高数试卷08-11a、b c10二答案

1、大学 20102011 学年第二学期高等数学 A（二）、B（二）期末试卷（A 卷）参考与评分标准一、填空题（每小题 2 分，共 10 分）181 1 y2y11 (1, 2, 2) ；35520；3 dyf (x, y)dx ；4 ；20二、选择题（每小题 2 分，共 10 分）1D；2 C；3B；4B；5A三、计算题（其中第 1、2、3 小题每小题 10 分，第 4、5 小题每小题 12 分，共 54 分）1 解 设 f (x, y) arctan y ，x y 1 ， f (1,1) x 1则 f (1,1) xx2 y2yx2 y222(1,1)(1,1)故所求切平面方程为 1 (x 1

2、) 1 ( y 1) (1)(z ) 0 ，2整理得 x y 2z 224z x 1y 1 4法线方程为，1/ 21/ 21z 整理得 x 1 y 1 41122 解 空间区域 在 xoy 平面上的投影为 D (x, y) | x2 y2 4zdz)dxdy 1 16 (x2 y2 )2 dxdy4 2则 原式(x y22DD 8 dxdy 1 (x2 y2 )2 dxdy 1222 dr rdr432200DD3 解 将曲面 向 zox 平面投影得 Dzx (x, y) | 1 x 1, 0 z 1 第 1 页 y 2 y 2x21dS 1 x z dzdx 11 x20dzdx dzdx

3、1 x2 211dz 1 zdx11由对称性原式 2 1 z2 2 dzdx 221 x211 x20Dzx 2) ln 2 ln 1 x 2 4 解 (1)f (2(1)n1当 x (1,1 时, ln(1 x) n1nx n(1)n1x 2(1,1 时, 即 x (0, 4 时, ln x ln 2 n1(x 2) n故当n 2n2(1)n1ln 3 ln 2 n1(2) 在(1)中, 令 x 3,n 2n于是n1(1)n1 ln 3 ln 2 n 2n 1 u v u v5 (1) 方程组两边同时对 x 求偏导数得xxuv0 cos u sin vxxu , v sin vcos u解方

4、程xu cos u v sin v xu cos u v sin v(2) 方程sin z xyz 0 两边同时对 y 求偏导得cos z z x(z y z ) 0 , (*)yy由此可知z xzycos z xy z 22 zzz2 z方程(*)两边再对 y 求偏导得sin z cos z y2 x( y y y y2 ) 0y由此解得z z 22 zx2 z2 sin z 2x2 z cos z 2x3 yz1y2 cos z xy sin z y 2x y (cos z xy)3四、应用题（每小题 8 分，共 16 分）第 2 页1 解 构造 Lagrange 函数L(x, y, z,

5、 , ) x 2 y 3z (x2 y2 2) ( y z 1) 求偏导得 Lx 1 2 x, Ly 2 2 y , Lz 3 , L x2 y2 2, L y z 1,联立解得 x 1, y 1, z 0 或 x 1, y 1, z 2 代入原函数得 f (1,1, 0) 1, f (1, 1, 2) 5 故所求最大值为 5, 最小值为1.2 解 所求金属丝的质量为m L ds 弧微分ds x (t)2 y (t)2 z (t)2 dt 3etdt 13213et dt (1 e1 ) 12t故m 3et dt 2e200五、证明题（每小题 5 分，共 10 分）2011 xx1 证明 设

6、f (x) ，则 f (x) ，显然 x 2011 时， x 20112 x (x 2011)f (x) 0 ，即 f (x) 单调递减. 从而当 n 2011 时,f (n) 单调递减. 又因为lim n 0 , 故由 Leibniz 判别法可知,(1)n1 n 收敛.n n 2011n 2011n1n1nn1 1 ,另一方面,因为limn发散, 故由比较判别法极限形式可知,n 2011nnnn1发散. 综上所述可知, (1)n1n1条件收敛.n 2011n 20112. 证明：由 Stokes 公式左 (Ry Qz ) cos (Pz Rx ) cos (Qx Py ) cos dSQ2 (cos2 cos2 cos2