2019届上海市建平中学高三三模数学试题(解析版)

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业2019届上海市建平中学高三三模数学试题一、单选题1若实数、满足，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】根据不等式组作出可行域，根据的几何意义：可行域内的点与原点连线的斜率，据此计算出的取值范围.【详解】作出可行域如下图：由图可知：当点在直线上时，此时斜率最小为：，当点靠近轴上，此时斜率，所以.故选：D.【点睛】线性规划中常见的几种非线性目标函数的几何意义：（1），表示可行域内的点与点连线的斜率；（2），表示可行域内的点到点的距离；（3），表示可行域内的

2、点到直线距离的倍.2设，则的值为（ ）A2B0CD1【答案】C【解析】分别令和即可求得结果.【详解】令，可得：令，可得： 故选：【点睛】本题考查二项展开式系数和的相关计算，关键是采用赋值的方式构造出所求式子的形式.3若函数的最小值3，则实数的值为（ ）A5或8B或5C或D或【答案】D【解析】试题分析：由题意，当时，即，则当时，解得或（舍）；当时，即，则当时，解得（舍）或；当时，即，此时，不满足题意，所以或，故选D.4已知异面直线、成60角，其公垂线段为，长为4的线段的两端点分别在直线、上运动，则中点的轨迹为（ ）A.椭圆B.双曲线C.圆D.以上都不是【答案】A【解析】根据条件画出合适的示意图，

3、确定的中点所在的平面，建立合适坐标系，先根据余弦定理求出之间的关系，然后利用的坐标形式表示出之间的关系，由此得到对应的轨迹形状.【详解】如图所示：设的中点为，过作的垂面，则的中点必在平面内，设在平面内的射影点为，因为，所以，以的角平分线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示：设，由余弦定理可知：，所以，又因为，设，所以，所以，将上述结果代入等式中化简可得：，故轨迹是椭圆.故选：A.【点睛】本题考查立体几何中的轨迹问题，难度较难.处理立体几何中的轨迹问题的方法：首先根据空间中的点线面位置关系确定出线段的长度，然后将问题统一到一个平面中并在该平面中建立合适的平面直角坐标系，借用坐标表示线段间的

4、长度关系，进而化简可得轨迹方程即可判断轨迹形状.二、填空题5已知集合，则_.【答案】【解析】根据对数不等式以及分式不等式的解法求解出对应解集即为集合，然后由交集运算计算出的结果.【详解】因为，所以，所以，又因为，所以，所以，则.故答案为：.【点睛】（1）解分式不等式注意将其先转变为整式不等式的形式，然后再求解集；（2）解对数不等式时要注意到对数的真数大于零这一隐含条件.6已知复数满足，则_【答案】0【解析】先根据复数的除法计算出的结果，然后即可判断出的实部是多少.【详解】因为，所以.故答案为：.【点睛】本题考查复数的除法运算以及复数的虚、实部辨别，难度较易.复数的除法运算时注意分母实数化.7已

5、知点、，则的面积是_.【答案】【解析】根据以及、计算出的值，然后根据面积公式计算出三角形面积.【详解】因为，所以，；所以，所以，所以；故.故答案为：.【点睛】本题考查根据点的坐标求解三角形面积，难度较易.本例的另一种思路：求解出三条边的长度，利用余弦定理求解出其中一个角的余弦然后求其正弦，最后利用面积公式求三角形面积.8若是奇函数，则 【答案】【解析】，故。9已知直线与平行，则的值是_【答案】3或5【解析】由两直线平行得，当时，两直线的方程分别为与，显然两直线平行，当时，由，可得，综上所述， 的值是或，故答案为或.【方法点睛】本题主要考查直线的方程，两条直线平行与斜率的关系，属于简单题. 对直

6、线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1） ；（2），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.10若不等式的解集为，则实数的值为_【答案】【解析】【详解】因为不等式的解集（舍），,，故答案为.11设函数的反函数为，则的值域为_.【答案】【解析】利用反函数的值域就是原函数的定义域这一结论，根据对数的真数大于零、根号下被开方数大于等于零求解出定义域即为的值域.【详解】因为，所以，所以，又因为根据反函数与原函数的关系可知：定义域即为的值域，即为.故答案为：.【点睛】本题考

