2021年广东地区中考数学真题与模拟试题精选汇编专题19 实际问题与二次函数-【含答案】

1、专题19：实际问题与二次函数-2021年广东地区中考数学真题试卷与模拟试题精选汇编一、单选题1（2021广东中考真题试卷）设O为坐标原点，点A、B为抛物线上的两个动点，且连接点A、B，过O作于点C，则点C到y轴距离的最大值（ ）ABCD1A设A(a，a)，B(b，b)，求出AB的解析式为，进而得到OD=1，由OCB=90可知，C点在以OD的中点E为圆心，以为半径的圆上运动，当CH为圆E半径时最大，由此即可求解解：如下图所示：过C点作y轴垂线，垂足为H，AB与x轴的交点为D，设A(a，a)，B(b，b)，其中a0，b0，OAOB，即，设AB的解析式为：，代入A(a，a)，解得：，即 ，C点在以O

2、D的中点E为圆心，以为半径的圆上运动，当CH为圆E的半径时，此时CH的长度最大，故CH的最大值为，故选：A【点评】本题考查了二次函数的性质，圆的相关知识等，本题的关键是求出AB与y轴交点的纵坐标始终为1，结合，由此确定点E的轨迹为圆进而求解2（2021广东广州市九年级二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在直线上运动，设的面积为，则下列图象中，能反映与的函数关系的是（ ）ABCDC根据题意得出临界点P点横坐标为1时，APO的面积为0，设直线与y轴交于点B，则B(0，2)，连接AB，利用割补法，得到S与m的函数，进而即可得到答案解：点P（m，n）在直线yx2上运动，当m1时，n1，即P点

3、在直线AO上，此时S0，设直线与y轴交于点B，则B(0，2)，连接AB，点A的坐标为，B(0，2)，是等腰直角三角形，且，当m1时，SAPO22-2m222m，S与m是一次函数关系，同理：当m1时，SAPO2m2，故S与m是一次函数关系，只有选项C符合题意故选：C【点评】此题主要考查了动点问题的函数图象，根据题意，得到S与m的函数解析式，是解题的关键3（2021广东佛山市九年级二模）如图，矩形中，点从点出发，沿方向移动，连接，过作交边于点，设点走的路程为，线段的长度为，则与之间函数图象大致为（ ）ABCDB分两种情况：当点P在BC边上时，当点P在CD边上时，分别求出y关于x的函数表达式，进而即

4、可得到答案解：当点P在BC边上时，1+2=90，2+3=90，1=3，又B=C，即：，=（0 x6），当点P在CD边上时，y=CP=x-6（6x10），符合题意的图像是：故选B【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，二次函数和一次函数的图像，掌握分类讨论思想方法以及相似三角形的判定和性质，是解题的关键4（2021广东深圳市九年级二模）如图，为直角三角形，四边形为矩形，且点、在同一条直线上，点与点重合以每秒的速度沿矩形的边向右平移，当点与点重合时停止设与矩形的重叠部分的面积为，运动时间能反映与之间函数关系的大致图象是（ ）ABCDA由勾股定理求出AB、AC的长，进一步求出ABC的面积，根据移

5、动特点有三种情况，分别求出每种情况y与x的关系式，利用关系式的特点（是一次函数还是二次函数）就能选出答案解：已知，由勾股定理得：，四边形为矩形，此题有三种情况：（1）当时，交于，如图，即，解得：，所以，抛物线开口向上；所以所选答案C错误，答案D错误，（2）当时，如图，此时，（3）当时，如图，设的面积是，的面积是，与（1）类同，同法可求，抛物线开口向下，所以答案A正确，答案B错误，故选：A【点评】本题主要考查了一次函数，二次函数的性质三角形的面积公式等知识点，解此题的关键是能根据移动规律把问题分成三种情况，并能求出每种情况的y与x的关系式5（2021广东佛山市九年级一模）如图，ABC中， AB=

