的就是使8/25/

5、202218 极小极大 目的： 具有二次型性能指标的控制系统可视为一个调节系统。所谓调节就是使偏离平衡位置的状态在控制变量的作用下尽可能地回到平衡位置上。 若把零状态作为平衡状态，调节的目的就是使尽量接近于零状态，这就相当于使积分8/25/202219 极小极大 目的： 具有二次型性能指标的控制系统可视为一个调节系统。所谓调节就是使偏离平衡位置的状态在控制变量的作用下尽可能地回到平衡位置上。 若把零状态作为平衡状态，调节的目的就是使尽量接近于零状态，这就相当于使积分尽可能地小。 8/25/202220 极小极大 另一方面在调节的过程中又不希望所消耗的能量过大，这就相当于要求积分8/25/202

6、221 极小极大 另一方面在调节的过程中又不希望所消耗的能量过大，这就相当于要求积分8/25/202222 极小极大 另一方面在调节的过程中又不希望所消耗的能量过大，这就相当于要求积分尽可能的小。 而极小极大控制问题充分考虑到干扰和不确定性的影响，希望在干扰和不确定性尽可能大的情形下寻求一个使得性能指标最小的控制。8/25/202223 极小极大3 不确定连续系统的极小极大控制8/25/202224 极小极大3 不确定连续系统的极小极大控制系统描述考虑不确定线性连续系统为8/25/202225 极小极大3 不确定连续系统的极小极大控制系统描述考虑不确定线性连续系统为 (3.1)其中，8/25/

7、202226 极小极大3 不确定连续系统的极小极大控制系统描述考虑不确定线性连续系统为 (3.1)其中，系统的状态向量8/25/202227 极小极大3 不确定连续系统的极小极大控制系统描述考虑不确定线性连续系统为 (3.1)其中，系统的状态向量系统的控制向量8/25/202228 极小极大3 不确定连续系统的极小极大控制系统描述考虑不确定线性连续系统为 (3.1)其中，系统的状态向量系统的控制向量系统的干扰向量8/25/202229 极小极大3 不确定连续系统的极小极大控制系统描述考虑不确定线性连续系统为 (3.1)其中，系统的状态向量系统的控制向量系统的干扰向量给定的相应维数的矩阵8/25

8、/202230 极小极大3 不确定连续系统的极小极大控制系统描述考虑不确定线性连续系统为 (3.1)其中，系统的状态向量系统的控制向量系统的干扰向量给定的相应维数的矩阵可测的矩阵函数，且对于所有的满足 (3.2) 8/25/202231 极小极大考虑性能指标泛函为8/25/202232 极小极大 (3.3)其中，考虑性能指标泛函为8/25/202233 极小极大 (3.3)其中，考虑性能指标泛函为8/25/202234 极小极大 (3.3)其中，表示系统所有的干扰和容许的不确定性。 针对不确定系统(3.1)和性能指标(3.3)，当干扰对系统的破坏最大时，设计一个状态反馈控制律考虑性能指标泛函为

9、8/25/202235 极小极大 (3.3)其中，表示系统所有的干扰和容许的不确定性。 针对不确定系统(3.1)和性能指标(3.3)，当干扰对系统的破坏最大时，设计一个状态反馈控制律考虑性能指标泛函为8/25/202236 极小极大 (3.3)其中，表示系统所有的干扰和容许的不确定性。 针对不确定系统(3.1)和性能指标(3.3)，当干扰对系统的破坏最大时，设计一个状态反馈控制律考虑性能指标泛函为 (3.4)使得闭环系统渐近稳定且性能指标的值达到最小。8/25/202237 极小极大将系统(3.1)记为如下的等价系统8/25/202238 极小极大 (3.5)其中，将系统(3.1)记为如下的等

10、价系统8/25/202239 极小极大 (3.5)其中，将系统(3.1)记为如下的等价系统8/25/202240 极小极大 (3.5)其中，将系统(3.1)记为如下的等价系统8/25/202241 极小极大 极小极大控制律设计定理：对于不确定系统(3.5)和性能指标(3.3), 如果存在对称正定矩阵8/25/202242 极小极大 极小极大控制律设计定理：对于不确定系统(3.5)和性能指标(3.3), 如果存在对称正定矩阵满足下列不等式8/25/202243 极小极大 极小极大控制律设计定理：对于不确定系统(3.5)和性能指标(3.3), 如果存在对称正定矩阵满足下列不等式 (3.6)8/25

11、/202244 极小极大 极小极大控制律设计定理：对于不确定系统(3.5)和性能指标(3.3), 如果存在对称正定矩阵满足下列不等式 (3.6) (3.7)则 8/25/202245 极小极大 极小极大控制律设计定理：对于不确定系统(3.5)和性能指标(3.3), 如果存在对称正定矩阵满足下列不等式 (3.6) (3.7)则 8/25/202246 极小极大 极小极大控制律设计定理：对于不确定系统(3.5)和性能指标(3.3), 如果存在对称正定矩阵满足下列不等式 (3.6) (3.7)则 为系统(3.1)的极小极大鲁棒控制器，且性能指标满足8/25/202247 极小极大 极小极大控制律设计