7、查反函数与原函数的关系，难度较易.注意原函数的定义域和反函数的值域是相同的.12某几何体由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成，其三视图如图所示（单位：厘米），则该几何体的体积（单位：立方厘米）是_.【答案】【解析】根据三视图确定出三棱锥的底面是一个等腰直角三角形且直角边长度都是，高为；半圆锥的底面是半径为的半圆，高为；据此计算出该几何体的体积.【详解】由三视图可知，三棱锥的体积：；半圆锥体积：，所以总体积为：.故答案为：.【点睛】本题考查空间几何体的体积计算，难度较易.计算组合体的体积时，可将几何体拆分为几个容易求解的常见几何体，然后根据体积公式完成求解.13已知方程表示的曲线为，任取，则曲线表示

8、焦距等于的椭圆的概率等于_.【答案】【解析】根据焦距为可知，由此可计算满足条件的的组数，再根据总的组数可利用古典概型概率计算公式完成概率求解.【详解】所有可能的的组数为：，又因为焦距，所以，所以，则满足条件的有：，共组，所以概率为：.故答案为：.【点睛】椭圆的标准方程有两种，确定椭圆方程时要防止遗漏.确定椭圆需要两个条件：（1）焦点在哪条坐标轴上（定位），（2）确定的值（定量），因此如果定位条件不足应分类讨论.14已知 和的图像的对称轴完全相同，则时，的取值范围是_.【答案】【解析】首先根据与对称轴相同得到与周期相同，由此计算出的值；再根据求解出的范围，根据的单调性确定的取值范围.【详解】因为

9、与对称轴相同，所以与周期相同，所以，所以；又因为，所以，所以，所以.故答案为：.【点睛】（1）当正弦型函数与余弦型函数的对称轴相同时，则两个函数对应的的绝对值也相同；（2）求解正弦型函数的值域，可采用整体替换的方法令，计算出的取值范围即为的值域.15已知双曲线 ，过双曲线上任意一点分别作斜率为和的两条直线和，设直线与轴、轴所围成的三角形的面积为，直线与轴、轴所围成的三角形的面积为，则的值为_.【答案】【解析】设出点坐标，根据点斜式方程写出的方程，并求出与坐标轴交点的坐标，从而可求出的值，最后计算并化简的结果.【详解】设，所以，令，所以，令，所以，所以；又，令，所以，令，所以，所以；所以.故答案

10、为：.【点睛】本题考查双曲线中的定值问题的计算，难度一般.定值问题的计算步骤：（1）根据条件列出已知量；（2）表示出待求值，运用双曲线的方程做变形、化简，最后得到结果.16已知平面向量、满足，设，则_.【答案】【解析】根据条件求解出、的值，根据，利用向量的三角不等式形式：，求解出的范围.【详解】因为且，所以；又因为，所以；由，所以；根据可知：，左端取等号时：三点共线且在线段外且靠近点；右端取等号时，三点共线且在线段外且靠近点，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查向量的三角不等式的运用，难度较难.向量的三角不等式形式：已知向量，则，取左端等号时与反向，取右端等号时与同向.三、解答题17如图：

11、四面体的底面是直角三角形，平面，是上的动点（不包括端点）. （1）求证：与不垂直；（2）当时，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）利用反证法，先假设与垂直，然后根据条件推出与题设矛盾的结论，即可证明出与不垂直；（2）先作辅助线，利用以及平面得到平面，由此得到，从而确定出点位置，再由得到结果.【详解】（1）假设，因为平面，所以，且，所以平面，又因为平面，所以，又因为由条件可知，所以不成立，故假设不成立，所以与不垂直；（2）过作，交于，连接，因为，且，所以平面，因为，所以平面，所以，又因为，所以平面，所以，又，所以，所以，所以，所以，所以由相似可知.【点睛】本题考查空间中的垂直