6、10，tanA=12点P是斜边AB上一个动点过点P作PQAB， 垂足为P， 交边AC(或边CB) 于点Q， 设AP=x，APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（ ）A B C DB分点Q在AC上和BC上两种情况进行讨论即可解：当点Q在AC上时， tanA=12，AP=xPQ=12x，y=12APPQ=12x12x=14x2当点Q运动到点C时，CQ：AP=12，根据勾股定理可得AP=8，当x=8时，y=14x2=16当点Q在BC上时，如下图所示：PQAB,ACB=QPB AP=x，AB=10，tanA=12BP=10-x，PQ=2BP=20-2x，y=12APPQ=12x（20-2x）=

7、-x2+10 x该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下故选：B【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，函数图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力6（2021广东中山市九年级一模）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（ ）ABCDB解析动点P的运动过程，采用定量解析手段，求出S与t的函数关系式，根据关系式可以得出结论：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则：（

8、1）当点P在AB段运动时，PB=1t，（0t1）；（2）当点P在BA段运动时，PB=t1，（1t2）综上所述，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：（0t2），这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线结合题中各选项，只有B符合要求故选B7（2021广东华侨中学九年级二模）如图，已知的半径为3，弦，为上一动点（点与点、不重合），连接并延长交于点，交于点，为上一点，当时，则的最大值为（ ）A4B6C8D12C如图（见解析），先利用解直角三角形可得，再根据圆周角定理可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，设，从而可得，最后利用二次函数的性质求解即可得解：如图，延长交于点，连接，为的

9、半径，在中，即，由圆周角定理得：，在和中，即，设，则，且，由二次函数的性质可知，在内，当时，取最大值，最大值为4，即的最大值为4，则的最大值为，故选：C【点评】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、二次函数的几何应用等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形和直角三角形是解题关键8（2021广东深圳市南山学校九年级一模）如图，正方形的边长为a，点E在边上运动（不与点A，B重合），点F在射线上，且，与相交于点G，连接、则下列结论：；的周长为；的面积的最大值是；当时，G是线段的中点其中正确结论的个数是（）A2B3C4D5B正确如图1中，在BC上截取BHBE，连接EH证明FAEEHC（SAS）即

10、可解决问题错误如图2中，延长AD到H，使得DHBE，则CBECDH（SAS），再证明GCEGCH（SAS）即可解决问题正确设BEx，则AEax，AFx，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题正确当时，设DGx，则EGx，利用勾股定理构建方程可得x0.5a即可解决问题解：如图1中，在BC上截取BHBE，连接EHBEBH，EBH90，EHBE，AFBE，AFEH，DAMEHB45，BAD90，FAEEHC135，BABC，BEBH，AEHC，FAEEHC（SAS），EFEC，AEFECB，ECHCEB90，AEFCEB90，FEC90，ECFEFC45，故正确，如图2中，延长AD到H，使得D

11、HBE，则CBECDH（SAS），ECBDCH，ECHBCD90，ECGGCH45，CGCG，CECH，GCEGCH（SAS），EGGH，GHDGDH，DHBE，EGBEDG，故错误，AEG的周长AEEGAGAEAHADDHAEAEEBADABAD2a，故错误，设BEx，则AEax，AFx，SAEF（ax）xx2ax（x2axa2a2）（xa）2a2，0，xa时，AEF的面积的最大值为a2故正确，当BEa时，设DGx，则EGxa，在RtAEG中，则有（xa）2（ax）2（a）2，解得：x，AGGD，故正确，正确，正确结论的个数是3个，故选B【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，

12、二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题9（2021广东广州市西关外国语学校九年级一模）如图，RtABC中，C90，AB5cm，AC4cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AC向点C运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿ABC向点C运动，直到它们都到达点C为止若APQ的面积为S（cm2），点P的运动时间为t（s），则S与t的函数图象是（）ABCDD分两种情况讨论：当时，过作交于点，；当时，解：当时，点在上，过作交于点，中，当时，点在上，综上所述，正确的图象是故选：D【点评】本题考查动点运动，三角形面积点是点运动的分界点，将

