混流式水轮机叶片自由曲面的延展

1、混流式水轮机叶片自由曲面的延展摘要：传统的木模图法在表示水轮机叶片时存在表示叶片不完好和无法引入计算机辅助设计及制造的缺乏，为此本文提出了基于最小二乘法的非均匀有理B样条曲线曲面延展法，解决了混流式水轮机叶片空间曲面的小区域延展问题。同时结合水轮机叶片形状特点，利用自由曲面和解析曲面的求交法确定了叶片的延展边界，实现了叶片曲面的整体造型。论文最后算例分析说明，该方法可以得到精度较高的延展曲面，同时算法稳定可靠。关键词：延展求交拟合自由曲面水轮机叶片1基于最小二乘法的非均匀有理B样条曲线曲面延展法1.1延展问题的条件如今通用的木模图在表示水轮机叶片时一般给出等z面的(x,y)数据6。如图1所示，

2、由图可以看出，在0-0断面以上只有一个型值点，即进水边与上冠的交点，有时甚至还没有表示出这个点；同样在16-16断面以下也只有一个型值点，即出水边与下环的交点，有时甚至还没有表示出这个点。在这种情况下假设要得到0-0断面以上和16-16断面以下的叶片型值点那么只能采用延展的方法。还有在整体拟合叶图1温顺流式水轮机叶片木模图2拟合得到的叶片的空间几何形状(左边为主视图，右边为侧视图)1.2延展问题的解决方案然而如何延展立即成为问题，因为由Nurbs曲线和曲面的定义可以看到，由于其只在起点和末点之间有定义，在起点和末点之外根本没有定义，这使得只能采用另外的途径来延展Nurbs曲线和曲面7。结合水轮

3、机叶片的特点，即在小范围内曲线和曲面曲率变化不大，本文采用最小二乘法拟合曲面和曲线端部，得到拟合方程后应用此方程进展延展端部得到新的端点，再有新的端点和原有的Nurbs曲线型值点构成新的Nurbs曲线型值点，进而得到延展曲线和拟合曲面。1.3最小二乘法拟合原理在某一特定函数类(x)(例如多项式)中找到一个函数F(x)作为y=f(x)的近似函数，使得在x上的按照某种标准误差最小，这就是拟合问题。记向量e=0，1,T，要求残差i按照2-范数的平方为标准最小，即要求e22最小，这种方法称之为最小二乘法拟合法8。用最小二乘法拟合曲线时，必须先选择函数类，即确定函数F(x)的形式。这与所讨论问题的专门知

4、识和经历有关。在本文中，结合水轮机叶片空间几何形状特点即在小范围内曲线和曲面曲率变化不大和整体Nurbs拟合标准即要求拟合曲面在任意点三次连续可导，因此使用三次多项式拟合。详细算法如下：对于给定的一组数据(xi,yi),i=1,2,N,寻求作三次多项式(N3)(1)使得总误差(2)为最校由于Q可以看作关于aj(j=0,1,2,3)的多元函数，故上述拟合多项式的构造问题可以归结为多元函数的极值问题。令(3)得到(4)即由(5)这是关于系数aj的线性方程组，而且是一个正那么方程组，可以证明，此方程组解唯一。由此实际上得到了端部拟合曲线的多项式表示，进一步可以对其进展延长运算，得到新的端点数据。设原

5、有型值点集为pi(i=0,1,n),新的端点为Q，那么由pi和Q构成新的型值点集pi(i=0,1,)，其中=n+1。由此个型值点重新拟合得到延长后的曲线。1.4叶片边界确实定上冠、下环均是旋转曲面，我们把这两个旋转曲面的解析方程称为延展边界限定方程。利用上述方法延长叶片轴面截线，用延长结果分别和上冠、下环旋转曲面求交，即用延长后的曲线拟合方程与延展边界限定方程联立求解，得到两个交点。按此方法分别用由出水边向进水边的各叶片轴面截线与上冠、下环旋转曲面求交，得到两组有序交点，这两组有序交点就是叶片与上冠、下环交线的节点，由此可以顺利的拟合得到叶片与上冠、下环交线，即叶片的两个边界。转贴于论文联盟.

