新课标选修2-3、41傻瓜化与智能解题第5讲几何证明选讲

1、网络课程讲义几何证明选讲教 师：爱护环境，从我做起，提倡使用几何证明选讲1. 相似与三角函数基础秘诀（问中学）问1两种数形推理？它有哪些基本方法？为什么新课标开设几何证明选讲？问2“全等形法”和“相似形法”是什么推理？总结三角形全等、三角形相似的判定定理和性质定理.问3写出平行截割定理、等比定理，并总结比例性质.写出锐角三角函数的定义式和 Rt射影定理，并概括成傻瓜表：“直角三角形边角关系”.问4范例评注（例中学）例1 在正方形 ABCD 中，E、F 分别为 AB、BC 的中点，求证：DEAF.DCFABE 第 1 页 址：（9：0021：00 everyday）“名师” 答疑室随时随地提问互

2、动例2 标准矩形FDC长宽之比为 2 :1 的矩形叫做标准矩形. 在标准矩形 ABCD 中两长边中点分别为 E、F（如图），求证：ACBF.AEB例3 如图， 在并连的三个正方形格子中，求证：+ = 90.例4试给出勾股定理的两个证法.例5已知 RtABC 的斜边 AB = c，CB = a，CA = b，斜边上的高 CD = h.111 ;（1）求证：Ch2a2b2（2） BD DA;（3） SCBD : SCAD : SCAB .ABD例6如图，在梯形 ABCD 中，已知上底 AD = 4cm，下底 BC = 12cm，高为 6cm.求面积 SAAOD .ADOBC 第 2 页 址：（9：

3、0021：00 everyday）例7 已知锐角ABC 的 BC 边长为 6，面积为 12，平行于 BC 边的直线分别与 AB、AC 交于 P、Q，以 PQ 为一边在点 A 异侧作正方形 PMNQ，设正方形 PMNQ 与ABC 的共同部分面积为 y，PQ 的长为 x.（1）x 为何值时，MN 在 BC 上？（2）求 y 的最大值.APQMNBC例8 已知矩形纸片 ABCD，AB=3，AD=6，如下图,先矩形纸对折,得折痕 MN，然后放平，再把 B 点叠在折痕线 MN 上，得折痕 AE，延长 EB 交 AD 于 F.求证AEF 是正三角形;求折痕 AE 的长.BCECMNNADADF例9 在正方

4、形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，连结 CE，作 BFCE，交 CA 于 F.求证：AEF=BEC.DCABE例10 如图， n +1 个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一直线上，设 B2 D1C1 的面积为 S1 ， B3 D2C2 的面积为 S2 ， Bn1DnCn 的面积为 Sn ，则 S2 =; Sn =（用含 n的式子表示）. 第 3 页 址：（9：0021：00 everyday）FB“名师” 答疑室 随时随地提问互动检测 1（做中学，用中学）在直角三角形 ABC 中，C=90， AC BC 1 AB2 ，则 ABC 的最小内角的大小为1.4AD2.如图，已知：在矩形 A

5、BCD 中，AB=3，BC=6，E 点内分 BC 为 2:1 两部分，DFAE 于 F，则 DF = .BCE在ABC 中，A 的平分线 AD 与边 BC 相交于点 D，求证： BD AB .3.DCACAB14.文改编） 如图，AA1 与边 BB1 相交于点 O，且 AB A1B1 ,2的外接圆的直径为 1 ，则A1OB1 的外接圆的直径为（2009O若AOBA1B1.AD5.已知：如图，在直角梯形 ABCD 中， AD BC ， DCB 90 ，AC BD 于点 O， DC 2, BC 4 ，求 AD 的长.OBCA6.如图，P 是正三角形ABC 内的一点，且 PA=3，PB=4，PC=5

6、.求APB 的大小;求正三角形的边长.PCB检测 11851. 152.3.解法 1平行截割定理； 解法 2正弦定理； 解法 3面积法DODC 222AD1, AD BC 1.4.25.提示：用正弦定理BCOBBC 2424旋转变换法 （1）APB =150;（2） AB 25 12 3.6. 第 4 页 址：（9：0021：00 everyday）F2. 圆的定理问1试建构“圆的定理表”.问2什么叫三角形的外心，内心，旁心，重心，垂心？试证明五心的存在.范例评注（例中学）例1 求证：圆的内接平行四边形必为矩形.DC例2 （2009 江苏）如图，在四边形 ABCD 中ABC BAD .求证：A

7、BCD.AB例3 如图，ABC 的中线 AM 交它的外接圆于点 P，求证：PBAB = PCAC.ACMBP 第 5 页 址：（9：0021：00 everyday）“名师” 答疑室随时随地提问互动例4 （2009 辽宁）已知 ABC 中，AB=AC，D 是ABC 外接圆劣弧 AC上的点（不与点 A，C 重合），延长 BD 至 E .（1）求证：AD 的延长线平分 CDE；（2）若 BAC=30， ABC 中 BC 边的高为 2+ 3 ，求 ABC外接圆的面积.例5 已知O1 和 O2 相交于 M、N 两点，P 为直线 MN 上一点，过点 P 的直线 l1、l2 分别交O1 于 A、B 两点，

8、交O2 于 C、D 两点.求证：四边形 ABDC 内接于一个圆.研究：两圆相切时，题中的结论还成立吗？PACMBO2O1Dl2lN1例6 ABC 的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为 H，AB 的中点为 D.求证：HC = 2OD. 第 6 页 址：（9：0021：00 everyday）例7 已知 RtABC 中，ACB=90，AC=6，BC=8.如图 1，若半径为 r1 的O1 是 RtABC 的内切圆，求 r1；如图 2，若半径为 r2 的两个等圆O1、O2 相外切，且O1 与 AC、AB 相切，O2 与 BC、 AB 相切，求 r2 .CCO1O1O2BABA图 1图 2例8如图

9、 1，在ABC 中，ACB 是直角，B=60，AD、CE 分别是BAC、BCA 的平分线，AD、CE 相交于点 F，请你判断并写出 FD 与 FE 之间的数量关系；如图 2，在ABC 中，如果ACB 不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.BBEDDFAACC图 1图 2 第 7 页 址：（9：0021：00 everyday）EF“名师” 答疑室 随时随地提问互动检测 2（做中学，用中学）1.（09 浙江）设向量a ， b 满足：| a | 3 ，| b | 4 ， a b 0 以a ， b ， a b 的模为边长三角

10、形，则它的边与半径为1 的圆的公共点个数最多为A 3B 4C 5D 6B2.）如图 4，点 A, B, C 是圆O 上的点，且 AB 4, ACB 450 ，（09O则圆O 的面积等于AC3.如图， PC 切O 于点C ，割线 PAB 经过圆心O ,弦CD AB 于点 E ，已知O 的半径为3 ， PA 2 ，则PC ， OE .CBEAPOD4.已知：如图，O 为ABC 的外接圆，BC 为O 的直径，作射线 BF ，使得 BA 平分CBF , 过点 A 作 AD BF 于点 D .求证： DA 为O 的切线;若 BD 1， tan BAD 1 ，求O 的半径.25.如图，两圆的公弦 AB=4，小圆的弦 AC 是大圆的切线，且 BC=2，大圆的弦 AD 是小圆的切线.求 BD 的长;求大圆与小圆的半径之比.ABCD 第 8 页 址：（9：0021：00 everyday）6.已知O1 和O2 外切于点 C，直线 AB 与O1 切于点 A，与O2 切于点 B，连结 AC、BC.求 R 的值.设O1 的半径