13、运动过程分两种情况进行讨论是解题的关键10（2021广东佛山市九年级一模）如图，中，点P是斜边AB上任意一点，过点P作，垂足为P，交边或边于点Q，设，的面积为y，则y与x之间的函数图象大致是ABCDD【分析】首先过点C作CDAB于点D，由ABC中，ACB=90，A=30，可求得B的度数与AD的长，再分别从当012时与当12x16时，去分析求解即可求得答案【详解】ACB=90，A=30，AB=16，B=60，BC=AB=8，BCD=30，BD=BC=4，AD=ABBD=12如图1，当0AD12时，AP=x，PQ=APtan30=x，y=xx=x2；如图2：当12x16时，BP=ABAP=16x，

14、PQ=BPtan60=（16x），y=x（16x）=，该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下，故选D本题考查了动点问题的函数图象，运用分类讨论思想、结合图形进行解题是关键.二、填空题11（2021广东佛山市九年级二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点，点是抛物线上位于直线下方一动点，当时，点的坐标为_(2，-3)作点C关于x轴的对称点，连接B，则ABC=AB，从而得BCP，利用待定系数法，先求出直线B的解析式，再求出直线CP的解析式，进而即可求解解：作点C关于x轴的对称点，连接B，则ABC=AB，CB=2ABC，=CB，BCP，抛物线与轴相交

15、于、两点，与轴交于点，C的坐标为：（0，-2），B(4，0)，(0，2)，设直线B的解析式为：y=kx+b，把(0，2)，B(4，0)代入y=kx+b，得：，解得：，直线B的解析式为：y=x+2，BCP，设直线CP的解析式为：y=x+m，把C（0，-2）代入y=x+m，得：m=-2，直线CP的解析式为：y=x-2，x-2=，解得：x1=2，x2=0（舍去），P(2，-3)故答案是：(2，-3)【点评】本题主要考查二次函数与一次函数图像的综合，作点C关于x轴的对称点，熟练掌握待定系数法，是解题的关键12（2021广东广州市九年级一模）如图，在矩形ABCD中，AB4，AD5，E是CD边上一点，连结

16、AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G，连结DG点M、N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且DMNDAM，以下结论：CE2；DM2DNAF；DN最小值为1；若DMN为等腰三角形，则点M的位置有三种不同情况其中正确的是_设，则，由勾股定理可求出；证出，证明，由相似三角形的性质可得出；设，证明，由相似三角形的性质得出，可得出y与x的函数关系式，由二次函数的性质可得出答案；由题意可知，为等腰三角形，有或两种情况解：四边形ABCD为矩形，由翻折可知：，设，则，在直角中，在直角中，则有，解得：，故错误；四边形ABCD是矩形，四边形AFGD是

17、平行四边形，正确；如图，设，在直角中，在直角中，时，y由有最小值1，DN的最小值是1，故正确；由可知，N不与点G重合，为等腰三角形时，有或两种情况，故不正确故【点评】本题考查了矩形的性质，翻折变换，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题13（2021广东肇庆市九年级一模）如图，抛物线yx24与x轴交于 A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最小值是_连接BP，如图，先解方程x240得A（4，0），B（4，0），再判断OQ为ABP的中位线得到OQ

18、BP，利用点与圆的位置关系，连接BC交圆于P时，PB最小，然后计算出BP的最小值即可得到线段OQ的最小值解：连接BP，如图，当y0时，x240，解得x14，x24，则A（4，0），B（4，0），Q是线段PA的中点，OQ为ABP的中位线，OQBP，当BP最小时，OQ最小，连接BC交圆于P时，PB最小，BC5，BP的最小值523，线段OQ的最小值为故【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系也考查了三角形中位线14（2021广东深圳市九年级其他模拟）如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=4,D为边A