6、ll.表1利用原有型值点不作任何变动进展向Z=0.0边界进展延展得到XYR(R2=X2+Y2)R理论值绝对误差1234567890.0037290.003229410.0018645-2.38566E-09-0.0018645-0.00322941-0.003729-0.00322941-0.001864490.00.00186450.003229410.0037290.003229410.0018645-4.77131E-09-0.00186451-0.003229410.0037290.0037290.0037290.0037290.0037290.0037290.0037290.0037

7、290.0037290.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0037290.0037290.0037290.0037290.0037290.0037290.0037290.0037290.003729本算法中拟合曲线的阶数定为K=3，即延长点仅近似保持了离延长点最近的4个型值点的曲线几何性质或4条型值点等参数线的曲面几何性质。如表3对于表1是从等Z线1-1延长至Z=0.0平面，保持了4-4、3-3、2-2、1-1等参数线的曲面几何性质，R绝对误差为0.003729；对于表2是从等Z线2-2延长至Z=0.0平面，保持了5-5、4-4、3-3、2-2等参数线的曲面几何性质，R绝对

8、误差为0.007947；对于表3是从Z线3-3延长至Z=0.0平面，保持了6-6、5-5、4-4、3-3等参数线的曲面几何性质，R绝对误差为0.02079。表2隐去z=0.25等线数据，即利用2、3、4、9断面进展向Z=0.0边界进展延展得到XYR(R2=X2+Y2)R理论值绝对误差1234567890.0079470.00688230.0039735-5.08416E-09-0.00397351-0.00688231-0.007947-0.0068823-0.003973490.00.00397350.006882310.0079470.00688230.00397349-1.01683E-

9、080.00397351-0.006882310.0079470.0079470.0079470.0079470.0079470.0079470.0079470.0079470.0079470.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0079470.0079470.0079470.0079470.0079470.0079470.0079470.0079470.007947表3隐去z=0.25、z=1.0等线数据，即利用3、4、9断面进展向Z=0.0边界进展延展得到XYR(R2=X2+Y2)R理论值绝对误差1234567890.020790.01800470.010395-1.33

10、006E-08-0.010395-0.0180047-0.02079-0.0180047-0.0103950.00.0103950.01800470.020790.01800470.010395-2.66011E-08-0.010395-0.01800470.020790.020790.020790.020790.020790.020790.020790.020790.020790.00.00.00.00.00.00.00.00.00.020790.020790.020790.020790.020790.020790.020790.020790.02079由上面的结果可以看出随着间隔 的增大，

11、误差也随之增大，即误差R与延长量L(曲线弧长)或延展量S(曲面面积)呈正相关关系。因此延展时要注意一点，本文的延展算法只完成对延展端部的曲线、曲面形态趋势，并不能完全代表整体形态趋势，因此，原端部与延展部分的几何比例不能太大，经过比较测试结果此比值以不超过3:1为宜。这一点在延展叶片型面这种自由曲面是非常重要，否那么，将产生严重延展误差。从上面的3组结果同样可以看到，延展算法还是比较稳定的，这表如今延展得到的同一组中各不同型值点的误差是一致的，这也符合原始数据的特点，即各等Z线实际上是一个圆，各型值点均为圆上的点。同时从误差的大小来看，第1组结果的误差最小，为0.003729，即从R=1.0的等Z线延展到R=0.0的等Z线产生0.003729的偏向，反映在工程中即延展1.0产生0.003729的偏向，这一精度可以说满足了工程应用的要求。图3完好叶片网格(依次为侧视图、主视图、俯视图)3.2混流式水轮机转轮叶片实例(由延长后的结果构造叶片空间网格)由此可以看出，通过对拟合结果的平面延展，可以得到0-0断面以上、16-16断面以下数据缺少的部分的型值点，通过与断面数据的比较，交线数据光滑平顺，同