12、定理：对于不确定系统(3.5)和性能指标(3.3), 如果存在对称正定矩阵满足下列不等式 (3.6) (3.7)则 为系统(3.1)的极小极大鲁棒控制器，且性能指标满足8/25/202248 极小极大4 不确定离散系统的极小极大控制8/25/202249 极小极大4 不确定离散系统的极小极大控制系统描述考虑不确定离散系统8/25/202250 极小极大4 不确定离散系统的极小极大控制系统描述考虑不确定离散系统 (4.1)8/25/202251 极小极大4 不确定离散系统的极小极大控制系统描述考虑不确定离散系统 (4.1)为系统的可量测状态向量，8/25/202252 极小极大4 不确定离散系统

13、的极小极大控制系统描述考虑不确定离散系统 (4.1)为系统的可量测状态向量，为系统的控制向量，8/25/202253 极小极大4 不确定离散系统的极小极大控制系统描述考虑不确定离散系统 (4.1)为系统的可量测状态向量，为系统的控制向量， 为系统的干扰。不确定性满足范数有界条件8/25/202254 极小极大4 不确定离散系统的极小极大控制 (4.2)其中，系统描述考虑不确定离散系统 (4.1)为系统的可量测状态向量，为系统的控制向量， 为系统的干扰。不确定性满足范数有界条件8/25/202255 极小极大4 不确定离散系统的极小极大控制 (4.2)其中，系统描述考虑不确定离散系统 (4.1)

14、为系统的可量测状态向量，为系统的控制向量， 为系统的干扰。不确定性满足范数有界条件是已知给定的具有相应维数的矩阵，且属于下列集合(4.3)8/25/202256 极小极大考虑如下性能指标8/25/202257 极小极大考虑如下性能指标 (4.4)其中，8/25/202258 极小极大 (4.4)其中，考虑如下性能指标是和不确定性有关的，且8/25/202259 极小极大 (4.4)其中，考虑如下性能指标是和不确定性有关的，且8/25/202260 极小极大 (4.4)其中，考虑如下性能指标是和不确定性有关的，且根据不确定性范数有界条件，系统(4.1)可记为8/25/202261 极小极大 (4

15、.4)其中，考虑如下性能指标是和不确定性有关的，且根据不确定性范数有界条件，系统(4.1)可记为 (4.5)其中，8/25/202262 极小极大 (4.4)其中，考虑如下性能指标是和不确定性有关的，且根据不确定性范数有界条件，系统(4.1)可记为 (4.5)其中，8/25/202263 极小极大不确定离散系统的极小极大控制律设计8/25/202264 极小极大定义4.1 如果系统干扰的范数是有界的，即不确定离散系统的极小极大控制律设计8/25/202265 极小极大定义4.1 如果系统干扰的范数是有界的，即不确定离散系统的极小极大控制律设计8/25/202266 极小极大定义4.1 如果系统

16、干扰的范数是有界的，即则称其是容许的。引理 4.1 对于任意的不确定离散系统的极小极大控制律设计8/25/202267 极小极大定义4.1 如果系统干扰的范数是有界的，即则称其是容许的。引理 4.1 对于任意的，给定矩阵，都有不确定离散系统的极小极大控制律设计8/25/202268 极小极大定义4.1 如果系统干扰的范数是有界的，即则称其是容许的。引理 4.1 对于任意的，给定矩阵，都有. (4.6)成立。其中，不确定离散系统的极小极大控制律设计8/25/202269 极小极大引理 4.2 针对线性离散系统8/25/202270 极小极大引理 4.2 针对线性离散系统8/25/202271 极

17、小极大引理 4.2 针对线性离散系统若对于给定的非负定对称矩阵，存在正定矩阵8/25/202272 极小极大引理 4.2 针对线性离散系统若对于给定的非负定对称矩阵，存在正定矩阵使方程有解且， 8/25/202273 极小极大引理 4.2 针对线性离散系统若对于给定的非负定对称矩阵，存在正定矩阵使方程有解且， 8/25/202274 极小极大引理 4.2 针对线性离散系统若对于给定的非负定对称矩阵，存在正定矩阵使方程有解且， 是稳定的，则针对性能指标(4.4)，该系统的极小极大控制就是应用局部检验方法求得的局部极小极大控制。且在此情况下有8/25/202275 极小极大引理 4.2 针对线性离

18、散系统若对于给定的非负定对称矩阵，存在正定矩阵使方程有解且， 是稳定的，则针对性能指标(4.4)，该系统的极小极大控制就是应用局部检验方法求得的局部极小极大控制。且在此情况下有8/25/202276 极小极大 为由局部极小极大控制和最坏干扰所构成闭环系统的系数矩阵。 引理 4.2 针对线性离散系统若对于给定的非负定对称矩阵，存在正定矩阵使方程有解且， 是稳定的，则针对性能指标(4.4)，该系统的极小极大控制就是应用局部检验方法求得的局部极小极大控制。且在此情况下有其中，8/25/202277 极小极大定理4 针对系统(4.1)，若存在某些常数，及正定矩阵和8/25/202278 极小极大定理4

19、 针对系统(4.1)，若存在某些常数，及正定矩阵和满足下列条件 8/25/202279 极小极大定理4 针对系统(4.1)，若存在某些常数，及正定矩阵和满足下列条件 (4.7)8/25/202280 极小极大定理4 针对系统(4.1)，若存在某些常数，及正定矩阵和满足下列条件 (4.7) (4.8)且闭环系统系数矩阵稳定，则 8/25/202281 极小极大定理4 针对系统(4.1)，若存在某些常数，及正定矩阵和满足下列条件 (4.7) (4.8)且闭环系统系数矩阵稳定，则 是使性能指标(4.4)（其中取 ）在最坏干扰下取得极小值的鲁棒控制器，并且有其中，8/25/202282 极小极大定理4