19、B上一动点(B点除外)，以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则BDE面积的最大值为_.8如图，过点A作AHBC于H，过点E作EMAB于M，过点C作CNAB于N，根据等腰三角形的性质以及三角形的面积可求出CN=4，继而根据勾股定理求出AN=3，从而求得BN的长，然后证明EDMDCN，根据全等三角形的性质可得EM=DN，设BD=x，则DN=8-x，继而根据三角形的面积公式可得SBDE=，根据二次函数的性质即可求得答案.如图，过点A作AHBC于H，过点E作EMAB于M，过点C作CNAB于N，AB=AC=5，BC=4，AHBC，BH=BC=2，AH=，SABC=，即，CN=4，在RtCAN中，AN

20、C=90，AN=3，BN=BA+AN=8，四边形CDEF是正方形，EDM+CDN=EDC=90，ED=CD，CDN+NCD=90，EDM=DCN，又EMD=DNC=90，EDMDCN，EM=DN，设BD=x，则DN=8-x，SBDE=，SBDE的最大值为8， 故答案为8.【点评】本题考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的应用等，综合性质较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练运用相关知识是解题的关键.三、解答题15（2021广东深圳市九年级一模）某公司销售一种商品，成本为每件20元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其

21、销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：销售单价x（元）406080日销售量y（件）806040（1）求y与x的关系式；（2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过100%，设日利润为w元，求公司销售该商品获得的最大日利润；（3）若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，并且由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的2倍，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值（1）yx120；（2）1600元；（3）a=70（1）设函数的表达式为ykxb，利用待定系数法解题；（2）设公司销售该商品获得的最大日利润为w元，利用总利润=单利

22、销售量列函数关系式，化为顶点解析式，根据二次函数的增减性解题即可；（3）当w最大1500时，解得x的值，再由x的取值范围分两种情况讨论a80或a80时，根据二次函数的增减性解题即可（1）设函数的表达式为ykxb，将（40，80）、（60，60）代入上式得：，解得，故y与x的关系式为yx120；（2）公司销售该商品获得的最大日利润为w元，则w（x20）y（x20）（x120）（x70）22500，x200，x1200，x2020100%，20 x40，10，故抛物线开口向下，故当x70时，w随x的增大而增大，当x40（元）时，w的最大值为1600（元），故公司销售该商品获得的最大日利润为1600

23、元；（3）当w最大1500时，1500，解得x170，x290，x2200，x40，又xa，40 xa有两种情况，a80时，即40 xa，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，当xa70时，w最大1500，a80时，即40 xa，在40 xa范围内w最大16001500，这种情况不成立，综上所述，a70【点评】本题考查二次函数的实际应用，涉及一次函数的应用、待定系数法解一次函数的解析式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键16（2021广东佛山市九年级月考）如图，在直角三角形中，作的内接矩形设，求x取何值时矩形的面积最大？x取15时矩形的面积最大设矩形为S，证明，利用相似比得到，则用

24、x表示出，再利用矩形的面积公式得到，然后利用二次函数的性质解决问题解：设矩形为S，四边形为矩形，即，当时，S有最大值，最大值为300即x取15时矩形的面积最大【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了矩形的性质和二次函数的性质17（2021广东阳江市九年级一模）某花店用4500元购进一批花卉和其他植物共2000株进行栽培，已知花卉幼苗每株2元，其他植物幼苗每株3元（1）购进花卉和其他植物幼苗各

25、多少株？（2）花店将栽培后的花卉和其他植物全部搭配成500个桌面装饰盆栽若每个盆栽以15元销售，则可以全部卖完；若每个盆栽涨价1元，则花店每天少销售10个在不考虑其他费用的情况下，每个盆栽的售价为多少时利润最高？最高利润是多少？（1）购进花卉幼苗1500株，其他植物幼苗500株；（2）售价37元时利润最高为7840元（1）设购进花卉幼苗株，其他植物幼苗株根据题意可列出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y即可（2）由题意可求出每个盆栽的成本设每个盆栽的售价为元时，利润为元，即可列出w关于a的二次函数解析式，求出其最值即可（1）设购进花卉幼苗株，其他植物幼苗株依题意，得：，解得故购进花卉幼苗15