12、关系的判断与证明，难度一般.空间中的不平行、不垂直关系的证明，如果正面证明比较麻烦，可采用反证法去证明.18已知复数，为虚数单位，.（1）若为实数，求的值；（2）若复数、对应的向量分别是、，存在使等式成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先计算出出所表示的复数，然后根据为实数让对应的复数的虚部为即可计算出的值；（2）先表示出、，然后根据有解得到关于的等式，根据的范围计算出三角函数部分的取值范围，然后再根据等式有解计算出的范围.【详解】（1），因为为实数，所以，所以，又因为，所以；（2）因为，所以，又因为存在使等式成立，所以在上有解，所以在上有解，又因为，所以，所以，解得

13、.【点睛】本题考查复数的判断和复数与向量以及三角函数的综合，难度一般.（1）复数，如果为实数，则虚部；（2）复数对应的向量是.（3）计算正弦型函数的值域时注意采用整体替换的思想和利用正弦函数的单调性求解.19某海域有两个岛屿，岛在岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线，曾有渔船在距岛、岛距离和为8海里处发出过鱼群。以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系.（1）求曲线的标准方程；（2）某日，研究人员在两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），两岛收到鱼群在处反射信号的时间比为，问你能否确定处的位置（即点的坐标）？【答案】（1）；（2）点的坐标为

14、或。【解析】试题分析：（1）由题意知曲线是以、为焦点且长轴长为8的椭圆 3分又，则，故5分所以曲线的方程是6分（2）由于、两岛收到鱼群发射信号的时间比为，因此设此时距、两岛的距离分别比为7分即鱼群分别距、两岛的距离为5海里和3海里。 8分设，由， 10分， 12分13分点的坐标为或14分【考点】本题主要考查椭圆的定义、标准方程，椭圆与圆的位置关系。点评：中档题，利用椭圆的定义，明确曲线是椭圆并求得其标准方程为，作为实际问题解决，很好的体现了数学的妙用。20已知函数.（1）若满足为上奇函数且为上偶函数，求的值；（2）若函数满足对恒成立，函数，求证：函数是周期函数，并写出的一个正周期；（3）对于函

15、数，若对恒成立，则称函数是“广义周期函数”， 是其一个广义周期，若二次函数的广义周期为（不恒成立），试利用广义周期函数定义证明：对任意的，成立的充要条件是.【答案】（1）0；（2）证明见解析，正周期为24；（3）证明见解析【解析】（1）根据奇偶函数得到关于等式，对等式进行变形可得到的周期，再采用赋值的方法计算出的值；（2）讨论与的关系，然后根据与周期的公倍数可求得的一个正周期；（3）从充分性和必要性两个方面分别证明.【详解】（1）因为满足为上奇函数，所以，所以，又因为满足为上偶函数，所以，所以，所以有，所以，所以，所以，所以的一个周期为，又因为，所以，又因为，所以，又因为，所以，所以；（2）因

16、为，所以，因为，所以，所以是周期函数，一个正周期为；（3）充分性：当时，此时，所以充分性满足；必要性：因为二次函数的广义周期为，所以，所以，所以，又因为不恒成立，所以，所以，又因为，所以，由可知：，即，所以必要性满足.所以：对任意的，成立的充要条件是.【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、周期性以及新定义问题，难度较难.（1）利用奇偶性以及对称性去判断函数的周期时：首先根据奇偶性以及对称性写出对应的函数抽象表达形式，然后联立两个及两个以上的等式得到形如的结构即可求解出周期；（2）充分必要条件的证明：证明的时候分两步走：充分性证明，必要性证明，缺一不可.21已知，为两非零有理数列（即对任意的，均为有理数），为一无理数列（即对任意的，为无理数）（1）已知，并且对任意的恒成立，试求的通项公式（2）若为有理数列，试证明：对任意的，恒成立的充要条件为（3）已知，对任意的，恒成立，试计算【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）【解析】试题分析：（1）直接运用题设中的条件解方程求解；（2）借助题设条件运用充分必要条件进行求解；（3）依据题设条件和三角函数的有关知识进行综合求解试题解析