26、00株，其他植物幼苗500株（2）每个盆栽的成本为：（元）设每个盆栽的售价为元时，利润为元，则故当 时，有最大值，最大值为7840元【点评】本题考查二元一次方程组和二次函数的实际应用根据题意找出等量关系是解答本题的关键18（2021广州大学附属中学九年级一模）某超市购进一批时令水果，成本为10 元/千克，根据市场调研发现，这种水果在未来30天的销售单价m(元/千克)与时间x(天)之间的函数关系式为（且为整数），且其日销售量y (千克)与时间x(天)之间的函数关系如图所示：（1）求每天销售这种水果的利润W(元)与x(天)之间的函数关系式；（2）问哪一天销售这种水果的利润最大？最大日销售利润为多少

27、？（1）（且为整数）； （2）第22或23天，最大利润为903元；（1）由题意设销售数量把代入函数解析式，可得再利用总利润等于销售数量千克乘以每千克水果的利润元，从而可得答案；（2）利用（1）中的二次函数解析式，结合且为整数，利用二次函数的性质求解最大值即可解：（1）由题意设销售数量 把代入函数解析式； 解得： （且为整数）；（2）， 抛物线的对称轴为： 且为整数， 当或时，取得最大值，最大值为：元【点评】本题考查的是一次函数与二次函数的应用，二次函数的性质，掌握利用二次函数的性质求解最大利润是解题的关键19（2021广东深圳市九年级一模）在2020年新冠肺炎抗疫期间，小明决定在淘宝上销售一批

28、口罩经市场调研：某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋（1）直接写出小明销售该类型口罩销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的函数关系式；每天所得销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式（2）若小明想每天获得该类型口罩的销售利润2000元时，则销售单价应定为多少元？（3）若每天销售量不少于100袋，且每袋口罩的销售利润至少为17元，则销售单价定位多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？（1）； （2）30元或40元； （3）销售单价定位元时，此时利润最大，最大利润是元（1）根据“若销售单价每提高1元，销售量就会减少

29、10袋，当销售单价为元时，销售量为袋”，即可得出y关于x的函数关系式，然后再根据销售利润w（元）等于销售数量乘以每袋利润可得销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）代入w=2000，建立一元二次方程，解方程求出x的值，由此即可得出结论； （3）根据题意先求解销售单价的范围，利用配方法将w关于x的函数关系式变形为：，根据二次函数的性质即可解决最值问题解：（1）根据题意得，； 则， 故 （2）w=2000， ， 解得： 答：销售单价应定为30元或40元，小明每天获得该类型口罩的销售利润2000元； （3）根据题意得， ， x的取值范围为：， 函数， 对称轴为x=35， 当，随的

30、增大而减小，当x=37时，w最大值=2210 答：销售单价定位每袋37元时，此时利润最大，最大利润是2210元【点评】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一元二次方程的解法，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，掌握利用二次函数的性质求最值是解题的关键20（2021广东深圳市九年级二模）红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元（1）求甲、乙两种灯笼每对的进价；（2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天

31、可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元求出y与x之间的函数解析式；乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？（1）26,35；（2）y2x2+68x+1470；15，2040.1）设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为（x+9）元/对，根据题意列出分式方程即可求解；（2）根据y（50+x35）（982x）2x2+68x+1470，根据二次函数的对称轴与物价部门规定其销售单价不高于每对65元，即可求出最大利润.解：（1）设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为（

32、x+9）元/对，由题意得：，解得x26，经检验，x26是原方程的解，且符合题意，x+926+935，答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对（2）y（50+x35）（982x）2x2+68x+1470，答：y与x之间的函数解析式为：y2x2+68x+1470a20，函数y有最大值，该二次函数的对称轴为：x17，物价部门规定其销售单价不高于每对65元，x+5065，x15，x17时，y随x的增大而增大，当x15时，y最大2040答：乙种灯笼的销售单价为15元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元【点评】此题主要考查分式方程与二次函数的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行

33、求解.21（2021广东深圳市九年级三模）某商家经销一种绿茶，用于装修门而已投资3000元，已知绿茶每千克成本50元，在第一个月的试销时间内发现，销量w（）随销售单价x（元/）的变化而变化，满足函数关系式，若该绿茶的月销售利润为y（元）（销售利润=单价销售量-成本-投资）（1）求y与x之间的函数关系式（不必写出变量x的取值范围）并求出x为何值时，y的值最大？（2）若在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于90元，要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，那么第二个月里应该确定销售单价为多少元？（1）y=-2（x-85）2-

34、550，当x=85时，y的值最大为-550元；（2）每千克75元（1）根据题意可以得到y与x之间的函数关系式，然后将函数关系式化为顶点式，即可得到y的最大值；（2）根据第一问可以得到第一个月获得的最大利润，然后根据题意，即可得到相应的方程，从而可以得到第二个月里应该将销售单价定为多少解：（1）由题意可得，y与x的函数关系式为：y=（x-50）w-3000=（x-50）（-2x+240）-3000=-2x2+340 x-15000；y=-2x2+340 x-15000=-2（x-85）2-550，当x=85时，y的值最大为-550元（2）在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售所获利润为

35、-550元，第1个月还有550元的投资成本没有收回要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，即y=2250才可以，（x-50）（-2x+240）=2250，解得，x1=75，x2=95根据题意，x2=95不合题意应舍去答：当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元，即在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的函数解析式，会将函数解析式化为顶点式，求函数的最值，可以根据实际问题确定问题的答案22（2021广东惠州市九年级二模）为迎接国庆节，某商店购进了一批成本为每件30元的纪念商品经调查发现，该商品每天

36、的销售量（件与销售单价（元满足一次函数关系，其图象如图所示（1）求该商品每天的销售量与销售单价的函数关系式；（2）若商店按不低于成本价，且不高于60元的单价销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润（元最大？最大利润是多少？（1）；（2）销售单价定为55元时，该商店每天获得的利润最大，最大利润是1250元.(1)将点(30，100)、(45,700)代入-次函数表达式,即可求解；(2)由题意得 ,即可求解.（1）设销售量与销售单价之间的函数关系式为，将点、代入，得.解得.函数的关系式为： （2）由题意得 ，且30 x60.当时，取得最大值，此时. 销售单价定为55元时，该商店每天

37、获得的利润最大，最大利润是1250元.【点评】此题主要考查了二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识， 解答时求出函数的解析式是关键.23（2021广东佛山市九年级其他模拟）“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同（1）求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？（2）若该型号自行车的进价不变，按（1）中的标价出售，该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利

38、最大？最大利润是多少？（1）进价为1000元，标价为1500元；（2）该型号自行车降价80元出售每月获利最大，最大利润是26460元分析：（1）设进价为x元，则标价是1.5x元，根据关键语句：按标价九折销售该型号自行车8辆的利润是1.5x0.98-8x，将标价直降100元销售7辆获利是（1.5x-100）7-7x，根据利润相等可得方程1.5x0.98-8x=（1.5x-100）7-7x，再解方程即可得到进价，进而得到标价；（2）设该型号自行车降价a元，利润为w元，利用销售量每辆自行车的利润=总利润列出函数关系式，再利用配方法求最值即可详解：（1）设进价为x元，则标价是1.5x元，由题意得：1.

39、5x0.98-8x=（1.5x-100）7-7x，解得：x=1000，1.51000=1500（元），答：进价为1000元，标价为1500元；（2）设该型号自行车降价a元，利润为w元，由题意得：w=（51+3）（1500-1000-a），=-（a-80）2+26460，-0，当a=80时，w最大=26460，答：该型号自行车降价80元出售每月获利最大，最大利润是26460元点睛：此题主要考查了二次函数的应用，以及元一次方程的应用，关键是正确理解题意，根据已知得出w与a的关系式，进而求出最值24（2021广东东莞市九年级其他模拟）如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A（6，0），C

40、（0，2），将矩形OABC绕点O逆时针旋转得到矩形ODEF，使得点A的对应点D恰好落在对角线OB上，OE交BC于点G（1）求证：BGO是等腰三角形；（2）求点E的坐标；（3）如图2，矩形ODEF从点O出发，沿OB方向移动，得到矩形ODEF，当移动到点O与点B重合时，停止运动，设矩形ODEF与OBC重叠部分的面积为y，OOx，求y关于x的函数关系式（1）见解析；（2）E点坐标为（2，6）；（3）当0 x6，y6x2，当46x，y6x2，当，y（1）根据题意易证GOB=GBO=30，即GO=GB，从而证明BGO是等腰三角形；（2）作EHx轴于点H，求得OH和EH的长度，即可得到点E的坐标；（3）由

41、直角三角形面积公式求得SOMOx2，SNDB，SOCB6，再分情况讨论，即可得出答案解：（1）由题意知：tanCBO，CBO30，AOBC，BOACBO30，根据旋转的性质得， GOBGBO30，GOGB，BGO是等腰三角形；（2）在RtBCO中，OC2，BCOA6，OBOE4，作EHx轴于点H，BOAEOB30，EOHBOA+EOB60，在RtEOH中，OE4，OH2，EH6，故E点坐标为（2，6）；（3）OOx，OD6，DB4x6，D与B点重合时，则有DB0，4x6=0，解得x =46 令FO与CO交点为点M，ED与CB交点为点N，如图2，SOMOx2，SNDB，SOCB6，当0 x6，y

42、6x2，当46x，y6x2，当，y【点评】本题是主要考查四边形的综合题目，熟知矩形的性质，等腰三角形和直角三角形的性质是解题的关键25（2021广东深圳市九年级三模）在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCD是矩形，点A（0，2），C（2，0），点D是对角线AC上一点（不与A、C重合），连接BD，作DEBD，交x轴于点E，以线段DE、DB为邻边作矩形BDEF（1）是否存在这样的点D，使得DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长；若不存在，请说明理由；（2）求证：；（3）设ADx，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并求出当x取何值时，y有最小值？（1）存在，2或；（2）见解析；

43、（3），当x=3时，y有最小值（1）由锐角三角函数可求ACO30，ACB60，分两种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解；（2）通过证明BMDDNE，可得结论；（3）由勾股定理可求BD2的值，由面积公式可求解析式，即可求解解：（1）存在；理由如下：点A（0，2），C（2，0），OA2，OC2，tanACO，ACO30，ACB60，分两种情况：当E在线段CO上时，DEC是等腰三角形，观察图像可知，只有EDEC，如图1所示：DCEEDC30，DBCBCD60，DBC是等边三角形，DCBC2，在RtAOC中，ACO30，OA2，AC2AO4，ADACCD422，当AD2时，DEC是等腰三角形；当E在O

44、C的延长线上时，DCE是等腰三角形，只有CDCE，DBCDECCDE15，如图2所示：ABDADB75，ABAD2，综上所述，满足条件的AD的值为2或2；（2）证明：过点D作MNAB交AB于M，交OC于N，如图3所示：设DNa，ACO30，BDE90，BDM+NDE90，BDM+DBM90，DBMEDN，BMDDNE90，BMDDNE，；（3）作DHAB于H，如图4所示：在RtADH中，ADx，DAHACO30，DHADx，BH2x，在RtBDH中，BD2，由（2）得，矩形BDEF的面积为，0，x3时，y有最小值为，即当点D运动到距A点的距离为3时，y有最小值【点评】本题是四边形综合题，考查了

45、锐角三角函数，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，二次函数的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键26（2021广东东莞市九年级一模）如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形的顶点、，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，使得点的对应点恰好落在对角线上，交于点（1）求证：是等腰三角形；（2）求点的坐标；（3）如图2，矩形从点出发，沿方向移动，得到矩形，当移动到点与点重合时，停止运动，设矩形与重叠部分的面积为，求关于的函数关系式（1）证明见解析；（2）；（3）（1）根据题意易证，即，从而证明是等腰三角形；（2）作轴于点，求得和的长度，即可得到点的坐标；（3）由直角三角形面积公式求得，再分情况讨论，